高中数学 第一章 计数原理 4 简单计数问题学案 北师大版选修

在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求4简单计数问题学习目标重点难点1.会解决分类及分步的计数问题2能用剔除法解决稍复杂的计数问题3会用捆绑法解决相邻问题4会用插空法解决不相邻问题.重点：排列数与组合数公式难点：排列与组合的区分及特殊问题的处理方法.1简单计数问题的处理原则解简单计数问题，应遵循三大原则：先特殊后一般的原则；先选后排原则；先分类后分步的原则分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决简单计数问题的两个基本原理预习交流1你对先特殊后一般的原则的理解提示：“特殊”指元素特殊或场所特殊或特殊条件限制先特殊后一般原则是先考虑“特殊元素”“特殊位置”，再考虑一般元素或一般位置2简单计数问题的解题策略剔除：对有限制条件的问题，先考虑总体，再把不符合条件的所有情况剔除捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列插空：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间预习交流2剔除、捆绑、插空主要是为了解决何种计数问题？提示：剔除主要是用在有限制条件的计数问题上，或问题的正面情况较多，而反面情况较少的计数问题上；捆绑主要用在相邻问题上；插空主要用在不相邻问题上1剔除问题四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法共有()种A150 B147 C14 D141思路分析：在这10个点中，不共面的不易寻求，而共面的容易找由10个点中取出4个点的组合数C减去4个点共面的个数即为所求答案：D解析：10个点取出4点的组合数为C，4点共面的情形可分三类：第一类：四面体每个面中的四个点共面，共有4C60种；第二类：四面体的每2组对棱的中点构成平行四边形，则四点共面，共有3种；第三类：四面体的一条棱上三点共线，这三点与对棱中点共面，共有6种故4点不共面的取法有C(4C63)141(种)从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有()种A8 B12 C16 D20答案：B解析：联想一空间模型，注意到“有2个面不相邻”，既可从相对平行的平面入手正面构造，即CC，也可从反面入手剔除8个角上3个相邻平面，即CC12.利用剔除法要把不满足条件的情况剔除干净，或把问题的全部情况考虑清楚，做到不重不漏2捆绑问题(相邻问题)从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排列共有()种A120 B480 C720 D840思路分析：先将“qu”捆绑成一个元素，再从剩余的6个元素中取3个，再进行全排列答案：B解析：先将“qu”捆绑成一个元素，再从剩余的6个元素中取3个元素，共有C种不同的取法，然后对取出的4个元素进行全排列，有A种方法，由于“qu”顺序不变，根据分步乘法计数原理共有CA480种不同排列5名学生和3名老师站成一排照相，3名老师必须站在一起的不同排法共有_种答案：4 320解析：将3名老师捆绑起来看作一个元素，与5名同学排列，有A种排法，而3名老师之间又有A 种排法，故满足条件的排法共有AA4 320(种)对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来看作一个元素与其他元素排列，然后再对相邻元素之间进行排列3插空问题(不相邻问题)7个人站成一行，如果甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数是()A1 440 B3 600 C4 320 D4 800思路分析：先将除甲、乙两人之外的5人排成一行，再对5个人之间的六个间隙插入甲、乙两人答案：B解析：先让甲、乙之外的5人排成一行，有A种排法，再让甲、乙两人在每两人之间及两端的六个间隙中插入甲、乙两人有A种方法，故共有AA3 600种排法晚会上有8个唱歌节目和3个舞蹈节目，若3个舞蹈节目在节目单中都不相邻，则不同节目单的种数为()AA BACAA DAA答案：C解析：先排8个唱歌节目共有A种不同方法，然后从唱歌节目形成的中间及两端共9个间隙中选3个，将3个舞蹈节目插入，有A种方法，由分步乘法计数原理，不同节目单的种数为AA.解决不相邻问题(插空问题)，要先把不相邻的元素抽出来，剩余的元素进行全排列，然后把抽出的元素插空，注意空的个数要包括两端1记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有()种A1 440 B960 C720 D480答案：B解析：5名志愿者先排成一排，有A种方法，2位老人作为一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有24A960种不同排法2由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A72 B96 C108 D144答案：C解析：插空法，先排2,4,6共有A种方法若1,3,5都不相邻则有A种方法；若1,3相邻则有AA种方法所以共有A(AAA)108种不同的方法3某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日、丁不排在10月7日，则不同的排法方案有()种A504 B960 C1 008 D1 108答案：C解析：若丙排10月1日，共有AA240种排法，若丁排10月7日，共有AA240种排法，若丙排1日且丁排7日，共有AA48种排法，若不考虑丙、丁的条件限制，共有AA1 440种排法，所以共有1 440240240481 008种排法4从0,1,2,3,4中取出不同的3个数字组成一个三位数，所有这些三位数的个位数字的和是_答案：90解析：个位数字为0的三位数有12个，个位数字分别为1,2,3,4的三位数都有AA9个所以所有这些三位数的个位数字之和为(1234)990.57位同学站成一排合影留念(1)其中甲不能在排头、乙不能站排尾的排法共有多少种？(2)甲、乙和丙三名同学必须相邻的排法共有多少种？(3)甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？解：(1)用剔除法：总排法A，不符合条件的甲在排头和乙在排尾的排法均为A，但这两种情况均包含了甲在排头和乙在排尾的情况故共有A2AA3 720种排法(2)用捆绑法：第一步：将甲、乙和丙三人“捆绑”成一个大元素与另外4人的排列为A种；第二步：“释放”大元素，即甲、乙和丙在“捆绑”成的大元素内的排法有A种所以共有AA720种排法(3)插空法：第一步：先排除甲、乙和丙之外4人，共A种排法；第二步：甲、乙和丙三人排在4人排好后包括两端产生的5个空档中