高中数学第二章数列2_3_2等比数列的前n项和一课件新人教b版必修5

2.3.2 等比数列的前n项和（一） 第二章 2.3 等比数列 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一 等比数列的前n项和公式的推导 对于S641248262263，用2乘以等式的两边可得 2S64248262263264，对这两个式子作怎样的运 算能解出S64?答案 比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S64，即S64 2641. 梳理 设等比数列an的首项是a1，公比是q，前n项和Sn可用下面的“错位相减 法”求得 Sna1a1qa1q2a1qn1. 则qSna1qa1q2a1qn1a1qn. 由得(1q)Sna1a1qn. 当q1时，由于a1a2an，所以Snna1. 结合通项公式可得等比数列前n项和公式： 知识点二 等比数列的前n项和公式的应用 思考 要求等比数列前8项的和： 答案 答案 梳理 一般地，使用等比数列求和公式时需注意： (1)一定不要忽略q1的情况； (2)知道首项a1、公比q和项数n，可以用 ；知道首尾两项a1， an和q，可以用； (3)在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn ，知道其中任意三个，可求其余两个 题型探究 类型一 等比数列前n项和公式的应用 命题角度1 前n项和公式的直接应用 例1 根据题干中的条件，求相应的等比数列an的前n项和Sn. (1)a13，q2，n6；解答 a13，q2，n6， 解答 求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特 别注意q1是否成立 反思与感悟 跟踪训练1 若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q _；前n项和Sn_. 设等比数列的公比为q， a2a420，a3a540， 20q40，且a1qa1q320， 解得q2，且a12. 2n122答案解析 命题角度2 通项公式与前n项和公式的综合应用 例2 在等比数列an中，S230，S3155，求Sn.解答 方法二 若q1，则S3S232， 而事实上，S3S2316，故q1. (1)应用等比数列的前n项和公式时，首先要对公比q1或q1进行判 断，若两种情况都有可能，则要分类讨论 (2)当q1时，等比数列是常数列，所以Snna1；当q1时，等比数列 的前n项和Sn有两个公式当已知a1，q与n时，用Sn比较方 便；当已知a1，q与an时，用Sn 比较方便 反思与感悟 跟踪训练2 在等比数列an中，a12，S36，求a3和q.解答 由题意，得若q1，则S33a16，符合题意 此时，q1，a3a12. 若q1，则由等比数列的前n项和公式， 解得q2. 此时，a3a1q22(2)28. 综上所述，q1，a32或q2，a38. 类型二 等比数列前n项和的实际应用 例3 借贷10 000元，月利率为1%，每月以复利计息，王老师从借贷 后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？ (1.0161.061,1.0151.051)解答 方法一 设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷 a元后，还剩下欠款an元(1n6)，则a010 000，a11.01a0a， a21.01a1a1.012a0(11.01)a， a61.01a5a1.016a011.011.015a. 由题意，可知a60， 即1.016a011.011.015a0， 因为1.0161.061， 故每月应支付1 739元 方法二 一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月 ，则它的本利和为S1104(10.01)61041.016(元)， 另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本 利和为S2a(10.01)5a(10.01)4a 故每月应支付1 739元 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复 利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的 数额是不同的，复利的计算公式为SP(1r)n，其中P代表本金，n代 表存期，r代表利率，S代表本利和 反思与感悟 跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一 分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气 球上升的高度能超过125 m吗？ 解答 用an表示热气球在第n分钟上升的高度， 由题意，得an1 an， 因此数列an是首项a125，公比q 的等比数列 热气球在前n分钟内上升的总高度为 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 当堂训练 1.等比数列1，x，x2，x3，的前n项和Sn等于 答案解析 1234 2.设等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则 等于 1234 答案解析 方法一 由等比数列的定义， S4a1a2a3a4 a2a2qa2q2， 1234 123 3.等比数列an的各项都是正数，若a181，a516，则它的前5项的 和是 A.179 B.211C.243 D.275 4 答案解析 去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为 1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a. 1.1a1.12a1.13a1.14a1.15a11a(1.151). 1234 4.某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今 年起5年内，该厂的总产值为_. 11a(1.151)答案解析 规律与方法 1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n， q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二