高中数学 第一章 推理与证明 3 反证法例题与探究 北师大版选修

高中数学 第一章 推理与证明 3 反证法例题与探究 北师大版选修2-2高手支招3综合探究1.用反证法证明问题的本质 反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定假设,达到肯定原命题正确的一种方法.反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种).用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论.也就是说,反证法是由证明pq转向证明:qrt,t与假设或与某个真命题矛盾,q为假,推出q为真的方法.从逻辑角度看,命题“若p则q”的否定是“若p则q”由此进行推理,如果发生矛盾,那么“若p则q”为假,因此可知“若p则q”为真.可以看出,反证法与证逆否命题是不同的.由于受“反证法就是证逆否命题”的错误影响,在否定结论后的推理过程中,往往一味寻求与原题设的矛盾,而不注意寻求其他形式的矛盾,这样就大大限制和影响了解题思路.归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾.2.在证明的过程中如何反设反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下:(1)等于不等于;(2)大于小于等于;(3)小于大于等于;(4)对所有x成立存在某个x不成立;(5)至少有一个一个也没有;(6)至多一个至少两个;(7)至少n个至多n-1个;(8)至多n个至少n+1个;(9)p或qp且q;(10)p且qp或q.高手支招4典例精析【例1】证明:圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.已知,如图，在O中弦AB、CD交于点P,且AB、CD不是直径.求证:弦AB、CD不被P平分.思路分析：利用反证法和圆的性质易证.证明：如下图.假设弦AB、CD被P平分,由于P点一定不是圆心O,连结OP,据垂径定理的推论,有OPAB,OPCD.即过点P有两条直线与OP都垂直,这与垂线性质矛盾.所以,弦AB、CD不被P平分.【例2】如果ab0,那么.思路分析：由于正面论证不容易,故采用反证法.反证法证明过程中必须对结论的反面的各种情况一一加以否定,才能证明原命题的正确性.本题的的反面有=,两种情况.证明：假设不成立,则.若=,则a=b,与已知ab矛盾,若,则ab,与已知ab矛盾,故假设不成立,结论成立.【例3】如果一个整数n的平方是偶数,那么这个整数n本身也是偶数,试证之.思路分析：由“整数n的平方是偶数”这个条件,很难直接证明“这个整数n本身也是偶数”这个结论成立,因此考虑用反证法证明.证明：假设整数n不是偶数,那么n可写成:n2k1(kZ),则n2(2k1)24k24k12(2k22k)1.kZ,2k22kZ,则2(2k22k)为偶数.那么2(2k22k)1为奇数.n2为奇数.但这与已知条件矛盾.则假设不成立,故n是偶数.【例4】给定实数a,a0且a1,设函数f(x)=(xR,x).求证:经过函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴.思路分析：根据反证法和函数的性质易得.证明：假设命题不成立,即经过函数图像上任意两个不同点的直线平行于x轴,则存在x1x2,使得f(x1)=f(x2),由f(x1)=f(x2)知,化简得ax1-ax2-x1+x2=0,即(a-1)(x1-x2)=0,由x1x2知x1-x20,所以a-1=0,a=1与已知矛盾,所以假设不成立,原命题成立.【例5】已知0a、b、c1.求证：（1-a）b、（1-b）c、（1-c）a不可能都大于.思路分析：显然本题从正面不易证明,故采用反证法来证.证法一：假设三式同时大于,即有b-ab,c-bc,a-ac.三式同向相乘,得:(1-a)a(1-b)b(1-c)c.而(1-a)a,同理:(1-b)b,(1-c)c.(1-a)a(1-b)b(1-c)c.因此与假设矛盾,故结论正确.证法二：假设三式同时大于,0a1,1-a0.=,同理:都大于,三式相加得,矛盾.原命题成立.【例6】(2007河南郑州模拟)求证:抛物线上任意取四点所组成的四边形不可能是平行四边形.思路分析：结论为“否定性”的命题,宜用反证法.证明：如图,设抛物线方程为y2=ax(a0),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)是抛物线上的不同四点,则有=axi,xi=(i=1,2,3,4),于是,kAB=.同理,kBC=,kCD=,kDA=.假定ABCD是平行四边形,则kAB=kCD,kBC=kDA,从而得y1=y3,y2=y4,进而得x1=x3,x2=x4,于是A,C重合,B,D重合,这与A、B、C、D是抛物线上不同的四点的假设相矛盾.故ABCD不可能是平行四边形.【例7】 (2007江西高考，理16)设有一组圆Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(kN*).下列四个命题:A.存在一条定直线与所有的圆均相切 B.存在一条定直线与所有的圆均相交C.存在一条定直线与所有的圆均不相交 D.所有的圆均不经过原点其中真命题的代号是_.(写出所有真命题的代号)思路分析：（1）判断A是否正确用反证法:因为Ck：(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(kN*)表示以（k-1,3k）为圆心，以k2为半径的一组圆，假若存在一条直线Ax+By+C=0(A2+B20)与所有的圆均相切，则必有=k2对于任意kN*恒成立，即 k2-A(k-1)-3Bk-C=0恒成立，或k2+A(k-1)+3Bk+C=0恒成立，这是不可能的，故A不正确.（2）存在直线y=3(x+1)过所有圆的圆心.（3）由于半径k2随着k的无限增大而增大，故不存在这样的直线与所有的圆均不相交.（4）由于将x=0,y=0代入方程中得不到恒等式，故所有的圆不经过原点是正确的.答案：BD高手支招5思考发现1.有些证明题,从正面证明如果说不清楚,或当直接证明有困难时可以考虑反证法.2.凡涉及证明为否定性命题、唯一性命题或是含“至多”“至少”