高中数学 黄金100题系列 第62题 空间几何体的表面积与体积 理

第62题 空间几何体的表面积与体积非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对*百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。I题源探究黄金母题【例1】如图，将一个长方体沿相等三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体的体积的比【答案】【解析】设长方体的三条棱长分别为，则截出的棱锥的体积为，剩下的几何体的体积，所以II考场精彩真题回放【例2】【2014山东理13】三棱锥中，分别为，的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则_.【答案】【解析】由已知设点到平面距离为，则点到平面距离为，所以，【名师点睛】本题考查三棱锥的几何特征以及几何体的体积.解答本题的关键，是利用等体积法实施转化，用相同的量表示两个体积.本题属于能力题，在考查三棱锥的几何特征以及几何体的体积等基础知识的同时，考查了考生的空间想象能力及运算能力.【例3】【2015江苏高考】现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为_【答案】【解析】由体积相等得：，解得【例4】【2015年全国新课标理6】九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）A14斛 B22斛C36斛 D66斛【答案】B【解析】设圆锥底面半径为，则=，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为，故选B【例5】【2015四川高考】在三棱住中，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点分别是的中点，则三棱锥的体积是_【答案】【解析】由题意，三棱柱是底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，底面积为.如图，因为，故面，故三棱锥与三棱锥体积相等，三棱锥的底面积是三棱锥底面积的，高为1，故三棱锥的体积为【例6】【2015年上海高考】若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则_【答案】【解析】由条件可知正三棱柱的底面面积为，高为，所以，解得【例7】【2014江苏理8】设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是 .【答案】【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为，则，又，所以，则.【名师点晴】求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体【例8】【2015江苏高考9】现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 【答案】【解析】由体积相等得：【例9】【2014山东高考】一个六棱锥的体积为，其底面是边长为的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_【答案】【解析】设六棱锥的高为，则.，所以，解得，设斜高为，则所以，该六棱锥的侧面积为【例10】【2014陕西高考】将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（）ABCD【答案】【解析】将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周得到的几何体为底面为半径为的圆、高为1的圆柱，其侧面展开图为长为，宽为1，所以所得几何体的侧面积为，故选C精彩解读【试题来源】人教版A版必修二第28页习题1.3A组第3题【母题评析】本题是计算简单的两个几何体棱柱与棱锥的体积，只要根据几何体的形状正确选择相应几何体的体积公式即可正确作答但须注意设出长方体的三条棱长参与辅助解答【思路方法】求简单几何体的体积与表面积主要考虑清楚两点：（1）正确识别几何体的类型；（2）正确选用体积公式与面积公式【命题意图】本类题通常简单几何体的体积与表面积（侧面积）的计算.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中档或中档偏下，常常与实际应用或平面图形的旋转相联系.【难点中心】（1）对简单几何体的考查主要围绕体积与表面积的计算，其难度为与实际相结合时，在确定几何体的形状时相对比较困难，特别是实际中提取相关的信息（2）求锥的体积确定其高是一个难点III理论基础解题原理考点一棱体的表面积计算棱体（棱柱、棱锥、棱台）的表面积主要是通过把它们展成平面图形，利用求平面图形的面积法求解n棱柱的展开图由两个全等的边形与个平行四边形组成；棱锥的展开图由一个边形与个共顶点三角形组成；棱台的展开图由两个相似的边形与个梯形组成这些平面图形的面积即为相应的棱柱、棱锥、棱台的表面积特别地，棱长为的正方体的表面积，长、宽、高分别为的长方体的表面积考点二圆体的表面积圆体（圆柱、圆锥、圆台）的表面积公式表现为两部分，即侧面积与底面积，其侧面积可以利用侧面展开图得到其中圆柱的侧面展开图是一个矩形，其宽是圆柱母线的长，长为圆柱底面周长；圆锥的侧面展开图为扇形，其半径为圆锥母线长，弧长为圆锥底面周长；圆台的侧面展开图为扇环，其两弧长分别为圆台的两底周长，两“腰”为圆台的母线长考点三柱体的体积柱体（棱柱、圆柱）的体积由底面积和高h确定，即特别地，底面半径是r，高是h的圆柱的体积是根据公式求棱柱的体积，“定高”是至关重要的考点四锥体的体积锥体（棱锥、圆锥）的体积等于它的底面积是和高的积，即特别地，底面半径是，高是的圆锥的体积是考点五台体的体积台体（棱台、圆台）的体积由上底面积、下底面积、高是确定，即特别地，上、下底半径分别是，高是的圆台的体积是考点六球的体积与表面积根据球的表面积公式与体积公式，知球的表面积和体积只须求一个条件，那就是球的半径R关于两个球的体积比与表面积比之间的转换可转化为球的半径立方比与平方比IV题型攻略深度挖掘【考试方向】从近年的全国及各自主命题省市的高考题看，基本上每一套课标卷都对空间几何体的表面积或体积进行了考查，它既可出现在客观题中，也可以出现在解答题中【技能方法】（1）解决简单几何体的求积问题，可根据题目的具体特点，采用不同的方法，对于待求元素少的问题，可根据公式，采用“缺什么，找什么；要什么，求什么”的方法，抓住数量关系集中的平面，通过分析逐层求得，对于待求元素多的问题，可根据数量关系采用“设未知数、列方程”的方法（2）求柱、锥、台体的表面积就是求它们的侧面积和底面积之和，对于圆柱、圆锥、圆台，已知上、下底面的半径和母线长可以用表面积公式直接求出，对于棱柱、棱锥、棱台没有一般计算公式，可以直接根据条件求各个面的面积。（3）求柱、锥、台体的体积时，根据体积公式，需要具备已知底面积和高两个重要条件，底面积一般可由底面边长或半径求出，但当高不知道时，求高比较困难，一般要转化为平面几何知识求出高。（4）求非标准的柱、锥、台体的体积常常采用“割补法”即将几何体分割为几个规则的易求体积的几何体，或将几何体补成易求体积的几何体，利用间接法求之.如“补台为锥”在台体的计算中也是常常用到的方法，即由根据台体的定义，在某种情况下，可以将台体补充成锥体研究体积.（5）重视等积变换在求积问题中的应用，在锥体体积计算中，常常要用到“等积法”，即利用三棱锥的体积不论以哪个面作底面其体积不变的特点来求解.【易错指导】（1）公式记忆错误，常常将锥体的表面积和体积与柱体的表面积和体积混淆；（2）空间几何体的结构特征抓不准导致误用公式，从而计算错误；（3）错误确定空间几何体中的表面积与体积中的几何量，特别是求锥体的体积时，常常会将高确定错误V举一反三触类旁通考向1柱体的表面积与体积【例1】【2017河南天一大联考】半径为的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为（）A44 B54 C88 D108【答案】C【点评】圆柱的表面积公式表现为两部分，即侧面积与底面积，因此只要计算出侧面积与一个底面的面积，其表面积就可求，而侧面积可以利用侧面展开图得到计算棱柱的表面积主要是通过把它们展成平面图形，利用求平面图形的面积法求解，通常情况下棱柱的展开图由两个全等的边形与个平行四边形组成【例2】【2018贵阳调研】鲁班锁，是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，原为木质结构，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下，左右，前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90度榫卯起来，若正四棱柱体的高为4，底面正方形的边长为1，则该鲁班锁的表面积为（）A48 B60 C72 D84【答案】B【点评】本题考查了利用三视图投影的方法计算复杂图形的表面积的应用问题，是基础题目【跟踪练习】1.【2017安徽省铜陵一中高二期末】一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是（）A B C D【答案】B【解析】根据圆柱的侧面展开图是一个正方形，得到圆柱的高和底面半径之间的关系，然后求出圆柱的表面积和侧面积即可得到结论设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，圆柱的侧面展开图是一个正方形，即圆柱的侧面积为，圆柱的两个底面积为，圆柱的表面积为，圆柱的表面积与侧面积的比为：，故选B2. 【2017湖北省部分重点中学期末】有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点已知最底层正方体的 棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过38，则该塔形中正方体的个数至少是()A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个【答案】B3.【2017宝鸡市模拟】如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1m2，互相平行的两个侧面的距离为1m，则这个六棱柱的体积为（）ABCD【答案】B【解析】设正六棱柱的底面边长为，高为，则，解得，六棱柱的体积，故选B【点评】根据圆柱的体积公式知，求其体积关键是确定底面半径和母线长圆柱的图形比较特殊，因此具有圆柱本身特征的计算公式棱柱的体积由底面积和高确定，即，其中“定高”是至关重要的4【河北省邢台市第一中学2017-2018月考】九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽丈，长丈，上棱长丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知丈为尺，该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为A. 立方尺 B. 立方尺 C. 立方尺 D. 立方尺【答案】A考向2锥体的表面积与体积【例1】【2017山西康杰中学上模拟】如果一个正四面体（各个面都是正三角形）的体积为9，则其表面积的值为（）ABCD【答案】A【解析】设该正四面体的棱长为，则一个面的面积为，定点到底面的距离即正四面体的高为，所以其体积为，解得，所以其表面积为，故选A【例2】【2017吉林毓文中学模拟】若一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的表面积是（）A B C D【答案】A【解析】圆锥的母线长，底面半径 ，圆锥的表面积，故选A【例3】【2015高考山东理7】在梯形中， .将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的 体积为（ ）（A） （B） （C） （D） 【答案】C【名师点睛】本题考查了空间几何体的结构特征及空间几何体的体积的计算，重点考查了圆柱、圆锥的结构特征和体积的计算，体现了对学生空间想象能力以及基本运算能力的考查。【例4】【2017上海校级期中】两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放于棱长为1的正方体中，重合的底面与正方体的某一个图平行，各顶点均在正方体的表面上（如图），该八面体的体积可能值有（）A1个 B2个 C3个 D无数个【答案】D【解析】设ABCD与正方体的截面四边形为ABCD，设AA=x（0x1），则AB=1x，|AD|2=x2+（1x）2=2（x）2+故SABCD=|AD|2，1，V=SABCDh2=SABCD，该八面体的体积可能值有无数个，故选：D【跟踪练习】1【安徽省六安市第一中学2018届模拟】水平放置的，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的，其中,则绕所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B2.【2017长沙长郡中学入学考试】在棱长为3的正方体中，在线段上，且，为线段上的动点，则三棱锥的体积为（）A1BCD与点的位置有关【答案】B【解析】三棱锥的高为点到平面的距离，即，底面三角形的底为，高为到的距离，所以三棱锥的体积，故选B3.【2017广西桂林模拟】如图，已知半平面是上的两个点，在半平面内，且，在半平面上有一个动点，使得，则四棱锥体积的最大值是（ ）A48B64C96D144【答案】A【点评】求棱锥的体积关键是求底面积和高，一般求高比较复杂些，通常在直角三角形中解决求圆锥的体积主要就是确定圆锥的底面半径和母线长，而底面半径与母线长通常体现在圆锥的轴截面所示的两个直角三角形中，所以通常要用勾股定理帮助解决4. 【2018银川模拟】已知正四棱锥中，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）ABCD【答案】C【解析】设正四棱锥的高为，则，则，所以四棱锥的体积，由得，所以体积函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，体积有最大值，故选C【点评】用集合、不等式的形式表示平面区域，以新定义为背景，涉及分类计数原理，体现了分类讨论的思想方法的重要性以及准确计数的科学性，能较好的考查学生知识间的综合能力、知识迁移能力和科学计算能力. 5【陕西省黄陵中学2018届高三模拟】将一张边长为的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )A. B. C. D. 【答案】B考向3台体的表面积与体积计算【例1】【2017山东省临沂十八中三模】已知圆台的一个底面的半径为，母线，高，则该圆台的侧面积为（）A或B或C或D或【答案】B【点评】求解圆台的表面积和体积也跟解圆柱的思路基本一样，关键也是求两底的半径和母线长，然后再利用公式求解【例2】【2017山东菏泽联考】如图所示，三棱台ABCABC中，AB：AB=1：2，则三棱锥CABC，BABC，AABC的体积之比为（）A1：1：1 B2：1：1 C4：2：1 D4：4：1【答案】C【解析】：因为几何体是三棱台，所以两个底面相似，AB：AB=1：2，SABC：SABC=1：4，设棱台的高为h，=1：4三棱锥CABC，BABC，AABC的体积之比为4：2：1故选：C【点评】考查几何体的体积的比的求法，注意体积比与相似比关系的应用，考查计算能力【跟踪练习】1.【2018黑龙江双鸭山一中下期末】若某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，侧面积为84，则该圆台较小底面的半径为（）A7 B6 C5 D3【答案】A【解析】设上底面半径为，因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，母线长为，圆台的侧面积为，所以，解得，故选A2.【2018昆明模拟】我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了下面的体积计算的原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”“势”是几何体的高，“幂”是截面面积意思是，若两等高的几何体在同高处截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等现有一旋转体D，它是由抛物线y=x2（x0），直线y=4及y轴围成的封闭图形如图1所示绕y轴旋转一周形成的几何体，利用祖暅原理，以长方体的一半为参照体（如图2所示）则旋转体D的体积是（ ）A B6 C8 D16【答案】C【点评】本题考查了数学文化，读懂题干含义是解题关键，属于中档题3.【2018莆田一中校级月考】圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍求两底面的面积之和是（）A3a2B4a2C5a2D6a2【答案】C【解析】设圆台的母线AA与圆台的轴OO交于点S，则ASO=30，设圆台的上底面半径为r，则SA=2r，OA=2r，SA=4r，AA=SASA=4r2r=2r=2a，r=a，圆台的上下底面积S=r2+（2r）2=5r2=5a2故选C考向4球体的表面积与体积计算【例1】【2017宁夏银川市二中等校高三下第一次大联考】已知半径为1的圆是半径为的球的一个截面，若球面上任一点到圆面的距离的最大值为，则球的表面积为（）ABCD【答案】B【点评】球的表面积与体积的计算关键在于求出半径，在作图时，有时要用到空间图形，有时只需要作出球的大圆，要注意圆的知识的充分应用【例2】【2018沈阳师大附中期末】如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为 （）A B C D+【答案】D【解析】：由题意可得，蛋巢的底面是边长为1的正方形，故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，由于鸡蛋的体积为，故鸡蛋（球）的半径为1，故球心到截面圆的距离为=，而垂直折起的4个小直角三角形的高为，故鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为+1+=，故选