中考数学汇编___杨老师二次函数的综合难题集锦.doc

2012中考数学汇编 杨老师二次函数的综合难题集锦20121223（2012呼和浩特，25）如图，抛物线(a0）代入双曲线解析式得m=1抛物线过点A（2，2）、B（1，4）、O（0，0） 解得抛物线的解析式为y= x23x（2）抛物线的解析式为y= x23x顶点E，对称轴为x=B（1，4）x23x=4解得x1=1,x2= 4C（4，4）SABC=56=15由A、B两点坐标为（2，2），（1，4）可求得直线AB的解析式为：y= 2x2设抛物线对称轴与AB交于点F，则F点坐标为（，1）EF=SABE=SAEF+SBEF=3= （3）SABE=8 SABE=15当点D与点C重合时，显然满足条件。当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线CD，其对应的一次函数解析式为y= 2x12令2x12=x23x解得x1=3,x2= 4(舍)当x=3时，y= 18存在另一点D（3，18）满足条件。【点评】（1）利用反比例函数求点的坐标，并求出抛物线的解析式。（2）中利用解析式求出各个点的坐标，再求三角形的面积。（3）利用同底等高的原理作出平行线，找出另一点并求坐标。（2012湖北武汉，25）如图1、点A为抛物线C1：y =的顶点，点B的坐标为（1,0），直线AB交抛物线C1于另一点C，（1）求点C的坐标;（2）如图1,平行于y轴的直线x3交直线AB于点D，交抛物线C于点E，平行于y轴的直线xa交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE4：3,求a的值。（3）如图2将抛物线C向下平移m（m0）个单位得到抛物线C2且抛物线C2的顶点为点P交X轴负半轴于点M，交射线BC于点N，NQx轴于点Q，当NP平分MNQ时，求m的值。解析：1、求C点的坐标，可首先利用待定系数法求出直线AB的解析式，联立直线与抛物线得到方程组，求解方程组即可；2、根据题意，DE的长度可求又FG：DE4：3,故可求FG=2即yF-yG=2,把xa代人两个函数解析式，用a表示F、G、纵坐标，得到关于a的方程即可；3、解决本题关键在于抓住M、P之间的联系，可设点M坐标为（t，0），根据待定系数法得抛物线C2解析式为y =，即P点坐标为（0，），又直线AB与抛物线C2的交点N坐标为（2-t，2-2t ），从而有NMO=450，进而MN与y轴交点为T（0，-t）,由特殊角三角函数和线段和差有NT=（2-t）,PT=-t+t2，又PN平分MNQ, NQTP 故MNP=PNQ=TPN ，PT=NT,即-t+t2=(2-t)，从而求得t值，进而求得m.解：（1）当x=0时，y=, A(0，)设直线AB的解析式为y=kx+b,有，解得. 直线AB的 解析式为y=2x-2.由C点为直线与抛物线y =的交点，则点C的横、纵坐标满足解得 （舍） 点C的坐标为（4，6）（2）直线x3分别交直线AB和交抛物线C1于D、E两点。yD=4, yE=, DE= FG：DE4：3FG直线分别交直线AB和抛物线C于F、G两点。yF=2a-2, yG=a2-2, FG=|2a-a2|=2解得a1=2,a2=2+2,a3=2-2（3）解法一：设直线MN交y轴于T，过点N作NHy轴于点H。设点M坐标为（t，0），抛物线C2 的解析式为y =0= ， y =点P坐标为（0，），点N是直线AB与抛物线y=x2-t2的交点，则点N的横，纵坐标满足解得 (舍去) 点N坐标为（2-t，2-2t ）NQ=2-2t ，MQ=NQ, MOT, NHT均为等腰直角三角形，MO=NO,HT=HN,OT=t，NT=NH=（2-t）,PT=-t+t2PN平分MNQ, NQTP MNP=PNQ=TPN PT=NT, -t+t2=(2-t), t1=-2,t2=2(舍去)-2-m=-t2=-(-2)2,m=2解法二，设N坐标为（t,2t-2）,抛物线C2的解析式为y=x2-2-m, 2t-2=t2-2-m点P坐标为（0，+2t-2）同解法一可得MNQ=450，PNQ=MNQ=22.50，过点P作PFNQ于点F，在FN上截取FJ=FP，连线JP，NJJPPFFJNF（）PF，即（t-2）-(-t2+2t-2)=( +1)tt1=2+2,t2=0(舍去), m=t2-2t=2 m=2点评：本题以二次函数为背景，考察了待定系数法，函数与方程组，抛物线与直线所截线段长度的计算，特殊角的三角函数，平行线、角平分线的性质等相关知识，以及数形结合的数学思想，1、2问难度不大，2问学生需注意分类讨论，也可以对线段的长度加绝对值达到分类讨论的效果；3问难度较大，学生不容易找到问题的突破口，学生可以先进行必要的计算，边算边找，只要找到NMQ=450，问题就较为明晰了。（2012湖南衡阳市，27）如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0t）秒答案如下问题：（1）当t为何值时，PQBO？（2）设AQP的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2x1，y2y1）称为“向量PQ”的坐标当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标解析：（1）如图所示，当PQBO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式，求出t的值；（2）求S关系式的要点是求得AQP的高，如图所示，过点P作过点P作PDx轴于点D，构造平行线PDBO，由线段比例关系求得PD，从而S可求出S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值；本问关键是求出点P、Q的坐标当S取最大值时，可推出此时PD为OAB的中位线，从而可求出点P的纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标；求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x2x1，y2y1），即可求解答案：解：（1）A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8，AB=10如图，当PQBO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=103tPQBO，即，解得t=，当t=秒时，PQBO（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10如图所示，过点P作PDx轴于点D，则PDBO，即，解得PD=6tS=AQPD=2t（6t）=6tt2=（t）2+5，S与t之间的函数关系式为：S=（t）2+5（0t），当t=秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）如图所示，当S取最大值时，t=，PD=6t=3，PD=BO，又PDBO，此时PD为OAB的中位线，则OD=OA=4，P（4，3）又AQ=2t=，OQ=OAAQ=，Q（，0）依题意，“向量PQ”的坐标为（4，03），即（，3）当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（，3）点评：本题是典型的动点型问题，解题过程中，综合利用了平行线分线段成比例定理（或相似三角形的判定与性质）、勾股定理、二次函数求极值及三角形中位线性质等知识点第（2）问中，给出了“向量PQ”的坐标的新定义，为题目增添了新意，不过同学们无须为此迷惑，求解过程依然是利用自己所熟悉的数学知识（2012湖南省张家界市25题）如同，抛物线与轴交于C、A两点，与y轴交于点B，OB=4点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点.（1） 分别求出点A、点B的坐标（2） 求直线AB的解析式（3） 若反比例函数的图像过点D，求值.（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB、AO方向向B、O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设POQ的面积为S，移动时间为t,问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值，若不存在，请说明理由.yxBDPAQOC2【分析】（1）求抛物线与x轴的交点的横坐标，即求函数值为0时，x的值；（2）利用待定系数法可求；（3）求出D点的坐标，再代入反比例函数关系式即可求k值；（4）利用二次函数的最值求解.【解答】解：（1）令y=0，即-x2+x+2=0，解答x1=-，x2=2.C（-，0），A（2，0）（2）令AB为直线为y=k1x+2，点A（2，0）在直线上，0=K12+2，k1=-.AB的解析式为y=-x+2.（3）D点与O点关于AB对称，OD=OA=2.D点的横坐标为，纵坐标为3，即D（，3）.因为y=过点D，3=，k=3.（3）AP=t，AQ=t，OQ=2-t.点P到OQ的距离为t.SOPQ=（2-t）t=-（t-2）2+.依题意，得0t4，当t=2时，S有最大值为.【点评】本题是考查一次函数、反比例函数和二次函数，由函数及满足函数图象的点，求出相关点的坐标，然后用待定系数法，求出抛物线的解析式；再根据二次函数的最值求解问题（2012，湖北孝感，25）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，三个交点坐标分别是A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)（1）求抛物线的解析式，及顶点D的坐标；（4分）（2）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PMx轴于点M，求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标；（4分）（3）若点P是抛物线在第一象限上的一个动点，过点P作PQAC交x轴于点Q，当点P的坐标为_时，四边形PQAC是平行四边形；当P点的坐标为_时，四边形PQAC是等腰梯形（直接写出结果，不写求解过程）(4分)【解析】（1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出该抛物线的解析式，进而可用配方法或公式法求得顶点D的坐标（2）设出P点坐标，将四边形PMAC的面积分为割一个直角三角形和一个直角梯形，在图形中找到等量关系S四边形PMAC=SAOC +S梯形COMP，代入三角形面积公式、梯形面积公式，即可根据函数的性质求出四边形PMAC的最大值 【答案】解：（1）因为抛物线y=ax2+bx+c过C(0，3)，当x=0时，c=3 又抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1，0)，B(3，0)，解得：抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3又y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，顶点D的坐标是（1，4）（2）设直线BD的解析式为y=kx+n(k0)直线y=kx+n过点B(3，0)，D(1，4)，解得：，直线BD的解析式为y=-2x+6P点在线段BD上，因此，设P点的坐标为（m，-2m+6）,又PMx轴于点M，PM=-2m+6，OM=m又A(-1，0)，C(0，3)，OA=1，OC=3，设四边形PMAC的面积为S，则S=OAOC+(PM+OC)OM=13+(-2m+6+3)m=，当时，四边形PMAC的最大面积为此时P点的坐标为（3）(2，3)，（2012四川宜宾，22）如图，抛物线y=x-2x+c的顶点A在直线l：y=x-5.（1） 求抛物线顶点A的坐标；（2） 设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断ABD的形状；（3） 在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。【解析】（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴方程，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线l的解析式中即可求出点A的坐标（2）由A点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点B的坐标则AB、AD、BD三边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状（3）若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，应分AB为对角线、AD为对角线两种情况讨论，即ADPB、ABPD，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P点的坐标【答案】解：（1）顶点A的横坐标为x=1，且顶点A在y=x-5上，当x=1时，y=1-5=-4A（1，-4）（2）ABD是直角三角形。将A（1，-4）代入y=x-2x+c，可得，1-2+c=-4，c=-3y= x-2x-3，B（0，-3）当y=0时，x-2x-3=0，x=-1，x=3C（-1,0）,（3,0）BD+OB+OD=18，AB=（4-3）+1=2，AD=（3-1）+4=20BD+AB=ADABD=90，即ABD是直角三角形。（3）存在。由题意知：直线y=x-5交y轴于点E（0，-5），交x轴于点F（5,0）OE=OF=5，又OB=OD=3OEF与OBD都是等腰直角三角形。BDl，即PABD则构成平行四边形只能是PADB或PABD,如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线并交于点G.设P（x，x-5），则G（1，x-5）则PG=1- x,AG=5- x-4=1- xPA=BD=3由勾股定理得：（1- x）（1- x）=18，x-2 x-8=0，x=-2或4P（-2，-7）或（4，-1）存在点P（-2，-7）或P（4，-1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形。【点评】题目考查了二次函数解析式的确定、勾股定理、平行四边形的判定等基础知识，综合性较强；（3）题应注意分类讨论，以免漏解 (2012广安第26)如图12，在平面直角坐标系xOy中，ABx轴于点B，AB=3，tanAOB=3/4。将OAB绕着原点O逆时针旋转90o，得到OA1B1；再将OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180o，得到OA2B1，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点B、B1、A2。（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标；（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。思路导引：确定二次函数解析式，寻找经过三点的坐标十分关键，运用点绕原点旋转直角后坐标的变化规律进行界定，计算动点构造的三角形的面积并且确定最值，因此运用面积构造面积的函数式，结合得出的函数形式，运用其性质解答；判断符合某种条件的点的存在性问题，注意三点O、B、B1构成的特殊三角形的性质结合图形信息，确定符合第三象限这一条件的有关面积的方程，通过解方程并且检验得出符合题意的解；解析：（1）ABx轴，AB=3，tanAOB=，OB=4，点B坐标是（4，0），B1（0，4），A2（3，0），抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点B、B1、A2， ，解得：a=,b=,c=4,抛物线的解析式是y=x2+x4，（2）点P 是第三象限内抛物线y=x2+x4上一点，过点P 作PCx轴，垂足是点C，设点P 的坐标是（m，n），则m0,n0，n=m2+m4，则有PC=n=n=m2m4，OC=m=m，BC=OBOC=4m=4m，SPBB1= SPBCS梯形PB1OCSOBB1=BCPC（PCOB1）OCOBOB1=（4m）（m2m4）（m2m4）4（m）44=m2=（m2）2.（3）假设在第三象限的抛物线上存在点Q（x，y），使得点Q到BB1的距离是，过点Q作QDBB1于点D，由（2）可知，这时PBB1的面积可以表示为（x2）2. 在RtO BB1中，BB1=，SPBB1=BB1QD=2，（x2）2=2，解得：x 的值是1或者是3，当x=1时，y=4，当x=3时，y=2，因此在第三象限内，抛物线上存在点Q，使得Q点到线段BB1的距离是，这样的点Q 的坐标是（1，4）（3，2）；（2012深圳市 22 ）如图8，已知ABC的三个顶点坐标分别为（1）求经过A、B、C三点抛物线的解析式（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE图8-1G图8（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与ABC相似吗？请说明理由。【解析】：（1）已知三点的坐标，代入二次函数的一般式，或利用二次函数的交点式，求出待定系数的值。（2）求出直线BC的解析式及点E的坐标，过点C向y轴作垂线，通过计算AE、CE的长来说明AE=CE；（3）抓住是这两个三角形的公共角，证明它们的夹边是否对应成比例即可。【解答】：如图81（1）解：设抛物线的解析式为图8-1G在抛物线上，故 为所求（2）过点C作CGy轴于点G，有，设直线BC的解析式为则 解之得：， 故， （3）相似由于，令，则 直线的解析式为： 同理可求直线的解析式为：，有：，解之得：故交点，易求得：可知：，又，故【点评】：几何与坐标是中考中重点考查的内容。本题主要考查用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，求直线与坐标轴交点的坐标，并能熟练将点的坐标转换为线段的长，利用勾股定理进行计算。能根据题目的特点熟练选择相似三角形的判定定理（2012山西，26，14分）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x+3与x轴交于AB两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点（1）求直线AC的解析式及BD两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线lAC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点AP、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由（3）请在直线AC上找一点M，使BDM的周长最小，求出M点的坐标【解析】（1）当y=0时，x2+2x+3=0，解得x1=1，x2=3点A在点B的左侧，AB的坐标分别为（1，0），（3，0）当x=0时，y=3C点的坐标为（0，3）设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k10），则，解得，直线AC的解析式为y=3x+3y=x2+2x+3=（x1）2+4，顶点D的坐标为（1，4） （2）抛物线上有三个这样的点Q，当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，3）；当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1，3）；综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+，3），Q3（1，3） （3）点B作BBAC于点F，使BF=BF，则B为点B关于直线AC 的对称点连接BD交直线AC与点M，则点M为所求，过点B作BEx轴于点E1和2都是3的余角，1=2RtAOCRtAFB，由A（1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，AC=，AB=4，BF=，BB=2BF=，由1=2可得RtAOCRtBEB，即BE=，BE=，OE=BEOB=3=B点的坐标为（，）设直线BD的解析式为y=k2x+b2（k20），解得，直线BD的解析式为：y=x+，联立BD与AC的直线解析式可得：，解得，M点的坐标为（，）【答案】（1）直线AC的解析式为y=3x+3；B的坐标分别为（3，0）；顶点D的坐标为（1，4）（2）满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+，3），Q3（1，3） （3）M点的坐标为（，）【点评】本题综合考查了二次函数中用配方法求顶点坐标、与两坐标轴的交点的求法、待定系数法求直线解析式、三角形相似的判定及性质；平面上两点之间最短距离的转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等多个知识点和多个初数的数学思想的综合，对考生在知识和能力上均提出了很高的要求，能很好的区分不同层次的考生，达到拉开不同层次考生差距的目的难度较大（2012山东东营）已知抛物线经过A（2，0） 设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；（2）如图，在直线 y=x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；APBxyO（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使AMPAMB？如果存在,试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由【解析】(1)把A（2，0）代入即可求得b的值，配方可求P的坐标，令y=0,解方程可求B的坐标；（2）根据两组对边分平行的四边形是平行四边形，求边所在直线的解析式，然后求出交点D的坐标；（3）可判断PAB是等边三角形，因此只要作PAB的平分线交抛物线于M点即为所求的点。【答案】解：（1）由于抛物线经过A（2，0），所以，解得，所以抛物线的解析式为.（*），将（*）配方，得，所以顶点P的坐标为（4，-2）.令y=0，得，解得. 所以点B的坐标是（6，0）. （2）在直线 y=x上存在点D，使四边形OPBD为平行四边形. 理由如下：设直线PB的解析式为+b，把B（6,0）,P(4,-2)分别代入，得 解得所以直线PB的解析式为.又直线OD的解析式为，所以直线PBOD. 设直线OP的解析式为，把P(4,-2)代入，得，解得.如果OPBD，那么四边形OPBD为平行四边形.设直线BD的解析式为，将B(6,0)代入，得0=，所以所以直线BD的解析式为，解方程组得所以D点的坐标为（2,2）（3）符合条件的点M存在.验证如下：过点P作x轴的垂线，垂足为为C，则PC=2，AC=2，由勾股定理，可得AP=4，PB=4，又AB=4，所以APB是等边三角形，只要作PAB的平分线交抛物线于M点，连接PM,BM,由于AM=AM, PAM=BAM,AB=AP，可得AMPAMB.因此即存在这样的点M,使AMPAMB.【点评】综合考查了二次函数、平行四边形、特殊三角形的性质，熟练掌握所学知识，并能融会贯通，运用数形结合的思想去解题。APBxyOCMD（2012，黔东南州）如图，已知抛物线经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）D三点。（1）、求抛物线的解析式。（2）、点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN轴交抛物线于N若点M的横坐标为，请用的代数式表示MN的长。（3）、在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在点，使BNC的面积最大？若存在，求的值，若不存在，说明理由。点的纵坐标解析：(1)我们可以设一般式：或坐标式：，（2）MN的长即N点的纵坐标减M点的纵坐标的值（3）因为，所以当最大时，BNC的面积最大.解：（1）设抛物线方程为：，把A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）D三点代入方程得，（2）设直线BC:把B（3，0）、C（0，3）代入得，.又（3），当最大时，BNC的面积最大.，所以当时，BNC的面积最大为：. 点评：本题考查了二次函数和几何知识的综合应用，难度较大.（2012山东莱芜）如图，抛物线的顶点坐标为，并且与y轴交于点C，与x轴交于两点A,B.(1) 求抛物线的表达式；(2) 设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连结AC、AD, 求ACD的面积；（3）点E位直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F.问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与BCO相似.若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意可设抛物线的表达式为.点C在抛物线上，解得.抛物线的表达式为，即（2）令，即，解得，.设BC的解析式为将代入得，解得.直线BC的解析式为当时，.所以(3) 假设存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与BCO相似，BCO是等腰直角三角形，则以D、E、F为顶点的三角形也必须是等腰直角三角形.由EFOC得DEF=45，故以D、E、F为顶点的等腰直角三角形只能以点D、F为直角顶点 点F为直角顶点时，DFEF，此时DEFBCO，所以DF所在的直线为由，解得将代入，得，将代入，得， 当D为直角顶点时，DFED，此时EFDBCO.点D在对称轴上，DA=DB ，CBA=45，DAB=45,ADB=90,ADBC,故点在直线AD上设直线AD的解析式为将代入得：，解得，所以直线AD的解析式为，由，解得。将代入，得，将代入，得，.综上所述，点E的坐标可以是，【答案】（1）抛物线的表达式为，即；（2）2；（3）存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与BCO相似，点E的坐标可以是，【点评】本题考查的知识点有待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解法，和差法计算三角形的面积，关于三角形相似的分类讨论。考查的知识点全面，考查了学生综合利用所学知识分析问题和解决问题的能力。此类问题通常前两个小题简单，最后一小题难度较大. (2012广东汕头)如图，抛物线y=x2x9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D设AE的长为m，ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE，求CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留）分析：（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，进而确定AB、OC的长（2）直线lBC，可得出AED、ABC相似，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题干条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围（3）首先用m列出AEC的面积表达式，AEC、AED的面积差即为CDE的面积，由此可得关于SCDE、m的函数关系式，根据函数的性质可得到SCDE的最大面积以及此时m的值；过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的E的半径，可根据相似三角形BEF、BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解解答：解：（1）已知：抛物线y=x2x9；当x=0时，y=9，则：C（0，9）；当y=0时，x2x9=0，得：x1=3，x2=6，则：A（3，0）、B（6，0）；AB=9，OC=9（2）EDBC，AEDABC，=（）2，即：=（）2，得：s=m2（0m9）（3）解法一：SABC=AEOC=m9=m，SCDE=SABCSADE=mm2=（m）2+0m9，当m=时，SCDE取得最大值，最大值为此时，BE=ABAE=9=记E与BC相切于点M，连接EM，则EMBC设E的半径为r在RtBOC中，BC=BOC=EBM，COB=EMB=90BOCBME，=，=，r=所求E的面积为：（）2=解法二：SABC=AEOC=m9=m，SCDE=SAECSADE=mm2=（m）2+0m9，当m=时，SCDE取得最大值，最大值为此时，BE=ABAE=9=SEBC=SABC=如图2，记E与BC相切于点M，连接EM，则EMBC，设E的半径为r在RtBOC中，BC=SEBC=BCEM，r=，r=所求E的面积为：（）2=点评：该题主要考查了二次函数的性质、相似三角形的性质、图形面积的求法等综合知识在解题时，要多留意图形之间的关系，有些时候将所求问题进行时候转化可以大大的降低解题的难度（2012广州市，24）如图9，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C。（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD的面积等于ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上一动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l解析式。 【解析】（2）分点D在直线AC的上方与下方分别求出点D的坐标。（3）直角顶点在、B时过点E的直线有无数条，而以M为直角顶点过点E的直线只有一条，就是过点E与以AB为直径的圆相切的直线，从而列方程求出点M的坐标，确定直线的解析式。【答案】解：（1）令y=0，则，解得，A（-4，0），B（2，0）（2）抛物线的对称轴为x1，与y轴交点C的坐标为（0，3） 直线AC的解析式为，且当x1时，有 直线AC与对称轴x1的交点坐标为（1，）AB6，CO3ACB的面积为：9 不妨设点D的坐标为（1，a），当点D位于AC上方时，ACD的面积为：9；解方程得：当点D位于AC下方时，ACD的面积为：9；解方程得：点D的坐标为或（3）如下图，以AB为直径作P，当且仅当直线l与P相切时符合题意，RtPME中，PME90，PM3，PE5，由勾股定理可得：=4；利用三角形相似可以求得点M的坐标设直线l的解析式为：，代入、E（4，0）可得方程组；解方程组得： 直线l的解析式为：同理可得：直线l的另一个解析式为：。【点评】：本题2、3问难度较大，关键是找到问题的突破口，找到三角形面积的求法，根据面积相等列出方程求点D的坐标。注意分类讨论解决。第三问用到了辅助圆，直径所对的圆周角是直角，确定点M的坐标。（2012湖南益阳，20）已知：如图，抛物线与轴交于点A（，0）和点B，将抛物线沿轴向上翻折，顶点P落在点P（1，3）处（1）求原抛物线的解析式；（2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P作轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD)的比非常接近黄金分割比（约等于0.618）请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：，结果可保留根号）【解析】（1）题图中所给出的抛物线有两个未知系数，需要代两个点的坐标；所以得出两个点的坐标是关键；图中P与P是关于轴对称，就得到P，把点和P点代入即得：解得抛物线的解析式为 ，即（2）“W”图案的高为P的纵坐标，即高是3 ；宽为CD的长；因为CD平行于轴，点P在CD上，所以C、D两点的纵坐标是3 ；把纵坐标代入得， 所以得到 C、D两点的坐标分别为(，3) ，(，3)线段CD= 则可以求出“W”图案的高与宽(CD)的比=（或约等于0.6124）【答案】解:P与P(1，3) 关于x轴对称，P点坐标为(1，3) ； 2分抛物线过点A（，0），顶点是P(1，3) ，；3分解得；4分则抛物线的解析式为， 5分即. CD平行x轴，P(1，3) 在CD上，C、D两点纵坐标为3； 6分由得：，7分C、D两点的坐标分别为(，3) ，(，3)CD= 8分“W”图案的高与宽(CD)的比=（或约等于0.6124）10分【点评】本题考查考生对用待定系数法求抛物线的解析式的掌握程度；考查直角坐标系中点与点坐标关于坐标轴对称的变化的掌握；考查在抛物线上对具体问题的分析、理解，得出解决问题的方法和途径。难度中等。（2012四川省资阳市，25）抛物线的顶点在直线上，过点F的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA轴于点A，NB轴于点B（1）(3分)先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含的代数式表示），再求的值；（2）(3分)设点N的横坐标为，试用含的代数式表示点N的纵坐标，并说明NFNB；（3）(3分)若射线NM交轴于点P，且PAPB，求点M的坐标（第25题图）【解析】（1）用配方法将配成顶点式，得出顶点的坐标，再由点在直线上，求出=2.（2）过点F作FCNB于点C，设点N(,)，在RtFCN中，FC=+2，NC=NB-CB=,=，NF=NB（3）连结AF、BF，易证PFAPBF，=，过点F作FG轴于点G,在RtPFG中，PG=，PO=PG+GO=，P( , 0) 再由待定系数法求出：直线PF：，由两函数解析式联立方程，得=3或=2（不合题意，舍去）当=3时，=，M（3 ,）【答案】（1）1分顶点坐标为(2 , )2分顶点在直线上，2+3=，得=23分（2）点N在抛物线上，点N的纵坐标为4分即点N(,)过点F作FCNB于点C，在RtFCN中，FC=+2，NC=NB-CB=,=5分而=，NF=NB6分（3）连结AF、BF由NF=NB，得NFB=NBF，由（2）的结论知，MF=MA，MAF=MFA,MA轴，NB轴，MANB,AMF+BNF=180MAF和NFB的内角总和为360,2MAF+2NBF=180，MAF+NBF=90,中国%&教*育出版网MAB+NBA=180，FBA+FAB=90又FAB+MAF=90FBA=MAF=MFA 又FPA=BPF，PFAPBF，= 7分过点F作FG轴于点G,在RtPFG中，PG=，PO=PG+GO=，P( , 0) 设直线PF：，把点F（2 , 2）、点P( , 0)代入解得=，=，直线PF：8分解方程，得=3或=2（不合题意，舍去）当=3时，=，M（3 ,）9分【点评】本题以抛物线为载体，考查了初中数学的主干知识：函数、方程；考查了学生综合运用数学知识以及运用转化思想、数形结合思想、函数与方程思想解决问题的能力；考查了待定系数法、配方法等数学方法.试题入口宽,三个小题层层深入,有一定的梯度,第(2)小题学生易从全等的方式考虑线段相等,而造成思路上的短路,第(3)小题是本卷的制高点,对学生要求较高,具有很好的区分度.由一次函数与二次函数,连接着方程,试题呈现方式新颖,难度较大.ABxyO第25题图（2012贵州贵阳，25）如图，二次函数y=x2-x+c的图象与x轴分别交于A,B两点，顶点M关于x轴的对称点是M.（1）若A(-4，0)，求二次函数的关系式；（4分）（2）在（1）的条件下，求四边形AMBM的面积；（4分）（3）是否存在抛物线y=x2-x+c，使得四边形AMBM为正方形，若存在，请求出此抛物线的关系式；若不存在，请说明理由. （4分）解析：（