高考数学一轮复习 第二章 函数导数及其应用 第12讲 函数模型及其应用实战演练 理

20182018 年高考数学一轮复习年高考数学一轮复习 第二章第二章 函数、导数及其应用函数、导数及其应用 第第 1212 讲讲 函数模型及其应用实战演练函数模型及其应用实战演练 理理 1(2016四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入若该公司 2015 年全年投入研发奖金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长 12%，则 该公司全年投入的研发奖金开始超过 200 万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)( B ) A2018 年B2019 年 C2020 年D2021 年 解析：设第n(bN N*)年该公司年投入的研发资金开始超过 200 万元根据题意得 130(112%)n1200， 则 lg130(112%)n1lg 200， lg 130(n1)lg 1.12lg 22， 2lg 1.3(n1)lg 1.12lg 22， 0.11(n1)0.050.30， 解得n，又nN N*，n5，该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的 24 5 年份是 2019 年故选 B 2(2015北京卷)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描 述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是( D ) A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 D某城市机动车最高限速 80 千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 解析：对于 A 选项，由题图可知，当乙车速度大于 40 km/h 时，乙车每消耗 1 升汽油， 行驶里程都超过 5 km，则 A 错； 对于 B 选项，由题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故 三辆车中甲车耗油最少，则 B 错； 对于 C 选项，甲车以 80 千米/小时的速度行驶时，燃油效率为 10 km/L，则行驶 1 小 时，消耗了汽油 801108(L)，则 C 错； 对于 D 选项，当行驶速度小于 80 km/h，在相同条件下，丙车的燃油效率高于乙车， 则在该市用丙车比用乙车更省油，则 D 对 3(2014湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的 增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( D ) AB pq 2 p1q11 2 CD1 pqp1q1 解析：设两年前的年底该市的生产总值为a，则第二年年底的生产总值为a(1p) (1q)设这两年生产总值的年平均增长率为x，则a(1x)2a(1p)(1q)，由于连续 两年持续增加，所以x0，因此x1，故选 D 1p1q 4(2015江苏卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交 通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得 点M到l1，l2的距离分别为 5 千米和 40 千米，点N到l1，l2的距离分别为 20 千米和 2.5 千米，以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函 数y(其中a，b为常数)模型 a x2b (1)求a，b的值； (2)设公路l与曲线C相切于点P，点P的横坐标为t. 请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域； 当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度 解析：(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)， 分别代入y，得Error!解得Error! a x2b (2)由(1)知，y(5x20)，则点P的坐标为， 1 000 x2 (t， 1 000 t2 ) 设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，易知y， 2 000 x3 则l的方程为y(xt)， 1 000 t2 2 000 t3 由此得A，B. ( 3t 2 ，0) (0， 3 000 t2 ) 故f(t)，t5,20 ( 3t 2)2( 3 000 t2 )2 3 2 t24 106 t4 设g(t)t2，则g(t)2t. 4 106 t4 16 106 t5 令g(t)0，解得t10. 2 当t(5,10)时，g(t)0，g(