工程流体力学课后习题答案杨树人.pdf

工程流体力学工程流体力学 2 目目 录录 第一章 流体的物理性质 . 1 一、学习引导 . 1 二、难点分析 . 2 习题详解 . 3 第二章 流体静力学 . 5 一、学习引导 . 5 二、难点分析 . 5 习题详解 . 7 第三章 流体运动学 . 13 一、学习引导 . 13 二、难点分析 . 13 习题详解 . 16 第四章 流体动力学 . 22 一、学习引导 . 22 习题详解 . 24 第五章 量纲分析与相似原理 . 34 一、学习引导 . 34 二、难点分析 . 34 习题详解 . 36 第六章 粘性流体动力学基础 . 40 一、学习引导 . 40 二、难点分析 . 40 习题详解 . 42 第七章 压力管路 孔口和管嘴出流 . 50 一、学习引导 . 50 二、难点分析 . 50 习题详解 . 51 主要参考文献 . 59 1 第一章第一章 流体的物理性质流体的物理性质 一、学习引导一、学习引导 1连续介质假设连续介质假设 流体力学的任务是研究流体的宏观运动规律。在流体力学领域里，一般不考虑 流体的微观结构，而是采用一种简化的模型来代替流体的真实微观结构。按照这种 假设，流体充满一个空间时是不留任何空隙的，即把流体看作是连续介质。 2液体的相对密度液体的相对密度 是指其密度与标准大气压下 4纯水的密度的比值，用 表示，即 = 水 3气体的相对密度气体的相对密度 是指气体密度与特定温度和压力下氢气或者空气的密度的比值。 4压缩性压缩性 在温度不变的条件下，流体的体积会随着压力的变化而变化的性质。压缩性的 大小用体积压缩系数 p表示，即 1 = p dV V dp 5膨胀性膨胀性 指在压力不变的条件下，流体的体积会随着温度的变化而变化的性质。其大小 用体积膨胀系数 t表示，即 1 = t dV V dt 6粘性粘性 流体所具有的阻碍流体流动，即阻碍流体质点间相对运动的性质称为粘滞性， 简称粘性。 7牛顿流体和非牛顿流体牛顿流体和非牛顿流体 符合牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体，否则称为非牛顿流体。 8动力粘度动力粘度 牛顿内摩擦定律中的比例系数 称为流体的动力粘度或粘度，它的大小可以反 映流体粘性的大小，其数值等于单位速度梯度引起的粘性切应力的大小。单位为 Pas，常用单位 mPas、泊（P） 、厘泊（cP） ，其换算关系： 1 厘泊(1cP)=1 毫帕斯卡秒(1mPa.s) 100 厘泊(100cP)=1 泊(1P) 2 1000 毫帕斯卡秒(1mPas)=1 帕斯卡.秒(1Pas) 9运动粘度运动粘度 流体力学中，将动力粘度与密度的比值称为运动粘度，用 来表示，即 = 其单位为 m2/s，常用单位 mm2/s、斯（St） 、厘斯（cSt） ，其换算关系： 1m2/s1106mm2/s1104 St=1106 cSt 1 St=100 cSt 10质量力质量力 作用在每一个流体质点上，并与作用的流体质量成正比。对于均质流体，质量 力也必然与流体的体积成正比。所以质量力又称为体积力。 重力、引力、惯性力、电场力和磁场力都属于质量力。 11惯性力惯性力 （1 1）惯性系和）惯性系和非惯性系非惯性系 如果在一个参考系中牛顿定律能够成立，这个参考系称作惯性参考系，牛顿定 律不能成立的参考系则是非惯性参考系。 2 2）惯性力）惯性力 在非惯性坐标系中，虚加在物体上的力，其大小等于该物体的质量与非惯性坐 标系加速度的乘积，方向与非惯性坐标系加速度方向相反，即 i Fma 12表面力表面力 表面力作用于所研究的流体的表面上，并与作用面的面积成正比。表面力是由 与流体相接触的流体或其他物体作用在分界面上的力，属于接触力，如大气压强、 摩擦力等。 二、难点分析二、难点分析 1引入连续介质假设的意义引入连续介质假设的意义 有了连续介质假设， 就可以把一个本来是大量的离散分子或原子的运动问题近 似为连续充满整个空间的流体质点的运动问题。 而且每个空间点和每个时刻都有确 定的物理量，它们都是空间坐标和时间的连续函数，从而可以利用数学分析中连续 函数的理论分析流体的流动。 2牛顿内摩擦定律的应用牛顿内摩擦定律的应用 （1）符合牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体，否则称为非牛顿流体。常见 的牛顿流体包括空气、水、酒精等等；非牛顿流体有聚合物溶液、原油、泥浆、血 液等等。 （2）静止流体中，由于流体质点间不存在相对运动，速度梯度为 0，因而不 3 存在粘性切应力。 （3）流体的粘性切应力与压力的关系不大，而取决于速度梯度的大小； （4）牛顿内摩擦定律只适用于层流流动，不适用于紊流流动，紊流流动中除 了粘性切应力之外还存在更为复杂的紊流附加应力。 3流体粘度与压力和温度之间的关系流体粘度与压力和温度之间的关系 流体的粘度与压力的关系不大，但与温度有着密切的关系。液体的粘度随着温 度的升高而减小，气体的粘度随着温度的升高而增大。 4流体力学中质量力的表示形式流体力学中质量力的表示形式 流体力学中质量力采用单位质量流体所受到的质量力 f 来表示，即 0 = lim V m F f 或 = y xz F FF mmm fijk = XYZijk 其中：X、Y、Z 依次为单位质量流体所受到的质量力 f 在 x、y、z 三个坐标方向上 的分量。 5流体力学中表面力的表示形式流体力学中表面力的表示形式 流体力学中表面力常用单位面积上的表面力来表示。 = lim n A A0 P p 这里的 pn代表作用在以 n 为法线方向的曲面上的应力。可将 pn分解为法向应 力p和切向应力，法向分量就是物理学中的压强，流体力学中称之为压力。 6粘性应力为粘性应力为 0 表现在以下几种情况表现在以下几种情况 绝对静止、相对静止和理想流体。 习题详解习题详解 【11】500cm3的某种液体，在天平上称得其质量为 0.453kg，试求其密度和相对 密度。 【解】 33 4 0.453 0.906 10 kg/m 5 10 m V 3 3 0.906 10 0.906 1.0 10 w 【12】 体积为 5m3的水，在温度不变的条件下，当压强从 98000Pa 增加到 4 4.9 105Pa 时，体积减少 1 升。求水的压缩系数和弹性系数。 【解】由压缩系数公式 10 5 10.001 5.1 10 1/Pa 5 (4.9 1098000) p dV V dP 9 11 1.96 10 Pa 5.1 p E 【13】温度为 20，流量为 60 m3/h 的水流入加热器，如果水的体积膨胀系数 t=0.00055K-1，问加热到 80后从加热器中流出时的体积流量变为多少？ 【解】根据膨胀系数 1 t dV V dt 则 211t QQdtQ 3 60 0.00055 (8020)6061.98 m /h 【14】图中表示浮在油面上的平板，其水平 运动速度为 u=1m/s，=10mm，油品的粘度 =0.9807Pa s，求作用在平板单位面积上的阻 力。 【解】根据牛顿内摩擦定律 = du dy 则 2 1 = 0.980798.07N/m 0.01 【15】 已知半径为 R 圆管中的流速分布为 2 2 = (1) r uc R 式中 c 为常数。试求管中的切应力 与 r 的 关系。 【解】根据牛顿内摩擦定律 = du dy 则 2 22 2 = (1) drr cc drRR r z 习题 1-5 图 u 习题 1-4 图 油 u y x 5 第二章第二章 流体静力学流体静力学 一、学习引导一、学习引导 1相对静止相对静止 流体整体对地球有相对运动，但流体质点之间没有相对运动即所谓相对静止。 2静压力静压力 在静止流体中，流体单位面积上所受到的垂直于该表面的力，即物理学中的压 强，称为流体静压力，简称压力，用 p 表示，单位 Pa。 3等压面等压面 在充满平衡流体的空间里，静压力相等的各点所组成的面称为等压面。 4压力中心压力中心 总压力的作用点称为压力中心。 5压力体压力体 是由受力曲面、液体的自由表面（或其延长面）以及两者间的铅垂面所围成的 封闭体积。 6实压力体实压力体 如果压力体与形成压力的液体在曲面的同侧，则称这样的压力体为实压力体， 用（+）来表示； 7虚压力体虚压力体 如果压力体与形成压力的液体在曲面的异侧，则称这样的压力体为虚压力体， 用（-）来表示。 二、难点分析二、难点分析 1静压力常用单位及其之间的换算关系静压力常用单位及其之间的换算关系 常用的压力单位有：帕(Pa)、巴(bar)、标准大气压(atm)、毫米汞柱(mmHg)、 米水柱(mH2O)，其换算关系为：1bar=1 105 Pa；1atm=1.01325 105 Pa；1atm=760 mmHg；1atm=10.34 mH2O；1mmHg=133.28Pa；1mH2O=9800Pa。由此可见静压力 的单位非常小，所以在工程实际中常用的单位是 kPa(103Pa）或 MPa(106Pa)。 2静压力的性质静压力的性质 （1）静压力沿着作用面的内法线方向，即垂直地指向作用面； （2）静止流体中任何一点上各个方向的静压力大小相等，与作用方向无关； （3）等压面与质量力垂直。 3流体平衡微分方程的矢量形式及物理意义流体平衡微分方程的矢量形式及物理意义 6 1 =p f 该方程的物理意义：当流体处于平衡状态时，作用在单位质量流体上的质量力 与压力的合力相平衡。 其中：称为哈密顿算子，ijk xyz ，它本身为一个矢量，同时对 其右边的量具有求导的作用。 4静力学基本方程式的适用条件及其意义。静力学基本方程式的适用条件及其意义。 12 12 = pp zz gg （1）其适用条件是：重力作用下静止的均质流体。 （2）几何意义：z 称为位置水头，p/g 称为压力水头，而 zp/g 称为测压管 水头。因此，静力学基本方程的几何意义是：静止流体中测压管水头为常数。 （3）物理意义：z 称为比位能，p/g 代表单位重力流体所具有的压力势能， 简称比压能。比位能与比压能之和叫做静止流体的比势能或总比能。因此，流体静 力学基本方程的物理意义是：静止流体中总比能为常数。 5流体静压力的表示方法流体静压力的表示方法 绝对压力：= aba pp +gh； 相对压力： Maba p = ppgh（当 pabpa时，pM称为表压） ； 真空压力： vaabM pppp （当 pabpa时） 。 6等加速水平等加速水平运动容器和等角速旋转容器中流体自由液面方程的应用（见习运动容器和等角速旋转容器中流体自由液面方程的应用（见习 题详解）题详解） 0 s ax+gz 22 s 0 2 r gz 7画压力体的步骤画压力体的步骤 （1）将受力曲面根据具体情况分成若干段； （2）找出各段的等效自由液面； （3）画出每一段的压力体并确定虚实； （4）根据虚实相抵的原则将各段的压力体合成，得到最终的压力体。 7 习题详解习题详解 【21】容器中装有水和空气，求 A、B、C 和 D 各点的表压力？ 【解】 34 3422 2 3232 () () ()(2) MA MBMA MCMB MDMC pg hh ppg hhhgh ppgh ppg hhg hh 【22】如图所示的 U 形管中装有水银与水，试求： (1)A、C 两点的绝对压力及表压力各为多少？ (2)求 A、B 两点的高度差 h？ 【解】 (1) ()w 0 . 3 a bAa ppg w 0.3 MA pg ()wH 0.30.1 ab Ca ppgg wH 0.30.1 MC pgg (2)选取 U 形管中水银的最低液面为等压面，则 wH 0.3ggh 得 w H 0.3 22 cmh 【23】 在一密闭容器内装有水及油，密度分别为 w 及 o，油层高度为 h1，容器底部装有水银液柱压力计， 读数为 R，水银面与液面的高度差为 h2，试导出容器上 方空间的压力 p 与读数 R 的关系式。 【解】选取压力计中水银最低液面为等压面，则 1w21 () oH pghg hRhgR 得 1w21 () Ho pgRghg hRh 【24】 油罐内装有相对密度为 0.7 的汽油，为测定油面高度，利用连通器原理， 把 U 形管内装上相对密度为 1.26 的甘油，一端接通油罐顶部空间，一端接压气管。 同时，压力管的另一支引入油罐底以上的 0.4m 处，压气后，当液面有气逸出时， 题 21 图 A B C pa h1 h2 h3 h4 空气 空气 D 题 22 图 pa C pa 30cm 10cm h A B 水 水银 水 油 p h1 h2 R 题 23 图 8 根据 U 形管内油面高度差h=0.7m 来计 算油罐内的油深 H= ? 【解】 选取 U 形管中甘油最低液面为 等压面，由气体各点压力相等，可知油罐 底以上 0.4m 处的油压即为压力管中气体 压力，则 00 (0.4) goo pg hpg H 得 1.26 0.7 0.40.41.66 m 0.7 go o h H 【25】 图示两水管以 U 形压力计相连，A、B 两点高差 1m，U 形管内装有水银， 若读数h=0.5m， 求 A、 B 两点的压力差为多少？ 【解】 选取 U 形管内水银最低液面为等压 面，设 B 点到水银最高液面的垂直高度为 x，则 wHw (1)() AB pgxg hpg xh 得 wHw 4 () 7.154 10 Pa BA ppgg h 【26】 图示油罐发油装置，将直径 为 d 的圆管伸进罐内， 端部切成 45 角， 用盖板盖住， 盖板可绕管端上面的铰链 旋转，借助绳系上来开启。已知油深 H=5m，圆管直径 d=600mm，油品相对 密度 0.85， 不计盖板重力及铰链的摩擦 力，求提升此盖板所需的力的大小？ （提示： 盖板为椭圆形， 要先算出长轴 2b 和短轴 2a，就可算出盖板面积 A=ab） 。 【解】 分析如图所示 以管端面上的铰链为支点， 根据力 矩平衡 TdPL 其中 4 2 ()1.664 10 N 22 oo dd PgHAgH p0 0.4m p 压力气体 题 24 图 h H A B 1m h 题 25 图 T H pa d o y x d 2d D C P yD yC d L 题26 图 9 22 22 C DC C Jdd Lyy y A 3 2 () 2 422 0.43 m 22 2() 22 dd d dd H 可得 4 4 1.664 100.43 1.19 10 N 0.6 PL T d 【27】 图示一个安全闸门， 宽为 0.6m， 高为 1.0m。 距底边 0.4m 处装有闸门转轴， 使之仅可以绕转轴顺时针方向旋转。不计各处的摩擦力，问门前水深 h 为多深时， 闸门即可自行打开？ 【 解 】 分 析 如 图 所 示 ， 由 公 式 C DC C J yy y A 可知，水深 h 越大，则形心 和总压力的作用点间距离越小，即 D 点上 移。当 D 点刚好位于转轴时，闸门刚好平 衡。 即 3 12 0.1 (0.5) C DC C BH J yy y AhBH 得 1.33mh 【28】有一压力贮油箱（见图） ，其 宽度（垂直于纸面方向）b=2m，箱内 油层厚 h1=1.9m，密度 0=800kg/m3， 油层下有积水，厚度 h2=0.4m，箱底有 一 U 型水银压差计，所测之值如图所 示，试求作用在半径 R=1m 的圆柱面 AB 上的总压力（大小和方向） 。 【解】分析如图所示，首先需确 定自由液面，选取水银压差计最低液 面为等压面，则 h B H 0.4m yC o y D yD P 题 27 图 B R=1m 油 水 0.5m 0.5m 1.9m A o 汞 等效自由液面 o Ax yC C () h*=pB/og Px PZ P 题 28 图 10 w 0.51.91.0 HBo gpgg 由 pB不为零可知等效自由液面的高度 w * 0.51.91.0 5.35 m HoB oo gggp h gg 曲面水平受力 * ()91.728kN 2 xo R Pg hRb 曲面垂直受力 2 * 1 ()120.246kN 4 Zoo PgVgRRh b 则 22 151.24kN xz PPP arctan()arctan(0.763)37.36 x Z P P o 【29】 一个直径 2m，长 5m 的圆柱体放置在图示的斜坡上。求圆柱体所受的水 平力和浮力。 【解】 分析如图所示， 因为斜坡的倾斜角为 60 ， 故经 D 点过圆心的直径与自由液面交于 F 点。 BC 段和 CD 段水平方向的投影面积相同，力方 向相反，相互抵消，故 圆柱体所受的水平力 3 1.0109.8 0.5 1 5 24.5kN xCx Pgh A 圆柱体所受的浮力 12 3 () 11 1.0 109.8(113)5 22 119.365kN Z Pg VV 【210】 图示一个直径 D=2m，长 L=1m 的圆柱体，其左半边为油和水，油和水的 深 度 均 为1m 。 已 知 油 的 密 度 为 =800kg/m3， 求圆柱体所受水平力和浮力。 【解】因为左半边为不同液体，故分 别来分析 AB 段和 BC 段曲面的受力情况。 60 水 1m A B C D Ax F 题 29 图 （）（） 水 油 A B C 水的等效 自由液面 Ax1 Ax2 (+) (-) h*=poB/wg 题 210 图 11 AB 曲面受力 1 3 2 0.8 109.80.5 1 1 3.92kN xo R PgRL 22 1 1 () 4 Zo Pg RRL 3 1 0.8 109.8 (1 11) 1 1.686kN 4 BC 曲面受力 2* 3 () 2 1 109.8 (0.80.5) 1 12.74kN xw R PghRL 2 2* 3 1 () 4 1 1 109.8(1 0.81) 1 4 15.533kN Zw Pg RhRL 则，圆柱体受力 12 3.9212.7416.66kN xxx PPP 21 15.533 1.68613.847kN ZZZ PPP（方向向上） 【211】 图示一个直径为 1.2m 的钢球安装在 一直径为 1m 的阀座上， 管内外水面的高度如图 所示。试求球体所受到的浮力。 【解】分析如图所示，图中实压力体（） 为一圆柱体，其直径为 1.0m 12 32 () 4 (0.50.5) 3 5.016kN Z Pg VV gR 【212】图示一盛水的密闭容器，中间用隔板将其分隔为上下两部分。隔板中有 一直径 d=25cm 的圆孔，并用一个直径 D=50cm 质量 M=139kg 的圆球堵塞。设容 器顶部压力表读数 pM=5000Pa，求测压管中水面高 x 大于若干时，圆球即被总压力 向上顶开？ 1.0m 0.5m 1.0m （） （） 题 211 图 12 【解】分析如图所示，图中虚压力体（）为一球体和圆柱体体积之和 根据受力分析可知 12 () g VVMg 32 * 41 () 34 gRdxhMg 则 3 2 4 4() 3 2.0m M M R p x dg 【213】水车长 3m，宽 1.5m，高 1.8m，盛水深 1.2m，见图 2-2。试问为使水 不益处，加速度 a 的允许值是多少。 【解】 根据自由夜面 （即等压面方程） 0 s ax+gz 得 2 9.8 (1.8 1.2) 3.92m/s 1.5 s gz a= x x y h*=pM/g 等效自 由液面 () () 题 212 图 图 213 图 z y a 1.8m 1.2m 13 第三章第三章 流体运动学流体运动学 一、学习引导一、学习引导 1稳定流动稳定流动 如果流场中每一空间点上的所有运动参数均不随时间变化，则称为稳定流动， 也称作恒定流动或定常流动。 2不稳定流动不稳定流动 如果流场中每一空间点上的部分或所有运动参数随时间变化， 则称为不稳定流 动，也称作非恒定流动或非定常流动。 3迹线迹线 流体质点在不同时刻的运动轨迹称为迹线。 4流线流线 流线是用来描述流场中各点流动方向的曲线， 在某一时刻该曲线上任意一点的 速度矢量总是在该点与此曲线相切。 5流管流管 在流场中作一条不与流线重合的任意封闭曲线， 则通过此曲线上每一点的所有 流线将构成一个管状曲面，这个管状曲面称为流管。 6流束和总流流束和总流 充满在流管内部的流体的集合称为流束，断面无穷小的流束称为微小流束。管 道内流动的流体的集合称为总流。 7有效断面有效断面 流束或总流上垂直于流线的断面，称为有效断面。 8流量流量 单位时间内流经有效断面的流体量，称为流量。流体量有两种表示方法，一是 体积流量，用 Q 表示，单位为 m3/s；另一种为质量流量, 用 Qm表示，单位为 kg/s。 9控制体控制体 是指根据需要所选择的具有确定位置和体积形状的流场空间， 控制体的表面称 为控制面。 二、难点分析二、难点分析 1拉格朗日法和欧拉法的区别拉格朗日法和欧拉法的区别 （1）拉格朗日法着眼流体质点，设法描述出单个流体质点的运动过程，研究 流体质点的速度、加速度、密度、压力等描述流体运动的参数随时间的变化规律， 以及相邻流体质点之间这些参数的变化规律。如果知道了所有流体质点的运动状 14 况，整个流体的运动状况也就知道了。 （2）欧拉法的着眼点不是流体质点，而是空间点，即设法描述出空间点处的 运动参数，研究空间点上的速度和加速度等运动参数随时间的变化规律，以及相邻 空间点之间这些参数的变化规律。 如果不同时刻每一空间点处流体质点的运动状况 都已知道，则整个流场的运动状况也就清楚了。 2欧拉法表示的加速度欧拉法表示的加速度 xyz d =uuu dttxyz uuuuu a 或 () d = dtt uu auu 其中： （1）tu表示在同一空间点上由于流动的不稳定性引起的加速度，称为当 地加速度或时变加速度； （注：对于同一空间点，速度是否随时间变化） （2）()uu 表示同一时刻由于流动的不均匀性引起的加速度，称为迁移加速 度或位变加速度。 （注：对于同一时刻，速度是否随空间位置变化） （3） xyz d =uuu dttxyz 称为质点导数。 3流动的分类流动的分类 （1）按照流动介质划分：牛顿流体和非牛顿流体的流动；理想流体和实际流 体的流动；可压缩流体和不可压缩流体的流动；单相流体和多相流体的流动等。 （2）按照流动状态划分：稳定流动和不稳定流动；层流流动和紊流流动；有 旋流动和无旋流动；亚声速流动和超声速流动等。 （3）按照描述流动所需的空间坐标数目又可划分为：一元流动、二元流动和 三元流动。 4迹线方程的确定迹线方程的确定 （1）迹线的参数方程 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) xx a b c t yy a b c t zz a b c t （2）迹线微分方程 ( , , , )( , , , )( , , , ) dxdydz dt u x y z tv x y z tw x y z t 15 5流线方程的确定流线方程的确定 流线微分方程 ( , , , )( , , , )( , , , ) xyz dxdydz ux y z tux y z tux y z t 6流线的性质流线的性质 （1）流线不能相交，但流线可以相切； （2）流线在驻点（u=0）或者奇点（u）处可以相交； （3）稳定流动时流线的形状和位置不随时间变化； （4）对于不稳定流动，如果不稳定仅仅是由速度的大小随时间变化引起的， 则流线的形状和位置不随时间变化，迹线也与流线重合；如果不稳定仅仅是由速度 的方向随时间变化引起的，则流线的形状和位置就会随时间变化，迹线也不会与流 线重合； （5）流线的疏密程度反映出流速的大小。流线密的地方速度大，流线稀的地 方速度小。 7系统的特点系统的特点 （1）系统始终包含着相同的流体质点； （2）系统的形状和位置可以随时间变化； （3）边界上可有力的作用和能量的交换，但不能有质量的交换。 8控制体的特点控制体的特点 （1）控制体内的流体质点是不固定的； （2）控制体的位置和形状不会随时间变化； （3）控制面上不仅可以有力的作用和能量交换，而且还可以有质量的交换。 9空间运动的连续性方程空间运动的连续性方程 () ()() 0 y xz u uu txyz 或 + div0 d = dt u （1）稳定流动 () ()() 0 y xz u uu xyz 或 div()0=u （2）不可压缩流体 16 0 y xz u uu xyz 或 div0=u 根据是否满足上述方程可判断流体的可压缩性。 10流体有旋、无旋的判定流体有旋、无旋的判定 1 () 2 1 () 2 1 () 2 y z x xz y y x z u u yz uu zx u u xy 上式的矢量形式为 xyz ijk 1 2xyz uuu xyz jki 11 rot 22 u =u 流体力学中，把0 的流动称为无旋流动，把0 的流动称为有旋流动。 习题详解习题详解 【31】已知流场的速度分布为 u=x2yi-3yj +2z2k （1）属几元流动？ （2）求（x, y, z）=（3, 1, 2）点的加速度？ 【解】 （1）由流场的速度分布可知 2 2 3 2 x y z ux y uy uz 流动属三元流动。 （2）由加速度公式 17 xxxxx xxyz yyyyy yxyz zzzzz zxyz duuuuu auuu dttxyz duuuuu auuu dttxyz duuuuu auuu dttxyz 得 322 3 23 9 6 x y z ax yx y ay az 故过（3, 1, 2）点的加速度 27 9 48 x y z a a a 其矢量形式为：27948aijk 【32】已知流场速度分布为 ux=x2，uy=y2，uz=z2，试求（x, y, z）=（2, 4, 8）点的 迁移加速度？ 【解】由流场的迁移加速度 xxx xxyz yyy yxyz zzz zxyz uuu auuu xyz uuu auuu xyz uuu auuu xyz 得 3 3 3 2 2 2 x y z ax ay az 故过（2, 4, 8）点的迁移加速度 16 128 1024 x y z a a a 18 【33】有一段收缩管如图。已知 u1=8m/s，u2=2m/s， l=1.5m。试求 2 点的迁移加速度。 【解】由已知条件可知流场的迁移加速度为 x xx u au x 其中： 12 6 4 1.5 x uuu xl 则 2 点的迁移加速度为 2 2 248 m/s x x u au x 【34】某一平面流动的速度分量为 ux=-4y，uy=4x。求流线方程。 【解】由流线微分方程 xy dxdy uu 得 dxdy yx 解得流线方程 22 xyc 【35】已知平面流动的速度为 2222 22() ByBx u xyxy ()i j，式中 B 为常数。 求流线方程。 【解】由已知条件可知平面流动的速度分量 22 22 2 2() x y By u xy Bx u xy () 代入流线微分方程中，则 dxdy yx 解得流线方程 22 xyc 【36】用直径 200mm 的管输送相对密度为 0.7 的汽油，使流速不超过 1.2m/s， L 1 2 题 33 图 19 问每秒最多输送多少 kg？ 【解】由流量公式可知 2 4 m d Qv 则 2 3 3.140.2 1.20.7 1026.38 kg/s 4 m Q 【37】 截面为 300mm 400mm 的矩形孔道，风量为 2700m3/h，求平均流速。如 风道出口处截面收缩为 150mm 400mm，求该处断面平均流速。 【解】由流量公式可知 Qvbh 则 2700 6.25 m/s 0.3 0.4 3600 Q v bh 如风道出口处截面收缩为 150mm 400mm，则 2700 12.5 m/s 0.15 0.4 3600 Q v bh 【38】 已知流场的速度分布为 ux=y+z， uy=z+x， uz=x+y， 判断流场流动是否有旋？ 【解】由旋转角速度 11 ()(1 1)0 22 11 ()(1 1)0 22 11 ()(1 1)0 22 y z x xz y y x z u u yz uu zx u u xy 可知 0 xyz ijk 故为无旋流动。 【39】下列流线方程所代表的流场，哪个是有旋运动？ （1）2Axy=C（2）Ax+By=C （3）Alnxy2=C 【解】由流线方程即为流函数的等值线方程，可得 （1）速度分布 20 x y ux y uy x 旋转角速度 11 ()(00)0 22 y x z u u xy 可知 0 xyz ijk 故为无旋流动。 （2）速度分布 x y uB y uA x 旋转角速度 11 ()(00)0 22 y x z u u xy 可知 0 xyz ijk 故为无旋流动。 （3）速度分布 2 2 2 ln 1 ln x y uxy yy uxy xx 旋转角速度 22 22 11 12 ()(ln1)(2ln)0 22 y x z u u xyxy xyxy 可知 0 xyz ijk 故为有旋流动。 21 【310】已知流场速度分布为 ux=-cx，uy=-cy，uz=0，c 为常数。求： （1）欧拉加 速度 a=？； （2）流动是否有旋?（3）是否角变形?（4）求流线方程。 【解】 （1）由加速度公式 2 2 0 xxx xxyz yyy yxyz zzz zxyz uuu auuuc x xyz uuu auuuc y xyz uuu auuu xyz 得 22 ac xicy j （2）旋转角速度 1 ()0 2 1 ()0 2 1 ()0 2 y z x xz y y x z u u yz uu zx u u xy 可知 0 xyz ijk 故为无旋流动。 （3）由角变形速度公式 1 ()0 2 1 ()0 2 1 ()0 2 y x xy xz xz y z zy u u xy uu zx u u zy 可知为无角变形。 （4）将速度分布代入流线微分方程 dxdy cxcy 解微分方程，可得流线方程 x c y 22 第四章第四章 流体动力学流体动力学 一、学习引导一、学习引导 1动能修正系数动能修正系数 是总流有效断面上单位重力流体的实际动能对按平均流速算出的假想动能的 比值。 2水力坡降水力坡降 沿流程单位管长上的水头损失称为水力坡降，用 i 表示，即 w h i L 3扬程扬程 泵使单位重力液体增加的能量通常称为泵的扬程，用 H 来表示。 二、难点分析二、难点分析 1理想流体伯努利方程理想流体伯努利方程 22 1122 12 22 pupu z += z + gggg （1）适用条件 理想不可压缩流体，质量力只有重力，单位重力流体沿稳定流的流线或微小流 束流动。 （2）几何意义 z、p/g 以及两者之和的几何意义分别表示位置水头、压力水头和测压管水头， u2/2g 称为速度水头。三者之和称为总水头。 因此，伯努利方程的几何意义是：沿流线总水头为常数。 （3）物理意义 z、p/g 分别称为比位能和比压能，u2/2g 表示单位重力流体所具有的动能，称 为比动能。因此，伯努利方程的物理意义是：沿流线总比能为常数。 2实际流体实际流体沿微小沿微小流束的伯努利方程式流束的伯努利方程式 22 1122 121 2 22 w pupu z += z + gggg h 式中： 1 2w h 流线或微小流束上 1、2 两点间单位重力流体的能量损失。 23 3实际流体总流实际流体总流的伯努利方程的伯努利方程 22 11 122 2 121-2 22 w p vp v z += z +h gggg 式中：a1、a2为动能修正系数，工程中常取 1； v1、v2分别为总流 1、2 断面的平均流速； 1 2w h 为 1、2 两断面间单位重力流体的能量损失。 适用条件是：稳定流；不可压缩流体；作用于流体上的质量力只有重力；所取 断面为缓变流断面。 4实际流体伯努利方程的实际流体伯努利方程的几点注意事项几点注意事项 （1）实际流体总流的伯努利方程不是对任何流动都适用的，必须注意适用条 件； （2）方程式中的位置水头是相比较而言的，只要求基准面是水平面就可以。 为了方便起见，常常取通过两个计算点中较低的一点所在的水平面作为基准面，这 样可以使方程式中的位置水头一个是 0，另一个为正值； （3）在选取断面时，尽可能使两个断面只包含一个未知数。但两个断面的平 均流速可以通过连续性方程求得，只要知道一个流速，就能算出另一个流速。换句 话说，有时需要同时使用伯努利方程和连续性方程来求解两个未知数； （4）两个断面所用的压力标准必须一致，一般多用表压； （5）方程中动能修正系数 可以近似地取 1。 5画画水头线的水头线的步骤步骤 （1）画出矩形边线； （2）据各断面的位置水头画出位置水头线，位置水头线也就是管线的轴线； （3）根据水头损失的计算结果画出总水头线，总水头线一定要正确地反映出 水力坡度的变化情况，注意：变径管、渐缩管和渐扩管总水头线的画法； （4）再依据压力水头的大小画出测压管水头线。注意以下两点，一是测压管 水头线与总水头线的高差必须能够反映出流速水头的变化情况， 二是测压管水头线 与位置水头线之间的高差必须能够正确地反映出压力水头的变化情况； （5）给出必要的标注。 6带泵的伯努利方程带泵的伯努利方程 在运用伯努利方程时，如果所取两个计算断面中一个位于泵的前面，另一个 位于泵的后面，即液体流经了泵，那么就必须考虑两个断面之间由于泵的工作而外 加给液体的能量，此时的伯努利方程为 22 1122 121 2 22 w pvpv zHzh gggg 24 7泵的有效功率泵的有效功率 N= gQH 泵 泵的有效功率与和泵轴功率之比称为泵效，用 泵表示，即 N N 泵 泵 轴 电动机的效率 电 N N 轴 电 电 8应用动量方程的步骤应用动量方程的步骤 （1）选取控制体； （2）建立坐标系（一般选取出口方向为 x 方向） （3）分析受力； （4）分别列 x、y 方向的动量方程并求解。 习题详解习题详解 【41】直径 d=100mm 的虹吸管，位置如附图中所示。求流量和 2、3 的压力。不 计水头损失。 【解】 选取 4 点所在断面和 1 点所在 断面列伯努力方程， 以过 4 点的水平线为 基准线。 2 4 500 00 2 9.8 v 得 4 =9.9 m/sv，则 23 4 0.078 m /s 4 Qd v 选取 1、2 点所在断面列伯努利方程，以过 1 点的水平线为基准线 2 22 000 0 2 pv gg （v2=v4） 得 4 2 4.9 10 Pap 题 41 图 1 2 3 4 5m 2m d 25 选取 1、3 点所在断面列伯努利方程，以过 1 点的水平线为基准线 2 33 000 2 2 pv gg （v3=v4） 得 4 3 6.86 10 Pap 【42】一个倒置的 U 形测压管，上部为相对密度 0.8 的油，用来测定水管中点的 速度。若读数h=200mm，求管中流速 u=? 【解】选取如图所示 11、22 断面列 伯努利方程，以水管轴线为基准线 2 12 0 00 2 ppu ggg 同时，选取 U 形测压管中油的最高液面为等 压面，则 21 () 220.784m/s wo g hpp u 【43】 图示为一文丘里管和压力计， 试推导体积流量和压力计读数之间的关系式。 当 z1=z2时，=1000kg/m3，H=13.6 103kg/m3，d1=500mm，d2=50mm，H=0.4m， 流量系数 =0.9 时，求 Q=？ 【解】列 11、22 所在断面的伯努利方程、以过 11 断面中心点的水平线 为基准线。 22 1122 12 0 z 22 pvpv z gggg 选取压力计中汞的最低液面为等压 面，则 12 12 z12.6 pp zH g 又由 1 2 1 4 Q v d 、 2 2 2 4 Q v d ，得 0.03QH 所以 3 0.030.017m /sQQH 实际 题 42 图 水 u =0.8 h 油 1 1 2 2 题 43 图 d1 H 汞 d2 Q Z1 Z2 水平基准线 1 1 2 2 26 【44】管路阀门关闭时，压力表读数为 49.8kPa，阀门打开后，读数降为 9.8kPa。 设从管路进口至装表处的水头损失为流速水头的 2 倍，求管路中的平均流速。 【解】当管路阀门关闭时，由压 力表度数可确定管路轴线到自有液面 的高度 H p H g 当管路打开时，列 11 和 22 断面的伯努利方程，则 22 222 0002 22 pvv H ggg 得 2 2 2 5.16m/s 3 pp v 【45】为了在直径 D=160mm 的管线上自动掺入另一种油品，安装了如下装置： 自锥管喉道处引出一个小支管通入油池内。若压力表读数为 2.3 105Pa，吼道直径 d=40mm，T 管流量 Q30 l/s，油品的相对密度为 0.9。欲掺入的油品的相对密度为 0.8，油池油面距喉道高度 H=1.5m，如果掺入油量约为原输量的 10%左右，B 管水 头损失设为 0.5m，试确定 B 管的管径。 【解】列 11 和 22 断面的伯努利方程，则 22 1122 11 00 22 pvpv gggg 其中 1 2 1.49m/s 1 4 Q v D 2 2 23.89m/s 1 4 Q v d 得 4 2 2.6 10 Pap 列 33 和 44 自有液面的伯努利方程，以 44 断面为基准面，则 题 44 图 pa H 1 1 2 2 题 45 图 B 1 1 2 2 3 3 4 4 27 2 33 4 3 2 000 2 pv Hh gg 其中 32 pp、 3 2 0.1 1 4 B Q v d ，代入上式，得 B d 27mm 【46】一变直径的管段 AB，直径 dA=0.2m，dB0.4m，高差h=1.0m，用压力 表测得 pA=70kPa，pB=40kPa，用流量计测得流量 Q=0