高中数学 第三章 导数应用 1_2 函数的极值教材习题点拨 北师大版选修2-21

高中数学 第三章 导数应用 1.2 函数的极值教材习题点拨 北师大版选修2-2练习(P62)解:(1)f(x)=(3x-x3)=3-3x2,当3-3x2=0时,x=1.x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+)f(x)-0+0-y-42x=1时,f(x)=31-13=2,有极大值.x=-1时,f(x)=3(-1)-(-1)3=-2,有极小值.(2)f(x)=(x4-8x3+18x2-1)=4x3-24x2+36x,当4x3-24x2+36x=0时,x=0或x=3.x(-,0)0(0,3)3(3,+)f(x)-0+0+y-126x=0时,f(x)=04-803+1802-1=-1,有极小值.当x(0,+)时,f(x)单调递增,没有极大值.答:(1)函数极小值点为x=-1,极小值为-2;函数极大值点为x=1,极大值为2.(2)函数极小值点为x=0,极小值为-1.函数没有极大值.习题31(P62)A组1.解:(1)由数学公式和求导法则可得f(x)=(-x3-2x2-4x+5)=-3x2-4x-4,当x(-,+)时,f(x)=-3x2-4x-40.所以,函数在区间(-,)内单调递减.(2)由数学公式和求导法则可得f(x)=(x+1)(x2-1)=(x3+x2-x-1)=3x2+2x-1,当3x2+2x-1=0时,(3x-1)(x+1)=0,解得x=,或x=-1.当x(,+)时,3x2+2x-10,所以(,+)为函数的递增区间;当x(-1,)时,3x2+2x-10,所以(-1,)为函数的递减区间.当x(-,-1)时,3x2+2x-10,所以(-,-1)为函数的递增区间.(3)由数学公式和求导法则可得f(x)=(4x2+)=8x-,当8x-=0时,x=.当x(,+)时,8x-0,所以(,+)为函数的递增区间;当x(-,)时,8x-0,所以(-,)为函数的递减区间.(4)由数学公式和求导法则可得f(x)=(xlnx)=(x)lnx+x(lnx)=lnx+1,当lnx+1=0时,x=.当x(,+)时,lnx+10,所以(,+)为函数的递增区间;当x(0,)时,lnx+10,所以(0,)为函数的递减区间.答:(1)单调递减区间(-,).(2)单调递增区间(-,-1)和(,+);单调递减区间(-1,).(3)单调递增区间(,+);单调递减区间(-,).(4)单调递增区间(,+);单调递减区间(0,).2.解:由数学公式和求导法则可得f(x)=(x+)=1-,当1-=0时,x=1.当x(1,+)时,1-0,所以(1,+)为函数的递增区间;当x(0,1)时,1-0,所以(0,1)为函数的递减区间;当x(-1,0)时,1-0,所以(-1,0)为函数的递减区间;当x(-,-1)时,1-0,所以(-,-1)为函数的递增区间.答:函数的单调递增区间为(-,-1)和(1,+),单调递减区间为(-1,0)和(0,1).3.解:(1)由数学公式和求导法则可得f(x)=(6x2-x-2)=12x-1,当12x-1=0时,x=.当x(,+)时,12x-10,所以(,+)为函数的递增区间;当x(-, )时,12x-10,所以(-, )为函数的递减区间.x(-,)(,+)f(x)-0+y在x=时,函数有极小值为.(2)由数学公式和求导法则可得f(x)=(2-x-x2)=-2x-1,当-2x-1=0时,x=.当x(,+)时,-2x-10,所以(,+)为函数的递减区间;当x(-,)时,-2x-10,所以(-,)为函数的递增区间.x(-,)(,+)f(x)+0-y2在x=时,函数有极大值为2.(3)由数学公式和求导法则可得f(x)=(x3-3x2)=3x2-6x,当3x2-6x=0时,x=0或x=2.当x(2,+)时,3x2-6x0,所以(2,+)为函数的递增区间;当x(0,2)时,3x2-6x0,所以(0,2)为函数的递减区间.当x(-,0)时,3x2-6x0,所以(-,0)为函数的递增区间;x(-,0)0(0,2)2(2,+)f(x)+0-0+y0-4 在x=0时,函数有极大值0;在x=2时,函数有极小值-4.(4)由数学公式和求导法则可得f(x)=(2x3+12x-5)=6x2+12,当x(-,+)时,f(x)=6x2+12总大于0.所以(-,+)为函数的递增区间,不存在极值.答:(1)单调递减区间为(-,),单调递增区间为(,+),极小值点为x=,极小值为.(2)单调递增区间为(-,),单调递减区间为(,+),极大值点为x=,极大值为.(3)单调递增区间为(-,0)和(2,+),单调递减区间为(0,2),极大值点为x=0,极大值为0,极小值点为x=2,极小值为-4.(4)单调递增区间为(-,+),不存在极值.4.解:(1)由数学公式和求导法则可得s(t)=(2t3-5t2)=6t2-10t,当6t2-10t=0时,t=0或t=.当t(,+)时,6t2-10t0,所以(,+)为函数的递增区间;当t(0,)时,6t2-10t0,所以(0, )为函数的递减区间;当t(-,0)时,6t2-10t0,所以(-,0)为函数的递增区间.(2)由数学公式和求导法则可得f(x)=(x+)=1+0,2+x0,x-2.由所以在定义域(-2,+)内,函数值随着自变量的增大而增大.答:(1)当t0或t时,函数值随着自变量的增大而增大;当0t时,函数值随着自变量的增大而减小;(2)在定义域(-2,+)内,函数值随着自变量的增大而增大.B组解:f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+(x-a3)2+(x-a4)2=8x-2a1-2a2-2a3-2a4.8x-2a1-2a2-2a3-2a4=0时,x=(a1+a2+a3+a4).x(-,(a1+a2+a3+a4)(a1+a2+a3+a4)(a1+a2+a3+a4),+)f(x)-0+yy最小所以，当x=时,函数有最小值.STS在逆境中成长的女数学家诺德 1933年1月,希特勒一上台,就发布第一号法令,把犹太人比作“恶魔”,叫嚣着要粉碎“恶魔的权利”.不久,哥廷根大学接到命令,要学校辞退所有从事教育工作的纯犹太血统的人.在被驱赶的学者中,有一名妇女叫爱米诺德(A.E.Noether 18821935),她是这所大学的教授,时年51岁.她主持的讲座被迫停止,就连微薄的薪金也被取消.这位学术上很有造诣的女性,面对困境,却心地坦然,因为她一生都是在逆境中度过的. 诺德生长在犹太籍数学教授的家庭里,从小就喜欢数学.1903年,21岁的诺德考进哥廷根大学,在那里,她听了克莱因、希尔伯特、闵可夫斯基等人的课,与数学结下了不解之缘.她学生时代就发表了几篇高质量的论文,25岁便成了世界上屈指可数的女数学博士. 诺德在微分不等式、环和理想子群等的研究方面作出了杰出的贡献.但由于当时妇女地位低下,她连讲师都评不上,在大数学家希尔伯特的强烈支持下,诺德才由希尔伯特的“私人讲师”成为哥廷根大学第一名女讲师.接下来,由于她科研成果显著,又是在希尔伯特的推荐下,取得了“编外副教授”的资格,虽然她比起很多“教授”更有实力. 诺德热爱数学教育事业,善于启发学生思考.她终生未婚,却有许许多多“孩子”.她与学生交往密切,和蔼可亲,人们亲切地把她周围的学生称为“诺德的孩子们”.我国代数学家曾炯之就是诺德“孩子”们中的一个. 在希特勒的淫威下,诺德被迫离开哥廷根大学,去了美国工作.在美国,她