初中数学自主招生考试试题（含解析）_2

到乌蒙山区的昭通;从甘肃中部的定西，到内蒙古边陲的阿尔山，看真贫、知真贫，真扶贫、扶真贫，成为“花的精力最多”的事;“扶贫先扶志”“扶贫必扶智”“实施精准扶贫”2015年福建省福州自主招生考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的1若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）Ax1Bx1且x3Cx1Dx1且x32实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|ab|a|的结果为（）A2a+bBbC2abDb3如图，4根火柴棒形成象形“口”字，只通过平移火柴棒，原图形能变成的汉字是（）ABCD4打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（）ABCD5对参加某次野外训练的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：年龄131415161718人数456672则这些学生年龄的众数和中位数分别是（）A17，15.5B17，16C15，15.5D16，166如图所示，圆A和圆B的半径都为1，AB=8圆A和圆B都和圆O外切，且三圆均和直线l相切，切点为C、D、E，则圆O的半径为（）A3B4C5D67已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，现有下列结论：abc0；b24ac0；2a+b=0；a+b0则其中正确结论的个数是（）A1个B2个C3个D4个8如图，矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=6，将其折叠，使点D与点B重合，得折痕EF则tanBFE的值是（）AB1C2D39如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（）ABCD10甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲已经赛了5场，乙已经赛了4场，丙已经赛了3场，丁已经赛了2场，戊已经赛了1场，小强已经赛了（）A1场B2场C3场D4场二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将正确答案填在答题卡相应位置11对正实数a，b作定义a*b=a，若2*x=6，则x=12罗马数字有7个基本符号，它们分别是I，V，X，L，C，D，M分别代表1，5，10，50，100，500，1000罗马数依靠这7个符号变换组合来表示的，如：I，II，III，IV，V，VI，VII，分别表示1，2，3，4，5，6，7；用IX，X，XI，XII，分别表示9，10，11，12；根据以上规律，你认为LII表示的数应该是13已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，则y与x之间的函数关系式为14若关于x的不等式组有且只有四个整数解，则实数a的取值范围是15将一副三角板按如图1位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合已知AB=AC=8cm，将MED绕点A（M）逆时针旋转60后（图2），两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是cm2（结果精确到0.1，1.73）三、解答题：本大题共7小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（1）计算： +（）2201502cos30+|（2）先化简，再求值：（），其中x=617如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k0）的图象与反比例函数y=的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（6，n），线段OA=5，E为x轴正半轴上一点，且tanAOE=（1）求反比例函数的解析式；（2）求AOB的面积18如图，过圆O直径的两端点M、N各引一条切线，在圆O上取一点P，过O、P两点的直线交两切线于R、Q（1）求证：NPQPMR；（2）如果圆O的半径为，且SPMR=4SPNQ，求NP的长19如果方程x2+bx+c=0的两个根是x1、x2，那么x1+x2=b，x1x2=c，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2（a+1）x+a2+1=0的两根之差的绝对值为，求a的值；（2）已知关于x的方程x2+px+q=0（q0）有两个实数根，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数20福州一中初一（1）班的班徽如图1所示，班徽由一个菱形和一个正三角形组合构成，如图2，菱形ABCD中，AB=4，A=60，DMN为正三角形，如果点M、N分别在菱形的变AB、BC上滑动，且M、N不与A、B、C重合（1）证明：不论M、N如何滑动，总有BM=CN；（2）在M、N滑动的过程中，试探究四边形DMBN的面积是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由（3）求BMN的面积的最大值21如图，在平面直角坐标系中，直线y=x与抛物线y=x2+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为8（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PEAB于点E，设PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值22古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，这样的数位正方形数（四边形数）（1）请你写出既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为；（2）试证明：当k为正整数时，k（k+1）（k+2）（k+3）+1必须为正方形数；（3）记第n个k变形数位N（n，k）（k3）例如N（1，3）=1，N（2，3）=3，N（2，4）=4试直接写出N（n，3）N（n，4）的表达式；通过进一步的研究发现N（n，5）=n2n，N（n，6）=2n2n，请你推测N（n，k）（k3）的表达式，并由此计算N（10，24）的值2015年福建省福州一中自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的1若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）Ax1Bx1且x3Cx1Dx1且x3【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件【专题】计算题【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解【解答】解：由题意得，x+10且x30，解得：x1且x3故选：B【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数2实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|ab|a|的结果为（）A2a+bBbC2abDb【考点】实数与数轴【分析】根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据整式的运算，可得答案【解答】解：由题意，得原式=ba（a）=ba+a=b，故选：D【点评】本题考查了实数与数轴，利用绝对值的意义化简绝对值是解题关键3如图，4根火柴棒形成象形“口”字，只通过平移火柴棒，原图形能变成的汉字是（）ABCD【考点】生活中的平移现象【分析】根据平移的性质，结合图形求得平移后的图形，采用排除法判定正确选项【解答】解：观察可知，平移后的图形，上下火柴棒方向不变，位置改变；左右火柴棒，往中间移动，方向不变，位置改变只有B符合故选B【点评】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，而误选A、C、D4打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（）ABCD【考点】函数的图象【分析】理解洗衣机的四个过程中的含水量与图象的关系是关键【解答】解：因为进水时水量增加，函数图象的走势向上，所以可以排除B，清洗时水量大致不变，函数图象与x轴平行，排水时水量减少，函数图象的走势向下，排除A，对于C、D，因为题目中明确说明了一开始时洗衣机内无水故选D【点评】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力5对参加某次野外训练的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：年龄131415161718人数456672则这些学生年龄的众数和中位数分别是（）A17，15.5B17，16C15，15.5D16，16【考点】众数；中位数【专题】图表型【分析】出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数；中位数一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数【解答】解：17出现的次数最多，17是众数第15和第16个数分别是15、16，所以中位数为15.5故选：A【点评】本题考查了众数及中位数的知识，掌握各部分的概念是解题关键6如图所示，圆A和圆B的半径都为1，AB=8圆A和圆B都和圆O外切，且三圆均和直线l相切，切点为C、D、E，则圆O的半径为（）A3B4C5D6【考点】相切两圆的性质；切线的性质【分析】如图，连接AC、BE、AB、AO、OB、OD，OD与AB交于点M设O半径为R，在RTAOM中利用勾股定理即可解决【解答】解：如图，连接AC、BE、AB、AO、OB、OD，OD与AB交于点M设O半径为RACCE，DOCE，BECE，ACODBE，AC=BE=1，四边形ACEB是平行四边形，ACD=ODC=BEC=90，四边形ACEB是矩形，DM=AC=1，ABCE，ODCE，ODABOA=OB，AM=BM=AB=4，在RTAOM中，OA2=OM2+AM2，（R+1）2=42+（R1）2，R=4故选B【点评】本题考查相切两个圆的性质、切线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是设参数，构建方程解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型7已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，现有下列结论：abc0；b24ac0；2a+b=0；a+b0则其中正确结论的个数是（）A1个B2个C3个D4个【考点】二次函数图象与系数的关系【分析】首先根据开口方向确定a的取值范围，根据对称轴的位置确定b的取值范围，根据抛物线与y轴的交点确定c的取值范围，根据抛物线与x轴是否有交点确定b24ac的取值范围，根据对称轴x=1即可确定2a+b的取值范围，根据b=2a，a0可以确定a+b0是否成立【解答】解：抛物线开口朝下，a0，对称轴x=1=，b0，抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c0，abc0，故错误；根据图象知道抛物线与x轴有两个交点，b24ac0，故错误对称轴x=1，b=2a，2a+b=0，故正确；b=2a，a+b=a2a=a，a0，a0，a+b0，故正确；故选B【点评】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用8如图，矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=6，将其折叠，使点D与点B重合，得折痕EF则tanBFE的值是（）AB1C2D3【考点】翻折变换（折叠问题）【分析】首先过点E作EHBC于点H，由矩形的性质，可得EH=AB=2，由折叠的性质，可得BE=DE，设AE=x，由勾股定理即可求得方程：22+x2=（6x）2，解此方程即可求得BH的长，易得BEF是等腰三角形，又由等腰三角形的性质，可求得BF的长，继而求得答案【解答】解：过点E作EHBC于点H，四边形ABCD是矩形，EH=AB=2，A=90，设AE=x，则DE=ADAE=6x，由折叠的性质可得：BE=DE=6x，在RtABE中，AB2+AE2=BE2，即22+x2=（6x）2，解得：x=，BH=AE=，DE=，ADBC，DEF=BFE，DEF=BEF，BEF=BFE，BF=DE=，FH=BFBH=，tanBFE=3故选D【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合与方程思想的应用9如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（）ABCD【考点】几何体的展开图【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题【解答】解：选项A、C、D折叠后都符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形不交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点不符故选B【点评】解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置10甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲已经赛了5场，乙已经赛了4场，丙已经赛了3场，丁已经赛了2场，戊已经赛了1场，小强已经赛了（）A1场B2场C3场D4场【考点】推理与论证【分析】根据甲参赛了5场，则甲和每人参赛了一场，所以根据戊已经赛了1场，戊只和甲比赛了一场；再根据乙已经赛了4场，则乙和甲、丙、丁、小强各参赛了一场根据丁已经赛了2场，则丁只和甲、乙进行了比赛；再根据丙已经赛了3场，则丙和甲、乙、小强各比赛了一场所以小强比赛了3场【解答】解：由于每两人比赛一场，因此每个人最多比5场甲已经赛了5场，则说明甲和其他5人都比了一场；由此可知：甲与小强比了一场，戊只和甲赛了一场；乙赛了4场，除去和甲赛的一场外，还和其他三人各赛一场，因此这三人必为：丙、丁和小强；丁赛了2场，由上面两个人的比赛情况可知：丁只与甲、乙进行了比赛；丙赛了3场，除去和甲、丁的两场比赛，还剩下一场，而丁和戊都没有和丙比赛，因此丙剩下的一场比赛必为和小强的比赛因此小强赛了三场，且对手为甲、乙、丙故选C【点评】本题要首尾结合进行逐步推理二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将正确答案填在答题卡相应位置11对正实数a，b作定义a*b=a，若2*x=6，则x=32【考点】二次根式的化简求值【分析】根据定义把2*x=6化为普通方程，求解即可【解答】解：a*b=a，2*x=2，方程2*x=6可化为2=6，解得x=32，故答案为：32【点评】本题主要考查二次根式的化简，利用新定义把方程化为普通方程是解题的关键12罗马数字有7个基本符号，它们分别是I，V，X，L，C，D，M分别代表1，5，10，50，100，500，1000罗马数依靠这7个符号变换组合来表示的，如：I，II，III，IV，V，VI，VII，分别表示1，2，3，4，5，6，7；用IX，X，XI，XII，分别表示9，10，11，12；根据以上规律，你认为LII表示的数应该是52【考点】规律型：数字的变化类【专题】规律型【分析】根据上述数字的表示方法，可以发现：如果较小的数字在较大的数字前面，则表示的数是较大的数表示的数字减去较小的数字；如果较小的数字写在较大的数字的后面，则表示的数的较大的数字加上较小的数字则LII=50+1+1=52【解答】解：LII=50+1+1=52【点评】能够根据具体例子发现规则，然后进行计算解题的关键是要知道如果较小的数字在较大的数字前面，则表示的数是较大的数表示的数字减去较小的数字；如果较小的数字写在较大的数字的后面，则表示的数的较大的数字加上较小的数字13已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，则y与x之间的函数关系式为y=3x+5【考点】概率公式【分析】根据白球的概率公式：得到相应的方程： =，根据方程求解即可【解答】解：取出一个白球的概率P=，=，12+4x=7+x+y，y与x的函数关系式为：y=3x+5故答案为：y=3x+5【点评】此题主要考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=14若关于x的不等式组有且只有四个整数解，则实数a的取值范围是14a16【考点】一元一次不等式组的整数解【分析】此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值，再根据不等式组只有四个整数解，求出实数a的取值范围【解答】解：解得x2，解得xa，2x，不等式组有且只有四个整数解，即3，4，5，6；7a8，即14a16故答案为14a16【点评】此题考查的是一元一次不等式的解法和一元一次方程的解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了15将一副三角板按如图1位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合已知AB=AC=8cm，将MED绕点A（M）逆时针旋转60后（图2），两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是20.3cm2（结果精确到0.1，1.73）【考点】旋转的性质【专题】压轴题【分析】设BC，AD交于点G，过交点G作GFAC与AC交于点F，根据AC=8，就可求出GF的长，从而求解【解答】解：设BC，AD交于点G，过交点G作GFAC与AC交于点F，设FC=x，则GF=FC=x，旋转角为60，即可得FAG=60，AF=GFcotFAG=x所以x+x=8，则x=124所以SAGC=8（124）20.3cm2故答案为：20.3【点评】本题考查旋转的性质旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等要注意旋转的三要素：定点旋转中心；旋转方向；旋转角度三、解答题：本大题共7小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（1）计算： +（）2201502cos30+|（2）先化简，再求值：（），其中x=6【考点】实数的运算；分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值【专题】实数；分式【分析】（1）原式利用算术平方根，零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值【解答】解：（1）原式=5+91+=13；（2）原式=，当x=6时，原式=【点评】此题考查了实数的运算，以及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键17如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k0）的图象与反比例函数y=的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（6，n），线段OA=5，E为x轴正半轴上一点，且tanAOE=（1）求反比例函数的解析式；（2）求AOB的面积【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【专题】计算题；压轴题【分析】（1）过点A作ADx轴，在RtAOD中，根据已知的三角函数值和线段OA的长求出AD与OD的长，得到点A的坐标，代入反比例函数解析式中求出反比例函数的解析式；（2）把点B的横坐标代入反比例函数解析式中得到B的坐标，然后分别把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中，求出k与b的值即可得到一次函数解析式，从而求出点C的坐标，得到OC的长，最后利用三角形的面积公式求出AOC与BOC的面积，相加即可得到AOB的面积【解答】解：（1）过点A作ADx轴，在RtAOD中，tanAOE=，设AD=4x，OD=3x，OA=5，在RtAOD中，根据勾股定理解得AD=4，OD=3，A（3，4），把A（3，4）代入反比例函数y=中，解得：m=12，则反比例函数的解析式为y=；（2）把点B的坐标为（6，n）代入y=中，解得n=2，则B的坐标为（6，2），把A（3，4）和B（6，2）分别代入一次函数y=kx+b（k0）得，解得，则一次函数的解析式为y=x+2，点C在x轴上，令y=0，得x=3即OC=3，SAOB=SAOC+SBOC=34+32=9【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，勾股定理，三角形函数值，以及三角形的面积公式的运用，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法同学们要熟练掌握这种方法18如图，过圆O直径的两端点M、N各引一条切线，在圆O上取一点P，过O、P两点的直线交两切线于R、Q（1）求证：NPQPMR；（2）如果圆O的半径为，且SPMR=4SPNQ，求NP的长【考点】相似三角形的判定与性质；切线的性质【分析】（1）只要证明两角对应相等即可证明（2）作NFRQ于F，MKRQ于K，连接ME，先证明OMRONQ，得到OR=OQ，MK=FN，由题意SPMR=4SPNQ，推出PR=4PQ，即2+a=4a，求出a，然后利用勾股定理求出QN、利用面积法求出FN，再利用勾股定理即可解决问题【解答】（1）证明：NQ、RM是O切线，NQMN，MRMN，NQMR，Q=R，MN是直径，MPN=MNQ=90，MNP+NMP=90，MNP+PNQ=90，QNP=NMP，OM=OP，OPM=OMP，QNP=RPM，NPQPMR（2）解：作NFRQ于F，MKRQ于K，连接ME，在OMR和ONQ中，OMRONQ，OR=OQ，MK=FN（全等三角形对应边上高相等）OE=OP，RE=PQ，时PQ=RE=a，由题意SPMR=4SPNQ，PR=4PQ，即2+a=4a，a=在RTONQ中，ONQ=90，ON=，OQ=，NQ=，OQFN=ONQN，FN=，在RTOFN中，OFN=90，ON=，FN=，OF=，在RTPNF中，PFN=90，PF=，FN=，PN=2【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，面积法求高等知识，解题的关键是添加辅助线，学会灵活运用勾股定理、面积法，属于中考常考题型19如果方程x2+bx+c=0的两个根是x1、x2，那么x1+x2=b，x1x2=c，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2（a+1）x+a2+1=0的两根之差的绝对值为，求a的值；（2）已知关于x的方程x2+px+q=0（q0）有两个实数根，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数【考点】根与系数的关系；根的判别式【分析】（1）由韦达定理可得x1+x2=a+1，x1x2=a2+1，根据|x1x2|=即（x1+x2）24x1x2=5，代入解关于a的方程可得；（2）根据韦达定理知x1+x2=p，x1x2=q，设新方程两个分别为y1、y2，由y1=、y2=，可知y1+y2、y1y2，继而可得新方程【解答】解：（1）设方程x2（a+1）x+a2+1=0的两根为x1、x2，则x1+x2=a+1，x1x2=a2+1，|x1x2|=，（x1x2）2=5，即（x1+x2）24x1x2=5，（a+1）24（a2+1）=5，解得：a=4；（2）方程x2+px+q=0（q0）中x1+x2=p，x1x2=q，设新方程两个分别为y1、y2，则y1=、y2=，y1+y2=，y1y2=，故新方程为y2+y+=0【点评】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=20福州一中初一（1）班的班徽如图1所示，班徽由一个菱形和一个正三角形组合构成，如图2，菱形ABCD中，AB=4，A=60，DMN为正三角形，如果点M、N分别在菱形的变AB、BC上滑动，且M、N不与A、B、C重合（1）证明：不论M、N如何滑动，总有BM=CN；（2）在M、N滑动的过程中，试探究四边形DMBN的面积是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由（3）求BMN的面积的最大值【考点】四边形综合题【分析】（1）连接BD，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明CDNBDM，得到答案；（2）根据割补法求面积的思想解答；（3）当正三角形DMN的边DN与BC垂直时，边DN最短DMN的面积会随着DN的变化而变化，且当DN最短时，正三角形DMN的面积会最小，又根据SBMN=S四边形DMBNFSDMN，则BMN的面积就会最大【解答】（1）证明：连接AC，如图2，四边形ABCD为菱形，A=60，ADC=120，CDN+BDN=60，BDM+BDN=60，CDN=BDM，ADC=120，ABD和CBD为等边三角形，ABD=60，DC=DB，在CDN和BDM中，CDNBDM（ASA），BM=CN；（2）解：四边形AECF的面积不变理由：由（1）得CDNBDM，则SCDN=SBDM，故S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值，作DHBC于H点，则BH=2，S四边形DMBN=SDBC=BCDH=BC=4；（3）由“垂线段最短”可知：当正三角形DMN的边DN与BC垂直时，边DN最短故BMN的面积会随着DN的变化而变化，且当DN最短时，正三角形DMN的面积会最小，又SBMN=S四边形DMBNSDMN，则此时BMN的面积就会最大SBMN=S四边形DMBNSDMN=42=，BMN的面积的最大值为【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证CDNBDM是解题的关键，有一定难度21如图，在平面直角坐标系中，直线y=x与抛物线y=x2+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为8（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PEAB于点E，设PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值【考点】二次函数综合题【分析】（1）利用直线解析式求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）利用直线解析式和抛物线解析式表示出PD，再利用同角的余角相等求出DPE=BAO，根据直线k值求出BAO的正弦和余弦值，然后表示出PE、DE，再根据三角形的周长公式列式整理即可得解，再根据二次函数的最值问题解答【解答】解：（1）令y=0，则x=0，解得x=2，x=8时，y=（8）=，点A（2，0），B（8，），把点A、B代入抛物线得，解得，抛物线的解析式y=x2x+；（2）点P在抛物线上，点D在直线上，P点坐标为（x， x2x+），D点坐标为（x， x），点P是直线AB上方的抛物线上一动点PD=x2x+（x）=x2x+4，PEAB，DPE+PDE=90，又PDx轴，BAO+PDE=90，DPE=BAO，D在直线AB上，=，sinBAO=，cosBAO=，PE=PDcosDPE=PD，DE=PDsinDPE=PD，PDE的周长为l=PD+PD+PD=PD=（x2x+4）=x2x+，即l=x2x+；l=x2x+=（x+3）2+15，当x=3时，l最大值为15【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数的