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为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神,保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础,束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神,强化措施,深入扎实开展扫黑除恶专项斗争2017年中考数学专题练习15二次函数综合应用【知识归纳】一二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c0)与直线y=0(即x轴)的公共点的个数。抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴的公共点有三种情况: 公共点(即有两个交点), 公共点, 公共点,因此有: (1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x1,0)(x2,0),一元二次方程ax2+bx+c=0有 个不等实根=b2-4ac 0。(2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时,此公共点即为顶点(,0)一元二次方程ax2+bx+c=0有 实根, (3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点,一元二次方程ax2+bx+c=0 根=b2-4ac 0. 二二次函数的应用.利用二次函数能解决生活实际问题如物体运动规律、销售问题、利润问题、几何图形变化问题等等.【基础检测】1.(2016湖北荆州3分)若函数y=(a1)x24x+2a的图象与x轴有且只有一个交点,则a的值为 2(2016广西南宁3分)二次函数y=ax2+bx+c(a0)和正比例函数y=x的图象如图所示,则方程ax2+(b)x+c=0(a0)的两根之和()A大于0 B等于0 C小于0 D不能确定3(2016四川内江)(12分)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边周长为30米的篱笆围成已知墙长为18米(如图14所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米 (1)若苗圃园的面积为72平方米,求x;(2)若平行于墙的一边长不小于8米,这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有,求出最大值和最小值;如果没有,请说明理由; (3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时,直接写出x的取值范围18m苗圃园图144(2016四川南充)如图,抛物线与x轴交于点A(5,0)和点B(3,0)与y轴交于点C(0,5)有一宽度为1,长度足够的矩形(阴影部分)沿x轴方向平移,与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q,交直线AC于点M和N交x轴于点E和F(1)求抛物线的解析式;(2)当点M和N都在线段AC上时,连接MF,如果sinAMF=,求点Q的坐标;(3)在矩形的平移过程中,当以点P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形时,求点M的坐标【达标检测】一、选择题1(2016广西南宁3分)二次函数y=ax2+bx+c(a0)和正比例函数y=x的图象如图所示,则方程ax2+(b)x+c=0(a0)的两根之和()A大于0 B等于0 C小于0 D不能确定2.(2016黑龙江齐齐哈尔3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(1,0),其部分图象如图所示,下列结论:4acb2;方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=1,x2=3;3a+c0当y0时,x的取值范围是1x3当x0时,y随x增大而增大其中结论正确的个数是()A4个B3个C2个D1个3(2016贵州毕节3分)一次函数y=ax+b(a0)与二次函数y=ax2+bx+c(a0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()A B C D4. (2014滨州市)如图,正方形ABCD的边长为1,E、F分别是边BC和CD上的动点(不与正方形的顶点重合),不管E、F怎样动,始终保持AEEF设BE=x,DF=y,则y是x的函数,函数关系式是()Ay=x+1 By=x-1 Cy=x2-x+1 Dy=x2-x-15(2016广西南宁3分)二次函数y=ax2+bx+c(a0)和正比例函数y=x的图象如图所示,则方程ax2+(b)x+c=0(a0)的两根之和()A大于0 B等于0 C小于0 D不能确定二、填空题6(2015温州第15题5分)某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1m宽的门已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m,则能建成的饲养室面积最大为 m27. (2015年浙江衢州16,4分)如图,已知直线分别交轴、轴于点、,是抛物线上的一个动点,其横坐标为,过点且平行于轴的直线交直线于点,则当时,的值是 .8(2015营口,第16题3分)某服装店购进单价为15元童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为 元时,该服装店平均每天的销售利润最大9(2015营口,第18题3分)如图,边长为n的正方形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴的正半轴上,A1、A2、A3、An1为OA的n等分点,B1、B2、B3、Bn1为CB的n等分点,连接A1B1、A2B2、A3B3、An1Bn1,分别交y=x2(x0)于点C1、C2、C3、Cn1,当B25C25=8C25A25时,则n=5三、解答题10. (2016四川泸州)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A(1,3),B(4,0)两点(1)求出抛物线的解析式;(2)在坐标轴上是否存在点D,使得ABD是以线段AB为斜边的直角三角形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由;(3)点P是线段AB上一动点,(点P不与点A、B重合),过点P作PMOA,交第一象限内的抛物线于点M,过点M作MCx轴于点C,交AB于点N,若BCN、PMN的面积SBCN、SPMN满足SBCN=2SPMN,求出的值,并求出此时点M的坐标11.(2016辽宁丹东12分)如图,抛物线y=ax2+bx过A(4,0),B(1,3)两点,点C、B关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线BHx轴,交x轴于点H(1)求抛物线的表达式;(2)直接写出点C的坐标,并求出ABC的面积;(3)点P是抛物线上一动点,且位于第四象限,当ABP的面积为6时,求出点P的坐标;(4)若点M在直线BH上运动,点N在x轴上运动,当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时,请直接写出此时CMN的面积 【知识归纳答案】一二次函数与一元二次方程的关系两个公共点(即有两个交点),一个公共点,没有公共点,因此有:(1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x1,0)(x2,0),一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根=b2-4ac0。(2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时,此公共点即为顶点(,0) 一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等实根,(3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点,一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根=b2-4ac0.二二次函数的应用.利用二次函数能解决生活实际问题如物体运动规律、销售问题、利润问题、几何图形变化问题等等.【基础检测答案】1.(2016湖北荆州3分)若函数y=(a1)x24x+2a的图象与x轴有且只有一个交点,则a的值为1或2或1【分析】直接利用抛物线与x轴相交,b24ac=0,进而解方程得出答案【解答】解:函数y=(a1)x24x+2a的图象与x轴有且只有一个交点,当函数为二次函数时,b24ac=164(a1)2a=0,解得:a1=1,a2=2,当函数为一次函数时,a1=0,解得:a=1故答案为:1或2或1【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点,正确得出关于a的方程是解题关键2(2016广西南宁3分)二次函数y=ax2+bx+c(a0)和正比例函数y=x的图象如图所示,则方程ax2+(b)x+c=0(a0)的两根之和()A大于0 B等于0 C小于0 D不能确定【考点】抛物线与x轴的交点【分析】设ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1,x2,由二次函数的图象可知x1+x20,a0,设方程ax2+(b)x+c=0(a0)的两根为a,b再根据根与系数的关系即可得出结论【解答】解:设ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1,x2,由二次函数的图象可知x1+x20,a0,0设方程ax2+(b)x+c=0(a0)的两根为a,b,则a+b=+,a0,0,a+b0故选C【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点,熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键3(2016四川内江)(12分)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边周长为30米的篱笆围成已知墙长为18米(如图14所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米(1)若苗圃园的面积为72平方米,求x;(2)若平行于墙的一边长不小于8米,这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有,求出最大值和最小值;如果没有,请说明理由;(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时,直接写出x的取值范围18m苗圃园图14考点应用题,一元二次方程,二次函数。解:(1)苗圃园与墙平行的一边长为(302x)米依题意可列方程x(302x)72,即x215x360解得x13,x212(2)依题意,得8302x18解得6x11面积Sx(302x)2(x)2(6x11)当x时,S有最大值,S最大;当x11时,S有最小值,S最小11(3022)88(3)令x(302x)100,得x215x500解得x15,x210x的取值范围是5x104(2016四川南充)如图,抛物线与x轴交于点A(5,0)和点B(3,0)与y轴交于点C(0,5)有一宽度为1,长度足够的矩形(阴影部分)沿x轴方向平移,与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q,交直线AC于点M和N交x轴于点E和F(1)求抛物线的解析式;(2)当点M和N都在线段AC上时,连接MF,如果sinAMF=,求点Q的坐标;(3)在矩形的平移过程中,当以点P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形时,求点M的坐标【分析】(1)设抛物线为y=a(x+5)(x3),把点(0,5)代入即可解决问题(2)作FGAC于G,设点F坐标(m,0),根据sinAMF=,列出方程即可解决问题(3)当MN是对角线时,设点F(m,0),由QN=PM,列出方程即可解决问题当MN为边时,MN=PQ=,设点Q(m, m2m+5)则点P(m+1, m2m+6),代入抛物线解析式,解方程即可【解答】解:(1)抛物线与x轴交于点A(5,0),B(3,0),可以假设抛物线为y=a(x+5)(x3),把点(0,5)代入得到a=,抛物线的解析式为y=x2x+5(2)作FGAC于G,设点F坐标(m,0),则AF=m+5,AE=EM=m+6,FG=(m+5),FM=,sinAMF=,=,=,整理得到2m2+19m+44=0,(m+4)(2m+11)=0,m=4或5.5(舍弃),点Q坐标(4,)(3)当MN是对角线时,设点F(m,0)直线AC解析式为y=x+5,点N(m,m+5),点M(m+1,m+6),QN=PM,m2m+5m5=m+6(m+1)2(m+1)+5,解得m=3,点M坐标(2+,3+)或(2,3)当MN为边时,MN=PQ=,设点Q(m, m2m+5)则点P(m+1, m2m+6),m2m+6=(m+1)2(m+1)+5,解得m=3点M坐标(2,3),综上所述以点P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形时,点M的坐标为(2,3)或(2+,3+)或(2,3)【点评】本题考查二次函数综合题、三角函数、勾股定理等知识,解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式,学会分类讨论,用方程的思想解决问题,属于中考压轴题【达标检测答案】一、选择题1(2016广西南宁3分)二次函数y=ax2+bx+c(a0)和正比例函数y=x的图象如图所示,则方程ax2+(b)x+c=0(a0)的两根之和()A大于0 B等于0 C小于0 D不能确定【考点】抛物线与x轴的交点【分析】设ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1,x2,由二次函数的图象可知x1+x20,a0,设方程ax2+(b)x+c=0(a0)的两根为a,b再根据根与系数的关系即可得出结论【解答】解:设ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1,x2,由二次函数的图象可知x1+x20,a0,0设方程ax2+(b)x+c=0(a0)的两根为a,b,则a+b=+,a0,0,a+b0故选C【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点,熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键2.(2016黑龙江齐齐哈尔3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(1,0),其部分图象如图所示,下列结论:4acb2;方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=1,x2=3;3a+c0当y0时,x的取值范围是1x3当x0时,y随x增大而增大其中结论正确的个数是()A4个B3个C2个D1个【考点】二次函数图象与系数的关系【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对进行判断;利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0),则可对进行判断;由对称轴方程得到b=2a,然后根据x=1时函数值为负数可得到3a+c0,则可对进行判断;根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对进行判断;根据二次函数的性质对进行判断【解答】解:抛物线与x轴有2个交点,b24ac0,所以正确;抛物线的对称轴为直线x=1,而点(1,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(3,0),方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=1,x2=3,所以正确;x=1,即b=2a,而x=1时,y0,即ab+c0,a+2a+c0,所以错误;抛物线与x轴的两点坐标为(1,0),(3,0),当1x3时,y0,所以错误;抛物线的对称轴为直线x=1,当x1时,y随x增大而增大,所以正确故选B3(2016贵州毕节3分)一次函数y=ax+b(a0)与二次函数y=ax2+bx+c(a0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()A B C D【考点】二次函数的图象;一次函数的图象【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负,再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致【解答】解:A、由抛物线可知,a0,由直线可知,故本选项错误;B、由抛物线可知,a0,x=0,得b0,由直线可知,a0,b0,故本选项错误;C、由抛物线可知,a0,x=0,得b0,由直线可知,a0,b0,故本选项正确;D、由抛物线可知,a0,x=0,得b0,由直线可知,a0,b0故本选项错误故选C4. (2014滨州市)如图,正方形ABCD的边长为1,E、F分别是边BC和CD上的动点(不与正方形的顶点重合),不管E、F怎样动,始终保持AEEF设BE=x,DF=y,则y是x的函数,函数关系式是()Ay=x+1 By=x-1 Cy=x2-x+1 Dy=x2-x-1【答案】C【解析】BAE和EFC都是AEB的余角BAE=FECABEECF,那么AB:EC=BE:CF,AB=1,BE=x,EC=1-x,CF=1-yABCF=ECBE,即1(1-y)=(1-x)x化简得:y=x2-x+1故选C5(2016广西南宁3分)二次函数y=ax2+bx+c(a0)和正比例函数y=x的图象如图所示,则方程ax2+(b)x+c=0(a0)的两根之和()A大于0 B等于0 C小于0 D不能确定【考点】抛物线与x轴的交点【分析】设ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1,x2,由二次函数的图象可知x1+x20,a0,设方程ax2+(b)x+c=0(a0)的两根为a,b再根据根与系数的关系即可得出结论【解答】解:设ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1,x2,由二次函数的图象可知x1+x20,a0,0设方程ax2+(b)x+c=0(a0)的两根为a,b,则a+b=+,a0,0,a+b0故选C【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点,熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键 二、填空题6(2015温州第15题5分)某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1m宽的门已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m,则能建成的饲养室面积最大为75m2 考点:二次函数的应用.分析:设垂直于墙的材料长为x米,则平行于墙的材料长为27+33x=303x,表示出总面积S=x(303x)=3x2+30x=3(x5)2+75即可求得面积的最值解答:解:设垂直于墙的材料长为x米,则平行于墙的材料长为27+33x=303x,则总面积S=x(303x)=3x2+30x=3(x5)2+75,故饲养室的最大面积为75平方米,故答案为:75点评:本题考查了二次函数的应用,解题的关键是从实际问题中抽象出函数模型,难度不大7. (2015年浙江衢州16,4分)如图,已知直线分别交轴、轴于点、,是抛物线上的一个动点,其横坐标为,过点且平行于轴的直线交直线于点,则当时,的值是 .【答案】4或或或.【考点】二次函数与一次函数综合问题;单动点问题,曲线上点的坐标与方程的关系;勾股定理;分类思想和方程思想的应用【分析】根据题意,设点的坐标为,则.在令得.,即.由解得或.由解得或.综上所述,的值是4或或或8(2015营口,第16题3分)某服装店购进单价为15元童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为22元时,该服装店平均每天的销售利润最大【解析】 二次函数的应用根据“利润=(售价成本)销售量”列出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;把二次函数解析式转化为顶点式方程,利用二次函数图象的性质进行解答【解答】 解:设定价为x元,根据题意得:y=(x15)8+2(25x)=2x2+88x870y=2x2+88x870,=2(x22)2+98a=20,抛物线开口向下,当x=22时,y最大值=98故答案为:22【点评】 此题题考查二次函数的实际应用,为数学建模题,借助二次函数解决实际问题,解决本题的关键是二次函数图象的性质9(2015营口,第18题3分)如图,边长为n的正方形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴的正半轴上,A1、A2、A3、An1为OA的n等分点,B1、B2、B3、Bn1为CB的n等分点,连接A1B1、A2B2、A3B3、An1Bn1,分别交y=x2(x0)于点C1、C2、C3、Cn1,当B25C25=8C25A25时,则n=5【解析】正方形的性质;二次函数图象上点的坐标特征据题意表示出OA25,B25A25的长,由B25C25=8C25A25确定点C25的坐标,代入解析式计算得到答案【解答】 解:正方形OABC的边长为n,点A1,A2,An1为OA的n等分点,点B1,B2,Bn1为CB的n等分点,OA25=,A25B25=n,B25C25=8C25A25,C25(,),点C25在y=x2(x0)上,=()2,解得n=5故答案为:5【点评】 本题考查的是二次函数图象上点的特征和正方形的性质,根据正方形的性质表示出点C25的坐标是解题的关键三、解答题10. (2016四川泸州)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A(1,3),B(4,0)两点(1)求出抛物线的解析式;(2)在坐标轴上是否存在点D,使得ABD是以线段AB为斜边的直角三角形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由;(3)点P是线段AB上一动点,(点P不与点A、B重合),过点P作PMOA,交第一象限内的抛物线于点M,过点M作MCx轴于点C,交AB于点N,若BCN、PMN的面积SBCN、SPMN满足SBCN=2SPMN,求出的值,并求出此时点M的坐标【考点】二次函数综合题【分析】(1)由A、B两点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;(2)分D在x轴上和y轴上,当D在x轴上时,过A作ADx轴,垂足D即为所求;当D点在y轴上时,设出D点坐标为(0,d),可分别表示出AD、BD,再利用勾股定理可得到关于d的方程,可求得d的值,从而可求得满足条件的D点坐标;(3)过P作PFCM于点F,利用RtADORtMFP以及三角函数,可用PF分别表示出MF和NF,从而可表示出MN,设BC=a,则可用a表示出CN,再利用SBCN=2SPMN,可用PF表示出a的值,从而可用PF表示出CN,可求得的值;借助a可表示出M点的坐标,代入抛物线解析式可求得a的值,从而可求出M点的坐标【解答】解:(1)A(1,3),B(4,0)在抛物线y=mx2+nx的图象上,解得,抛物线解析式为y=x2+4x;(2)存在三个点满足题意,理由如下:当点D在x轴上时,如图1,过点A作ADx轴于点D,A(1,3),D坐标为(1,0);当点D在y轴上时,设D(0,d),则AD2=1+(3d)2,BD2=42+d2,且AB2=(41)2+(3)2=36,ABD是以AB为斜边的直角三角形,AD2+BD2=AB2,即1+(3d)2+42+d2=36,解得d=,D点坐标为(0,)或(0,);综上可知存在满足条件的D点,其坐标为(1,0)或(0,)或(0,);(3)如图2,过P作PFCM于点F,PMOA,RtADORtMFP,=3,MF=3PF,在RtABD中,BD=3,AD=3,tanABD=,ABD=60,设BC=a,则CN=a,在RtPFN中,PNF=BNC=30,tanPNF=,FN=PF,MN=MF+FN=4PF,SBCN=2SPMN,a2=24PF2,a=2PF,NC=a=2PF,=,MN=NC=a=a,MC=MN+NC=(+)a,M点坐标为(4a,( +)a),又M点在抛物线上,代入可得(4a)2+4(4a)=(+)a,解得a=3或a=0(舍去),OC=4a=+1,MC=2+,点M的坐标为(+1,2+)11.(2016辽宁丹东12分)如图,抛物线y=ax2+bx过A(4,0),B(1,3)两点,点C、B关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线BHx轴,交x轴于点H(1)求抛物线的表达式;(2)直接写出点C的坐标,并求出ABC的面积;(3)点P是抛物线上一动点,且位于第四象限,当A
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