《概率论与数理统计》第一章课后习题解答.doc

吴赣昌编 概率论与数理统计（理工类）三版课后习题解答习题131、袋中5个白球，3个黑球，一次任取两个。（1）求取到的两个求颜色不同的概率；（2）求取到的两个求中有黑球的概率。解：略2、10把钥匙有3把能打开门，今取两把，求能打开门的概率。解:设A=“能打开”，则法一，取出的两把钥匙，可能只有一把能打开，可能两把都能打开，则所以法二，=都打不开，即取得两把钥匙是从另7把中取得的，则，所以3、两封信投入四个信筒，求（1）前两个信筒没有信的概率，（2）第一个信筒内只有一封信的概率。解：（两封信投入四个信筒的总的方法，重复排列）（1）设A=“前两个信筒没有信”，即两封信在余下的两个信筒中重复排列，；（2）设B=“第一个信筒内只有一封信”，则应从两封信中选一封放在第一个信筒中，再把余下的一封信放入余下的三个信筒中的任一个，带入公式既得两个概率。4、一副扑克牌52张，不放回抽样，每次取一张，连续抽4张，求花色各异的概率.解：略5、袋中有红、黄、黑色求各一个，有放回取3次，求下列事件的概率。A=“三次都是红球”；B=“三次未抽到黑球”，C=“颜色全不相同”，“颜色不全相同”解：略6、从等个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：三个数字中不含0和5，三个数字中不含0或5，三个数字中含0但不含5. 解 . ，或 ， .7、从一副52张的扑克牌中任取3张，不重复，计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。解：略8、10个人中有一对夫妇，他们随意坐在一张圆桌周围，求该对夫妇正好坐在一起的概率。解：设“该对夫妇恰坐在一起”，则法一：个人在个座位上随意坐，则；将两个人绑在一起共种，有个位置可坐，其余八个人在个位置上随意坐，共有；法二：设夫妇中一人已经坐好，则余下的个人在个位置随意坐共！，而夫妇中的另一人只有两种坐法，余下的个人随意坐，有！种，所以9、在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任取200个。（1）求恰有90个次品的概率；（2）求至少有2个次品的概率。解：略10、从5双不同的鞋子中任取4只，求这四只鞋子中至少有两只配对的概率。解：设A=“四只鞋子中至少有两只配对”，则其对立事件为=“四只中无配对的”法一：从10只中取1只，将与其配对的另一只排除在外，再从余下的8只中取1只，依次类推，则法二：先从5双中抽取四双，再从每一双中取一只，则法三：至少有一双配对等价于“有一双配对”=C和四只都配对”=D，有一双配对，先从5双中取1双，再从余下的8只中任取两只，但这种取法中有可能出现成对的情况，应减去，成对的种类有，所以；有两双配对，从5双中取两双即可，所以11、把52张牌发给四人，求指定的某人没有得到黑桃A或黑桃K的概率。解：设C=“指定的某人没有得到黑桃A或黑桃K”，则其对立事件为=“指定的某人得到黑桃A和黑桃K”12、50只铆钉随机装入10个部件上，其中3个铆钉强度太弱。每个部件装有3个铆钉。如果3只强度太弱的铆钉都装入同一个部件，则这个部件的强度太弱，求发生一个部件强度太弱的概率。解：法一：用古典概率作：把随机试验E看作是用三个钉一组，三个钉一组去铆完10个部件（在三个钉的一组中不分先后次序。但10组钉铆完10个部件要分先后次序）对E：铆法有种，每种装法等可能对A：三个次钉必须铆在一个部件上。这种铆法有10种法二：用古典概率作把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件铆完。（铆钉要计先后次序）对E：铆法有种，每种铆法等可能对A：三支次钉必须铆在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，或“28，29，30”位置上。这种铆法有种法三：3个强度太弱的铆钉有可能装入10个部件中的任何一个，不妨设=“第I 个部件的强度太弱”=“3个强度太弱的铆钉装入第i个部件”所以A=“发生一个部件强度太弱”，则，且两两互斥，所以13、某复试考试，有3张考签，3个考生应试，一个人抽一张立即放回，再由另一个抽，如此3人各抽一次，求抽签结束后，至少一张没抽到的概率。解：提示：重复排列，利用对立事件的概率求解，设A=“至少有一只没有被抽到”，则其对立事件为=“三张都被抽到”。所以14、从1-9的9个数中有放回地取3次，每次取一个，求取出的3个数之积能被10整除的概率。解：取出的3个数中应有偶数，且必须有5，才能保证三数之积能被10整除。.设A=“取出的3个数中有偶数”，B=“取出的3个数中有5”，所求概率为15、提示 如右图所示（1）带点的四个区域的面积所占的比例（2）6个黑框和4个带点区域的面积和所占的比例习题1-41、一批产品100件，有80件正品，20件次品，其中甲厂生产的为60件，有50件正品；余下的40见均由乙厂生产；现从该批产品中任取一件，记A=“正品”，B=“甲厂生产的产品”，求：解：，2假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率. 解 设任取一件是等品 ，所求概率为 ，因为 所以 故 .*2、10件产品中有4件是次品，从中任取两件，已知有1件是次品，求另一件也是次品的概率。（9题与之类似）解：已知两件中有一件是次品等价于“两件中至少有一件是次品”=A；B=“另一件也是次品”等价于“两件都是次品”所以所求条件概率为：另解： 设所取两件中有一件是不合格品 所取两件中恰有件不合格 则 ，所求概率为 .3、。解：由由乘法公式，得由加法公式，得4，求56、甲、乙两人参加乒乓球比赛，甲先发球，甲发球成功后，乙回球失误的概率为0.3；若乙回球成功，甲回球失误的概率为0.4；若甲回球成功，乙再次回球失误的概率为0.5，计算这几个回合中乙输一分的概率。解：本次比赛共进行两个回合，甲发一次球，回一次球，而乙回球两次。乙输分的可能情况有：甲发球成功，乙回球失误；或甲发球成功，乙第一次回球成功，甲第一次回球成功，而乙第二次回球失误。所以设A=“甲回球失误”B=“第i次乙回球失误”，由题意，已知下列概率，则p乙输一分=7、用3个机床加工同一种零件，由各机床加工的概率分别为0.5，0.3，0.2，各机床加工的零件为合格品的概率分别是0.94、0.9、0.95，求全部产品中的合格率。解：略8、一个盒子中装有15个乒乓球【原题为12个球】，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，求第二次取出的3个球均为新球的概率。 解 设第二次取出的均为新球， 第一次取出的3个球恰有个新球由全概公式 9、某仓库有同样规格的产品六箱，其中三箱由甲厂生产，二箱为乙厂生产，另一箱由甲厂生产，他们的次品率分别为1/10，1/15，1/20，从中任取一件，求取得的是正品的概率。解：10、某人忘记电话号码的最后一个数字，因而他随意拨号，求（1）他拨号不超过3次而接通所需电话的概率；（2）若已知最后一个是数字是奇数，则他拨号不超过3次而接通所需电话的概率。解：设“第i次拨号接通”，A=“他拨号不超过3次而接通所需电话的概率”则（三者之间两两互斥，之间不独立，利用有限可加性和乘法公式即得。或 “三次都没有拨通”，则 利用乘法公式即得。11、驾驶员甲、乙找到目标的概率分别为0.9、0.8，投弹员丙、丁在找到目标的条件下投中的概率分别为0.7、0.6，现在要配备两组人员，问甲，乙和丙、丁如何配合才能使完成使命有较大的概率（只要有一架命中目标即可）？求此概率。12、甲、乙两个盒子各装10只螺钉，每个盒子的螺钉中各有一只是次品，现从甲盒中任取二只螺钉放入乙盒，再从乙盒中取出两只，问从乙盒中取出的恰好有一只正品的概率。习题151、2、3、4、5、制造一种零件可采用两种工艺，第一种工艺有三种工序，每道工序的废品率分别为0.1、0.2、0.3；第二种工艺有二种工序，每道工序的废品率都是0.3。如果采用第一种工艺，在合格零件中，一级品率为0.9；而用第二种工艺，在合格零件中，一级品率为0.8.问哪一种工艺得到的一级品的概率更大？解：设A=“第一种工艺得到合格品”，“第一种工艺的第i道工序得到合格品”， B=“第一种工艺得到合格品”，“第一种工艺的第i道工序得到合格品” ， 在每中工艺中，哪一道工序生产出合格品是相互独立的，所以，则由题意所以而在采用第一种工艺时，在合格零件中，一级品率为0.9，所以得到的一级品率为而用第二种工艺，在合格零件中，一级品率为0.8，所以第一种大。6、三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别是，求他们将此密码译出的概率. 解1 设将密码译出，第个人译出 则 . 解2 事件如上所设，则7、8、一猎人射击野兔，第一枪距离野兔200米，如果未击中，他追至离野兔150米射击第2次，如果仍未击中，他追至100米处再射击第三次，此时击中的概率为0.5，假设猎人的命中率与他离野兔的距离平方成反比，求他击中野兔的概率。解：设第i次击中野兔，B“击中野兔”则由题意，所以而，所以9、排球竞赛规定：发球方赢球时得分，输球时对方得到发球权。甲乙两队进行比赛。根据以往的战例，已知甲队发球时，甲队赢球和输球的概率分别为0.4和0.6；当乙队发球时，甲队赢球和输球的概率都为0.5。无论哪个队先发球，比赛进行到任一队得分时为止，求甲队先发球时各队得分的概率。解：分析，只要有一队得分比赛就结束。设A=“甲队发球甲队得分”，B=“甲队发球乙队得分”。=“甲队第i次发球甲队赢球”， =“甲队第i次发球乙队赢球”，=“乙队第i次发球甲队赢球”， =“乙队第i次发球乙队赢球”则由题意得：甲先发球时，可能第一次就赢球得一分，结束；可能甲第一次输球，乙得发球权，发球后乙输球，甲得发球权，发球后甲赢球得一分，结束；依次类推，得所以同理，即B与A是对立事件所以（或利用P（）的求法也能得到）。10、（设有4个独立工作的元件1，2，3，4。它们的可靠性分别为P1，P2，P3，P4，将它们按图（1）的方式联接，求系统的可靠性。记Ai表示第i个元件正常工作，i=1，2，3，4，2413A表示系统正常。 A=A1A2A3+ A1A4两种情况不互斥 P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4)P (A1A2A3 A4) (加法公式)= P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)P (A1) P (A2)P (A3)P (A4)= P1P2P3+ P1P4P1P2P3P4(A1, A2, A3, A4独立)11、证明若三事件相互独立，则及都与独立。 证 即与独立. 即 与相互独立.12、13、14、15、有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取10件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%，求（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率（2）需作第二次检验的概率（3）这批产品按第2次检验的标准被接受的概率（4）这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率（5）这批产品被接受的概率解：X表示10件中次品的个数，Y表示5件中次品的个数， 由于产品总数很大，故XB（10，0.1），YB（5，0.1）（近似服从）（1）P X=0=0.9100.349（2）P X2=P X=2+ P X=1=（3）P Y=0=0.9 50.590（4）P 0X2，Y=0(