高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 4_1 曲线与方程（一）学案 北师大版选修2-1

4.1曲线与方程(一)学习目标1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法.知识点一曲线与方程的概念思考1设平面内有一动点P，属于下列集合的点组成什么图形？(1)P|PAPB(A，B是两个定点)；(2)P|PO3 cm(O为定点).思考2到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？梳理一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：(1)_都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在_上，那么，这个方程叫作_；这条曲线叫作_.知识点二曲线的方程与方程的曲线解读思考1曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解，能否说f(x，y)0是曲线C的方程？试举例说明.思考2方程0 能否表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线？方程xy0呢？梳理(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法.曲线C的点集和方程f(x，y)0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上.定义中的条件说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏.(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了_关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质.类型一曲线与方程的概念理解与应用命题角度1曲线与方程的判定例1命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”是正确的，下列命题中正确的是()A.方程f(x，y)0的曲线是CB.方程f(x，y)0的曲线不一定是CC.f(x，y)0是曲线C的方程D.以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上反思与感悟解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可.判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程.跟踪训练1设方程f(x，y)0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题正确的是()A.坐标满足方程f(x，y)0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)0C.坐标满足方程f(x，y)0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)0命题角度2曲线与方程的概念应用例2证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是xyk.反思与感悟解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程.跟踪训练2写出方程(xy1)0表示的曲线.类型二曲线与方程关系的应用例3已知方程x2(y1)210.(1)判断点P(1，2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M在此方程表示的曲线上，求m的值.反思与感悟判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断.跟踪训练3若曲线y2xy2xk0过点(a，a)(aR)，求k的取值范围.1.曲线f(x，y)0关于直线xy30对称的曲线方程为()A.f(x3，y)0 B.f(y3，x)0C.f(y3，x3)0 D.f(y3，x3)02.方程xy2x2y2x所表示的曲线()A.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于原点对称 D.关于直线xy0对称3.方程4x2y26x3y0表示的图形为_.4.若曲线ax2by24过点A(0，2)，B(，)，则a_，b_.5.方程(x24)2(y24)20表示的图形是_.1.判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上.2.已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题.提醒：完成作业第三章44.1(一)答案精析问题导学知识点一思考1(1)线段AB的垂直平分线；(2)以O为圆心，3 cm为半径的圆.思考2yx.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0x0或y0x0，即(x0，y0)是方程yx的解；反之，如果(x0，y0)是方程yx或yx的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等.梳理(1)曲线上点的坐标(2)曲线曲线的方程方程的曲线知识点二思考1不能.还要验证以方程f(x，y)0的解为坐标的点是否都在曲线上.例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与“方程x2y24”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2y24.思考2方程0不能表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线.因为第一、三象限角平分线上的点不全是方程0的解.例如，点A(2，2)不满足方程，但点A是第一、三象限角平分线上的点.方程xy0能够表示第一、三象限的角平分线.梳理(2)一一对应题型探究例1B跟踪训练1D例2证明如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点.因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，所以|x0|y0|k，即(x0，y0)是方程xyk的解.设点M1的坐标(x1，y1)是方程xyk的解，则x1y1k，即|x1|y1|k.而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点.由可知，xyk是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k0)的点的轨迹方程.跟踪训练2解由方程(xy1)0可得或0.即xy10(x1)或x1，方程表示直线x1和射线xy10(x1).例3解(1)12(21)210，()2(31)2610，P(1，2)在方程x2(y1)210表示的曲线上，Q(，3)不在此曲线上.(2)M在方程x2(y1)210表示的曲线上，2(m1)210.解得m2或m.跟踪训练3解曲线y2xy2xk0过点