高中数学 第3章 不等式章末分层突破3学案 苏教版必修

“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线第3章 不等式章末分层突破自我校对分式不等式的解法选点法一正、二定、三相等_不等式的解法1.一元二次不等式的求解流程(1)一化：化二次项系数为正数(2)二判：判断对应方程的根(3)三求：求对应方程的根(4)四画：画出对应函数的图象(5)五解集：根据图象写出不等式的解集2含参数的一元二次不等式的分类和讨论步骤(1)对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零的讨论，特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式来求解(2)对含参数的一元二次不等式，在其解的情况不明确的情况下，需要对其判别式分0，0，x2，x1x2，x11(a1)【精彩点拨】先化分式不等式为整式不等式，再就a的取值讨论不等式的解法【规范解答】原不等式可化为10，即(a1)(x2)0，(*)当a1时，(*)即为(x2)0，而210.2或x.当a1时，(*)即为(x2)0，而2.若0a2，此时2x；若a0，则(x2)20，此时无解；若a0，则2，此时x1时，不等式的解集为；当0a1时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为.再练一题1解不等式x22ax20.【解】对于方程x22ax20，因为4a28，所以当0，即a0，即a或a时，x22ax20有两个不相等的实根，分别为x1a，x2a，且x1或a时，解集为x|axa；当a时，解集为x|x；当a时，解集为x|x；当a时，解集为.简单的线性规划问题1.线性规划在实际中的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高；(2)给定一项任务，怎样统筹安排，使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少2解答线性规划应用题的步骤(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数(2)画：画出线性约束条件所表示的可行域(3)移：在线性目标函数所表示的一族平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线(4)求：通过解方程组求出最优解(5)答：作出答案某厂用甲、乙两种原料生产A，B两种产品，制造1 t A,1 t B产品需要的各种原料数，可得到的利润以及工厂现有各种原料数如下表：(1)在现有原料条件下，生产A，B两种产品各多少时，才能使利润最大？(2)每吨B产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？【精彩点拨】先用二元一次不等式组表示约束条件，并画出可行域，再利用图解法求最优解【规范解答】(1)生产A，B两种产品分别为x t，y t，则利润z5x3y，x，y满足作出可行域如图：当直线5x3yz过点B时，z取最大值37，即生产A产品 t，B产品 t时，可得最大利润(2)设每吨B产品利润为m万元，则目标函数是z5xmy，直线斜率k，又kAB2，kCB，要使最优解仍为B点，则2，解得m15，则B产品的利润在万元/t与15万元/t之间时，原最优解仍为生产A产品 t，B产品 t，若B产品的利润超过15万元/t，则最优解为C(0,6)，即只生产B产品6 t，若B产品利润低于万元/t，则最优解为A(7,0)，即只生产A产品7 t.再练一题2实数x，y满足不等式组则W的取值范围是_. 【导学号：91730074】【解析】连线的斜率问题画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数W表示阴影部分的点与定点A(1,1)的连线的斜率，由图可知，点(1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到1，故W0，b0)解“定积求和，和最小”问题，用ab2解“定和求积，积最大”问题一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量等方法，构造定值成立的条件，和对等号能否成立的验证若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注意运用基本不等式解决实际问题设函数f(x)x，x0，)(1)当a2时，求函数f(x)的最小值；(2)当0a0，0，x12，当且仅当x1，即x1时，f(x)取最小值此时，f(x)min21.(2)当0a1时，f(x)x11，若x12，则当且仅当x1时取等号，此时x1x20，则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2).x1x20，x1x20，x111，x211，(x11)(x21)1，而0a1，0，f(x)在0，)上单调递增，f(x)minf(0)a.再练一题3东海水晶制品厂去年的年产量10万件，每件水晶产品的销售价为100元，从今年起，工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本，预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本投入n关系g(n)，若水晶产品销售价格不变，第n次投入后的平均利润为f(n)万元(1)求f(n)；(2)从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？【解】(1)第n次投入后，产量10n万件，售价100元，固定成本元，科技成本投入100n万元，f(n)(10n)100n(nN*)(2)由(1)知f(n)(10n)100n1 00080520(万元)，当，即n8时，利润最高，最高利润520万元答：从今年算起第8年利润最高为520万元.等价转化思想转化与化归，就是转化已知和所求，对于恒成立问题，一般是探求字母参数的取值范围，经常采用分离参数的方法，转化为字母参数与函数的最值关系问题对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种：1变更主元法根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元2分离参数法若f(a)g(x)恒成立，则f(a)g(x)恒成立，则f(a)g(x)max.3数形结合法利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化若x22ax2a在x1，)上恒成立，求a的取值范围【精彩点拨】可联系二次函数，利用对称轴与所给区间的关系讨论a，也可结合二次函数的图象构造a的不等式组【规范解答】法一：设f(x)(xa)22a2，此二次函数图象的对称轴为xa.(1)当a(，1)时，结合图象知，f(x)在1，)上单调递增，f(x)minf(1)2a3.要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a3a，解得a3.又a1，3a1.(2)当a1，)时，f(x)minf(a)2a2，由2a2a，解得2a1.又a1，1a1.综上所述，所求a的取值范围为3,1法二：由已知得x22ax2a0在1，)上恒成立，令g(x)x22ax2a，即(2a)24(2a)0或解得3a1.再练一题4若关于x的不等式0，0，要使2x28x6m0恒成立，则只需要0，即648(6m)0，m2，m的取值范围是m0对任意的x恒成立，则只需m2x28x6对任意的x恒成立，2x28x62(x2)222，2x28x6在xR上的最小值为2，m0，y0时，xy(2y)x的最小值为_【解析】因为xy，所以(2y)x.又x0.y0，故xy(2y)x，当且仅当xy时，等号成立【答案】4(2016浙江高考改编)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影由区域中的点在直线xy20上的投影构成的线段记为AB，则|AB|_.【解析】作出可行域，如图所示由得A(2，2)由得B(1,1)由于直线xy0与直线xy20平行，所以可行域中的点在直线xy20上的投影AB的长度|AB|AB|3.【答案】35(2016江苏高考)已知实数x，y满足则x2y2的取值范围是_【解析】根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x，y)为阴影区域内的动点d可以看做坐标原点O与可行域内的点(x，y)之间的距离数形结合，知d的最大值是OA的长，d的最小值是点O到直线2xy20的距离由可得A(2,3)，所以dmax，dmin.所以d2的最小值为，最大值为13.所以x2y2的取值范围是.【答案】章末综合测评(三)(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填在题中的横线上)1若不等式x22x30的解集为A，不等式x2x60的解集为B，不等式x2axb0的解集为AB，那么ab_.【解析】因为x22x30的解集为Ax|1x3，不等式x2x60的解集为Bx|3x2，不等式x2axb0的解集为ABx|1x1；错，与为负时不成立【答案】4某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b.这两年的平均增长率为x，则x与的大小关系为_. 【导学号：91730075】【解析】由题意可知A(1x)2A(1a)(1b)A2，x.【答案】x5(2016南京高二检测)若0x1,0y2，且2yx1，则z2y2x4的最小值为_【解析】由已知作出可行域(如图)，由z2y2x4，得yx2，当x1，y1时，zmin4.【答案】46设Ma(2a3)，Nlog，xR，则M，N的大小关系为_【解析】Ma22224，此时a21，a3，而2a4，Nloglog4，MN.【答案】MN7在如图1所示的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数zxay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值是_图1【解析】若最优解有无数个，则yx与其中一条边平行，而三边的斜率分别为，1,0，与对照可知a3或1，又因zxay取得最小值，则a3.【答案】38将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是_(1)6.5 m；(2)6.8 m；(3)7 m；(4)7.2 m.【解析】设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab2，ab4，lab2426.828(m)因为要求够用且浪费最少，故答案为(3)【答案】(3)9方程x2(m2)x5m0的两根都大于2，则m的取值范围是_【解析】令f(x)x2(m2)x5m，要使f(x)0的两根都大于2，则解得故答案为(5，4【答案】(5，410已知等比数列an各项均为正数，公比q1，设P，Q，则P与Q的大小关系是_【解析】an是等比数列，a2a9a4a7，.又q1，a2a9，PQ.【答案】PQ11已知函数f(x)若f(f(1)3a2，则a的取值范围是_【解析】f(1)213，f(f(1)f(3)326a，若f(f(1)3a2，则96a3a2，即a22a30，解得1a3.【答案】(1,3)12已知x，y，z(0，)，且满足x2y3z0，则的最小值为_【解析】由题意知y，所以3，当且仅当x29z2时等号成立，所以的最小值为3.【答案】313(2016苏州高二检测)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)x24x，那么不等式f(x2)5的解集是_. 【导学号：91730076】【解析】因为f(x)为偶函数，所以f(|x2|)f(x2)，则f(x2)5可化为f(|x2|)5，即|x2|24|x2|5，(|x2|1)(|x2|5)0，所以|x2|5，解得7x3，所以不等式f(x2)1，在约束条件下，目标函数zx5y的最大值为4，则m的值为_【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，把目标函数化为yx，显然当yx过点A时取到最大值此时z4，即yx.由得A.把A代入ymx得，m，m1.【答案】1二、解答题(本大题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)解关于x的不等式：0(aR)【解】原不等式等价于(xa)(xa2)0.(1)当a0时，原不等式为x20，x.(2)当a1时，原不等式为(x1)20，x.(3)当0aa2，原不等式的解集为x|a2xa(4)当a1时，a2a，原不等式的解集为x|axa2综上，当a0或a1时，不等式解集为；当0a1时，不等式解集为x|a2xa；当a1时，不等式解集为x|axa216(本小题满分14分)已知关于x的不等式kx22x6k0(k0)(1)若不等式的解集是x|x2，求k的值；(2)若不等式的解集是R，求k的取值范围【解】(1)因为不等式的解集为x|x2，所以3，2是方程kx22x6k0的两根且k0.由根与系数的关系得解得k.(2)因为不等式的解集为R，所以即所以k0，tan Btan C1.由得tan Btan C.又由tan Btan C1得1，tan A2.tan Atan Btan C(tan A2)4248，当且仅当tan A2，即tan A4时取得等号故tan Atan Btan C的最小值为8.19(本小题满分16分)规定：max(a，b，c)与min(a，b，c)分别表示a，b，c中的最大数与最小数，若正系数二次函数f(x)ax2bxc的图象与x轴有公共点，试证：(1)max(a，b，c)f(1)；(2)min(a，b，c)f(1)【证明】由题意知a，b，c0，f(1)abc，b24ac0.(1)若bf(1)，结论显然成立；下面证明当bf(1)时，结论也成立记f(1)abcd.，由b24ac0，可知acd，所以a2d2a2aca(ac)ad，即0，解得ad.若ad，cd.因此，必有af(1)或bf(1)或cf(1)，于是max(a，b，c)f(1)(2)若af(1)，结论显然成立；下面证明当af(1)时，结论也成立因为bcdacd，所以ccbd，整理为0，解得cd.因此，必有af(1)或cb7，所以到7月份甲企业的产值比乙企业的产值要大(2)设一共使用了n天，n天的平均耗资P(n)2(元)，当且仅当时，取得最小值，此时n800，即日平均耗资最少时使用了800天模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填在题中的横线上)1在ABC中，a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a2，A，B，则b等于_【解析】由正弦定理得b.【答案】2已知等比数列an的公比q为正数，且a5a74a，a21，则a1_.【解析】an成等比数列，a5a7a，a4a，q24，q2.又q0，q2.a1.【答案】3设x0，y0，下列不等式中等号不成立的是_xy4；(xy)4；4；2.【解析】中，.因为2，故应用不等式时，等号不成立【答案】4等差数列an满足aa2a4a79，则其前10项之和为_【解析】由aa2a4a79，可知a4a73.S1015.【答案】155已知点A(3，1)，B(1,2)在直线ax2y10的同侧，则实数a的取值范围为_【解析】由题意可知，(3a3)(a3)0，即(a1)(a3)0，1a3.【答案】(1,3)6已知2a10的解集是_【解析】x24ax5a20，即(x5a)(xa)0，而方程(x5a)(xa)0的根为x1a，x25a.2a10，则a5a，原不等式的解集为x|xa【答案】x|xa7在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c，成等比数列，且c2a，则cos B_.【解析】由已知可知b2ac.又c2a，cos B.【答案】8(2016南通高二检测)已知数列1，a1，a2,4等差数列，且实数列1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值为_. 【导学号：91730077】【解析】a1a2145，b144，但b21q20，b22，故.【答案】9台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内持续的时间为_小时【解析】设t小时后，B市处于危险区内，则由余弦定理得(20t)2402220t40cos 45302.化简得4t28t70，t1t22，t1t2.从而|t1t2|1.【答案】110设x，y满足约束条件则目标函数z3xy的最大值为_【解析】首先画出线性约束条件的可行域(如图阴影部分)，是一个三角形，然后在可行域内平行移动目标函数z3xy，当经过x2y4与xy1的交点(2,1)时，目标函数取得最大值z3215.【答案】511已知数列an：，那么数列的前n项和为_【解析】观察数列an可知，an，4，的前n项和为：44444.【答案】12(2016镇江高二检测)已知二次函数f(x)ax2xc(xR)的值域为0，)，则的最小值为_. 【导学号：91730078】【解析】二次函数f(x)ax2xc(xR)的值域0，)，a0，且0，ac，c0，222810，当且仅当ac时取等号【答案】1013(2016南京高二检测)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为_【解析】2R，a2，又(2b)(sin Asin B)(cb)sin C可化为(ab)(ab)(cb)c，a2b2c2bc，b2c2a2bc，cos A，A60.ABC中，4a2b2c22bccos 60b2c2bc2bcbcbc(当且仅当bc时取得“”)，SABCbcsin A4.【答案】14设an是等比数列，公比q，Sn为an的前n项和记Tn，nN*.设Tn0为数列Tn的最大项，则n0_.【解析】根据等比数列的通项公式Sn，故Tn，令qn()nt，则函数g(t)t，当t4时函数g(t)取得最小值，此时n4，而0，故此时Tn最大，所以n04.【答案】4二、解答题(本大题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面积为，求b，c.【解】(1)由acos Casin Cbc0及正弦定理得sin Acos Csin Asin Csin Bsin C0.因为BAC，所以sin Asin Ccos Asin Csin C0.由于sin C0，所以sin.又0A，故A.(2)ABC的面积Sbcsin A，故bc4.而a2b2c22bccos A，故b2c28.解得bc2.16(本小题满分14分)已知数列an的前n项和Sn与通项an满足Snan.(1)求数列an的通项公式；(2)设f(x)log3x，bnf(a1)f(a2)f(an)，Tn，求T2017.【解】(1)当n1时，a1.当n2时，anSnSn1，又Snan，anan1，即数列an是首项为，公比为的等比数列，故ann.(2)由已知得f(an)log3nn，bnf(a1)f(a2)f(an)123n，2，Tn22.T2 0172.17(本小题满分14分)已知函数f(x)x22x8，g(x)2x24x16.(1)求不等式g(x)2，均有f(x)(m2)xm15成立，求实数m的取值范围【解】(1)g(x)2x24x160，(2x4)(x4)0，2x4，不等式g(x)0的解集为x|2x2时，f(x)(m2)xm15恒成立，x22x8(m2)xm15，即x24x7m(x1)，对一切x2，均有不等式m成立而(x1)2222(当x3时等号成立)实数m的取值范围是(，218(本小题满分16分)(2016苏州高二检测)已知等差数列an满足：a12，且a1，a2，a5成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)记Sn为数列an的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由【解】(1)设等差数列an的公差为d，依题意，2,2d,24d成等比数列，故有(2d)22(24d)，化简得d24d0，解得d0或d4.当d0时，an2；当d4时，an2(n1)44n2，从而得数列an的通项公式为an2或an4n2.(2)当an2时，Sn2n.显然2n60n800成立当an4n2时，Sn2n2.令2n260n800，