高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第59讲 空间直线、平面平行位置关系的证明

第59讲 空间直线、平面平行位置关系的证明【知识要点】一、空间直线、平面平行位置关系的判定和证明空间直线、平面平行位置关系的判定和证明一般有两种方法.方法一（几何法）：线线平行线面平行面面平行，它体现的主要是一个转化的思想.位置关系定义判定定理性质定理直线和平面平行直线和平面没有公共点.如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（记为：线线平行，则线面平行）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行.（记为：线面平行，则线线平行）平面和平面平行如果两个平面没有公共点，则这两个平面互相平行 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行（记为：线面平行，则面面平行）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线平行于另一个平面.（记为：面面平行，则线面平行）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.平行于同一个平面的两个平面平行.两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.夹在两个平行平面间的两条平行线段相等.方法二（向量法）：它体现的是数学的转化的思想和向量的工具性.其中向量是直线的方向向量，且向量是平面的法向量，且直线直线(其中分别为直线的方向向量)直线平面(其中 为直线的方向向量,为平面的法向量)平面平面(其中分别为平面的法向量)二、空间的几何元素的位置关系从低到高有三个层次：线线关系、线面关系和面面关系.三、空间平行位置关系的证明，总是把要证明的平行关系首先转化成最靠近它的位置关系去证明.如果要证明线线平行，只能首先转化成证明线面平行；如果要证明线面平行，可以首先转化成证明线线平行或者面面平行；如果要证明面面平行，只能首先转化成证明线面平行.【方法讲评】方法一几何方法使用情景转化的直线或平面比较容易找到解题步骤按照线线平行线面平行面面平行的思路分析解答，找到关键的直线或平面.【例1】【2017山东，文18】由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD 的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD,（）证明：平面B1CD1; （）设M是OD的中点,证明：平面A1E平面B1CD1.所以， 又平面，平面，所以平面，【点评】（1）本题就是利用几何法证明线面平行，把证明平面B1CD1转化成证明.（2）找平行线时，先看平面内已知的线是否和它平行，如果没有和它平行的线，就要通过作辅助线作出和它平行的线. 作辅助线时，可以把已知的直线平移到平面内的各特殊点，看哪个地方方便作出平行线并好证明. 【例2】(2016年山东高考文科第18题）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EFDB.（I）已知AB=BC，AE=EC.求证：ACFB；（II）已知G,H分别是EC和FB的中点.求证：GH平面ABC.【解析】（）证明：因，所以与确定一个平面，连接，因为为的中点，所以；同理可得，又因为，所以平面，因为平面，.【点评】（1）本题就是利用几何法证明面面平行，把证明GH平面ABC转化成证明平面平面. （2）证明线面平行可以转化成证明最靠近的线线平行或者面面平行，但是此题要转化成证明线线平行比较困难，所以转化成证明面面平行. 到底转化成哪一个更简洁，取决于已知条件和你的判断，所以我们要学会分析和判断，提高解题效率. 【反馈检测1】【2017课标II，理19】如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点.（1）证明：直线 平面PAB；（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为 ，求二面角的余弦值.方法二向量法使用情景转化的直线或平面不容易找到，而已知条件方便建立空间直角坐标系，点的坐标比较容易写出.解题步骤建立空间直角坐标系写出点的坐标，求出直线方向向量的坐标和平面的法向量利用向量的关系得到直线和平面的关系.【例3】(2017天津理科第17题)如图，在三棱锥中，底面，.点，分别为棱的中点，是线段的中点，.（）求证：平面； （）求二面角的正弦值；（）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长.（）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面的法向量，则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得.因为平面，所以平面.（）解：依题意，设AH=h（），则H（0，0，h），进而可得，.由已知，得，整理得，解得，或.所以，线段的长为或.【点评】本题如果把线面平行转化成证明线线平行，不是很方便.由于已知条件中有PA底面ABC，方便建立空间直角坐标系，也方便写出点的坐标，所以选择向量法更合适.【反馈检测2】如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，的中点， （I）设是的中点，证明：平面； （II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第59讲：空间直线、平面平行位置关系的证明参考答案【反馈检测1答案】(1)证明略；(2) .（2）由已知得,以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系,则则，,则因为与底面所成的角为，而是底面的法向量，所以，；即.又在棱上，设【反馈检测2答案】（1）见解析；（2），点到的距离为. 【反馈检测2详细解析】证明：（I）如图，连结，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，. 则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有