高考数学大一轮复习 高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题教师用书 理 苏教版

为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题教师用书 理 苏教版1(2015课标全国改编)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为_答案解析如图，设双曲线E的方程为1(a0，b0)，则AB2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MNx轴于点N(x1,0)，ABM为等腰三角形，且ABM120，BMAB2a，MBN60，y1MNBMsinMBN2asin 60a，x1OBBNa2acos 602a.将点M(x1，y1)的坐标代入1，可得a2b2，e .2.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足OPOF，且PF4，则椭圆C的方程为_答案1解析设椭圆的标准方程为1(ab0)，焦距为2c，右焦点为F，连结PF，如图所示，因为F(2，0)为C的左焦点，所以c2.由OPOFOF知，FPF90，即FPPF.在RtPFF中，由勾股定理，得PF8.由椭圆定义，得PFPF2a4812，所以a6，a236，于是b2a2c236(2)216，所以椭圆的方程为1.3(2017山西质量监测)已知A，B分别为椭圆1(ab0)的右顶点和上顶点，直线ykx(k0)与椭圆交于C，D两点，若四边形ACBD的面积的最大值为2c2，则椭圆的离心率为_答案解析设C(x1，y1)(x10)，D(x2，y2)，将ykx代入椭圆方程可解得x1，x2，则CD|x1x2|.又点A(a,0)到直线ykx的距离d1，点B(0，b)到直线ykx的距离d2，所以S四边形ACBDd1CDd2CD(d1d2)CDab.令t，则t212ab12ab12ab2，当且仅当a2k，即k时，tmax，所以S四边形ACBD的最大值为ab.由条件，得ab2c2，即2c4a2b2a2(a2c2)a4a2c2,2c4a2c2a40,2e4e210，解得e2或e21(舍去)，所以e.4(2016北京)双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a_.答案2解析设B为双曲线的右焦点，如图所示四边形OABC为正方形且边长为2，cOB2，又AOB，tan1，即ab.又a2b2c28，a2.5已知双曲线1(a0，b0)和椭圆1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_答案1解析由题意得，双曲线1(a0，b0)的焦点坐标为(，0)，(，0)，c且双曲线的离心率为2a2，b2c2a23，所以双曲线的方程为1. 题型一求圆锥曲线的标准方程例1已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，则椭圆的方程为_答案1或1解析设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，PF1，PF2.由椭圆的定义，知2aPF1PF22，即a.由PF1PF2知，PF2垂直于长轴故在RtPF2F1中，4c2PFPF，c2，于是b2a2c2.又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为1或1.思维升华求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程(2015天津改编)已知双曲线1(a0，b0 )的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方程为_答案x21解析双曲线1的一个焦点为F(2,0)，则a2b24，双曲线的渐近线方程为yx，由题意得，联立解得b，a1，所求双曲线的方程为x21.题型二圆锥曲线的几何性质例2(1)(2015湖南改编)若双曲线1的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为_(2)(2016天津)设抛物线(t为参数，p0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若CF2AF，且ACE的面积为3，则p的值为_答案(1)(2)解析(1)由条件知yx过点(3，4)，4，即3b4a，9b216a2，9c29a216a2，25a29c2，e.(2)由(p0)消去t可得抛物线方程为y22px(p0)，F，ABAFp，可得A(p，p)易知AEBFEC，故SACESACF3ppp23，p26，p0，p.思维升华圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力已知椭圆1(ab0)与抛物线y22px(p0)有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆1(ab0)的离心率为_答案1解析因为抛物线y22px(p0)的焦点F为，设椭圆另一焦点为E.当x时，代入抛物线方程得yp，又因为PQ经过焦点F，所以P且PFOF.所以PE p，PFp，EFp.故2a pp,2cp，e1.题型三最值、范围问题例3设椭圆M：1(ab0)的离心率与双曲线x2y21的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆M的方程；(2)若直线yxm交椭圆M于A，B两点，P(1，)为椭圆M上一点，求PAB面积的最大值解(1)双曲线的离心率为，则椭圆的离心率e，由故椭圆M的方程为1.(2)由得4x22mxm240，由(2m)216(m24)0，得2mb0)和椭圆T2：1(bc0)组成，当a，b，c成等比数列时，称曲线为“猫眼”(1)若“猫眼曲线”过点M(0，)，且a，b，c的公比为，求“猫眼曲线”的方程；(2)对于(1)中的“猫眼曲线”，任作斜率为k(k0)且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆T1所得弦的中点为M，交椭圆T2所得弦的中点为N，求证：为与k无关的定值；(3)若斜率为的直线l为椭圆T2的切线，且交椭圆T1于点A，B，N为椭圆T1上的任意一点(点N与点A，B不重合)，求ABN面积的最大值(1)解由题意知，b，a2，c1，T1：1，T2：x21.(2)证明设斜率为k的直线交椭圆T1于点C(x1，y1)，D(x2，y2) ，线段CD的中点为M(x0，y0)，x0，y0，由得0.k存在且k0，x1x2且x00，故上式整理得，即kkOM.同理，kkON2，.(3)解设直线l的方程为yxm，联立方程得整理得(b22c2)x22mc2xm2c2b2c20，由0，化简得m2b22c2，取l1：yx.联立方程化简得(b22a2)x22ma2xm2a2b2a20.由0，得m2b22a2，取l2：yx，l1，l2两平行线间距离d，又AB，ABN的面积最大值为SABd.题型四定值、定点问题例4(2016全国乙卷)设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围解(1)因为ADAC，EBAC，故EBDACDADC，所以EBED，故EAEBEAEDAD.又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而AD4，所以EAEB4.由题设得A(1,0)，B(1,0)，AB2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为1(y0)(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120，则x1x2，x1x2，所以MN|x1x2|.过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y(x1)，点A到m的距离为，所以PQ24.故四边形MPNQ的面积SMNPQ12.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)当l与x轴垂直时，其方程为x1，MN3，PQ8，四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为12,8)思维升华求定点及定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值(2016北京)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：ANBM为定值(1)解由已知，ab1.又a2b2c2，解得a2，b1，c.椭圆方程为y21.(2)证明由(1)知，A(2,0)，B(0,1)设椭圆上一点P(x0，y0)，则y1.当x00时，直线PA方程为y(x2)，令x0，得yM.从而BM|1yM|.直线PB方程为yx1.令y0，得xN.AN|2xN|.ANBM4.当x00时，y01，BM2，AN2，ANBM4.故ANBM为定值题型五探索性问题例5(2015广东)已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：yk(x4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由解(1)圆C1：x2y26x50可化为(x3)2y24，圆C1的圆心坐标为(3,0)(2)设M(x，y)，A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，由圆的性质知MC1MO，0.又(3x，y)，(x，y)，由向量的数量积公式得x23xy20.易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ymx，当直线l与圆C1相切时，d2，解得m.把相切时直线l的方程代入圆C1的方程，化简得9x230x250，解得x.当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0)又直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，x3.点M的轨迹C的方程为x23xy20，其中x3.(3)由题意知直线L表示过定点(4,0)，斜率为k的直线，把直线L的方程代入轨迹C的方程x23xy20，其中x3，化简得(k21)x2(38k2)x16k20，其中x3，记f(x)(k21)x2(38k2)x16k2，其中0时，若x3是方程的解，则f(3)0k0另一根为x0，故在区间上有且仅有一个根，满足题意；若x是方程的解，则f0k另外一根为x，3，故在区间上有且仅有一个根，满足题意；若x3和x均不是方程的解，则方程在区间上有且仅有一个根，只需ff(3)0kb0)的离心率为，且过点(1，)，过椭圆的左顶点A作直线lx轴，点M为直线l上的动点(点M与点A不重合)，点B为椭圆的右顶点，直线BM交椭圆C于点P.(1)求椭圆C的方程；(2)求证：APOM；(3)试问：是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由(1)解因为椭圆C：1(ab0)的离心率为，所以a22c2，所以a22b2.又因为椭圆C过点(1，)，所以1，所以a24，b22，所以椭圆C的方程1.(2)证明设直线BM的斜率为k，则直线BM的方程为yk(x2)，设P(x1，y1)，将yk(x2)代入椭圆C的方程1中，化简得(2k21)x28k2x8k240，解得x1，x22，所以y1k(x12)，从而P(，)令x2，得y4k，所以M(2，4k)，(2，4k)又因为(2，)(，)，所以0，所以APOM.(3)解因为(，)(2，4k)4，所以为定值4.1(2015陕西)如图，椭圆E：1(ab0)，经过点A(0，1)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.(1)解由题设知，b1，结合a2b2c2，解得a，所以椭圆的方程为y21.(2)证明由题设知，直线PQ的方程为yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则x1x2，x1x2，从而直线AP，AQ的斜率之和 kAPkAQ2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.2已知双曲线C：1(a0，b0)的焦距为3，其中一条渐近线的方程为xy0.以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A，B两点(1)求椭圆E的方程；(2)若点P为椭圆E的左顶点，2，求|2|2的取值范围解(1)由双曲线1的焦距为3，得c，a2b2.由题意知，由解得a23，b2，椭圆E的方程为y21.(2)由(1)知P(，0)设G(x0，y0)，由2，得(x0，y0)2(x0，y0)，即解得G(，0)设A(x1，y1)，则B(x1，y1)，|2|2(x1)2y(x1)2y2x2y2x3xx.又x1，x0,3，x，|2|2的取值范围是，3已知椭圆1的左顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于B，C两点(1)求该椭圆的离心率；(2)设直线AB和AC分别与直线x4交于点M，N，问：x轴上是否存在定点P使得MPNP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由解(1)由椭圆方程可得a2，b，从而椭圆的半焦距c1.所以椭圆的离心率为e.(2)依题意，直线BC的斜率不为0，设其方程为xty1，B(x1，y1)，C(x2，y2)，将其代入1，整理得(43t2)y26ty90.所以y1y2，y1y2.易知直线AB的方程是y(x2)，从而可得M(4，)，同理可得N(4，)假设x轴上存在定点P(p,0)使得MPNP，则有0.所以(p4)20.将x1ty11，x2ty21代入上式，整理得(p4)20，所以(p4)20，即(p4)290，解得p1或p7.所以x轴上存在定点P(1,0)或P(7,0)，使得MPNP.4.已知椭圆1(ab0)的离心率为，且经过点P(1，)，过它的左，右焦点F1，F2分别作直线l1与l2，l1交椭圆于A，B两点，l2交椭圆于C，D两点，且l1l2.(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形ACBD的面积S的取值范围解(1)由a2c，a24c2，b23c2，将点P的坐标代入椭圆方程得c21，故所求椭圆方程为1.(2)若l1与l2中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，此时四边形的面积S6.若l1与l2的斜率都存在，设l1的斜率为k，则l2的斜率为，则直线l1的方程为yk(x1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组消去y并整理得(4k23)x28k2x4k2120.x1x2，x1x2，|x1x2|，AB|x1x2|，注意到方程的结构特征和图形的对称性，可以用代替中的k，得CD，SABCD，令k2t(0，)，S66，当且仅当t1时等号成立，S，6)，综上可知，四边形ABCD的面积S，6*5(2016盐城三模)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的离心率为，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A，B两点当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的