高中数学 第三章 概率 3_3_1 几何概型学案 新人教a版必修3

33.1几何概型学习目标1.了解几何概型与古典概型的区别.2.理解几何概型的定义及其特点.3.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率知识点一几何概型的含义1几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型2几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个(2)每个基本事件出现的可能性相等思考几何概型与古典概型有何区别？答几何概型与古典概型的异同点类型异同古典概型几何概型不同点一次试验的所有可能出现的结果(基本事件)有有限个一次试验的所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个相同点每一个试验结果(即基本事件)发生的可能性大小相等知识点二几何概型的概率公式P(A).思考计算几何概型的概率时，首先考虑的应该是什么？答首先考虑取点的区域，即要计算的区域的几何度量题型一与长度有关的几何概型例1取一根长为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？解如图，记“剪得两段的长都不小于1m”为事件A.把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A发生，因为中间一段的长度为1m，所以事件A发生的概率为P(A).反思与感悟在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找区域d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率跟踪训练1某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A. B. C. D.答案B解析如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P，故选B.题型二与面积有关的几何概型例2射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm，运动员在一定距离外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？解如图，记“射中黄心”为事件B.因为中靶点随机地落在面积为cm2的大圆内，而当中靶点落在面积为cm2的黄心内时，事件B发生，所以事件B发生的概率P(B)0.01.反思与感悟解此类几何概型问题的关键：(1)根据题意确定是不是与面积有关的几何概型问题(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率跟踪训练2一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率解如图所示，区域是长30m、宽20m的长方形图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率由于区域的面积为3020600(m2)，阴影部分的面积为30202616184(m2)所以P(A)0.31.即海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率约为0.31.题型三与体积有关的几何概型例3已知正三棱锥SABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M，试求点M到底面的距离小于的概率解如图，分别在SA，SB，SC上取点A1，B1，C1，使A1，B1，C1分别为SA，SB，SC的中点，则当点M位于平面ABC和平面A1B1C1之间时，点M到底面的距离小于.设ABC的面积为S，由ABCA1B1C1，且相似比为2，得A1B1C1的面积为.由题意，知区域D(三棱锥SABC)的体积为Sh，区域d(三棱台ABCA1B1C1)的体积为ShSh.所以点M到底面的距离小于的概率为P.反思与感悟如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A所占的区域体积其概率的计算公式为P(A).跟踪训练3一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率解依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P.题型四与角度有关的几何概型例4如图，在平面直角坐标系内，射线OT落在60角的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在xOT内的概率解以O为起点作射线OA是随机的，因而射线OA落在任何位置都是等可能的，落在xOT内的概率只与xOT的大小有关，符合几何概型的条件于是，记事件B射线OA落在xOT内因为xOT60，所以P(B).反思与感悟当涉及射线的运动、扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段跟踪训练4如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M.求AMAC的概率解因为CM是ACB内部的任意一条射线，而总的基本事件是ACB的大小，即为90，所以作ACAC，且ACC67.5.如图，当CM在ACC内部的任意一个位置时，皆有AMACAC，即P(AMAC).转化与化归思想例5把长度为a的木棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率分析将长度为a的木棒任意折成三段，要能够构成三角形必须满足“两边之和大于第三边”这个条件，进而求解即可解设将长度为a的木棒任意折成三段的长分别为x，y，axy，则(x，y)满足的条件为它所构成的区域为图中的AOB.设事件M能构成一个三角形，则当(x，y)满足下列条件时，事件M发生即它所构成的区域为图中的阴影部分，故P(M).故满足条件的概率为.解后反思解决本题的关键是将之转化为与面积有关的几何概型问题一般地，有一个变量可以转化为与长度有关的几何概型，有两个变量可以转化为与面积有关的几何概型，有三个变量可以转化为与体积有关的几何概型1在区间0,3上任取一个数，则此数不大于2的概率是()A.B.C.D.答案C解析此数不大于2的概率P.2在半径为2的球O内任取一点P，则|OP|1的概率为()A.B.C.D.答案A解析问题相当于在以O为球心，1为半径的球外，且在以O为球心，2为半径的球内任取一点，所以P.3如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影区域的面积是()A.B.C.D无法计算答案C解析在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型设“落在阴影区域内”为事件A，则事件A构成的区域是阴影部分设阴影区域的面积为S，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则有P(A)，解得S.4当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是()A.B.C.D.答案C解析由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P.5在1,1上随机地取一个数k，则事件“直线ykx与圆(x5)2y29相交”发生的概率为_答案解析由已知得，圆心(5,0)到直线ykx的距离小于半径，3，解得k，由几何概型得P.1.几何概型适用于试验结果是无限多且事件是等可能发生的