概率论第五章习题解答全.pdf

第五章习题解答第五章习题解答 1、据以往的经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100h 的指数分布，现随机地取 16 只， 设它们的寿命是相互独立的，求这 16 只元件的寿命的总和 1920h 的概率。 解设这 16 只元件的寿命为 i X，1,2,16i ，则 16 1 i i XX ， 因为()100 i E X， 22 ()10000 i D X 于是随机变量 1616 11 2 1600 1600 40010000 16 ii ii XnX X Z n 近似的服从(0,1)N 16001920 1600 1920 400400 X P XP 1600 0.8 400 X P 1600 10.8 400 X P 1(0.8) 1 0.78810.2119 . 2（1）一保险公司有 10000 个汽车保险投保人，每个投保人索赔金额的数学期望为 280 美 元，标准差为 800 美元，求索赔总金额不超过 2700000 美元的概率； （2）一公司有 50 张签约保险单，每张保险单的索赔金额为 i X，1,2,50i （以千美元 计）服从韦布尔分布，均值()5 i E X，方差()6 i D X求 50 张保险单索赔的合计总金额 大于 300 的概率。 解（1）设每个投保人索赔金额为 i X，1,2,10000i ，则索赔总金额为 10000 1 i i XX 又()280 i E X， 2 ()800 i D X，所以， 索赔总金额不超过 2700000 美元的概率 27000001270000P XP X 10000 1 280 10000 27000002800000 1 800 10080000 i i X P 10000 1 2800000 10 1 800008 i i X P 10000 1 2800000 11.25 80000 i i X P 近似的服从(0,1)N 即27000001( 1.25)P X (1.25)0.8944 （2）3001300P XP X 50 1 50 5 300250 1 6 50300 i i X P 50 1 50 5 5 1 6 503 i i X P 50 1 50 5 12.89 6 50 i i X P 1(2.89) 1 0.99810.0019 3、计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立， 且在（0.5，0.5）上服从均匀分布， （1）将 1500 个数相加，问误差总和的绝对值超过 15 的概率是多少？ （2）最多可有几个数相加，使得误差总和的绝对值小于 10 的概率不小于 0.90？ 解设每个加数的舍入误差为 i X，1,2,1500i ，由题设知 i X相互独立同分布，且在 （0.5，0.5）上服从均匀分布，从而 0.50.5 ()0 2 i E X ， 2 (0.50.5)1 () 1212 i D X (1)、 记 1500 1 i i XX ， 由独立同分布的中心定理有 1500 0 1125 1500 12 XX 近似的服从(0,1)N， 从而| 151| 15PXPX 1 1515PX 1515 1 125125125 X P 1515 1 ()() 5 55 5 3 2(1() 5 2(1(1.34)2(1 0.9099)0.1802。 （2） 、记 1 n i i XX ，要使| 100.90PX ，由独立同分布的中心极限定理， 近似地有 | 10 1010PXPX 1010 121212 X P nnn 10 2 () 10.90 12 n 即 10 ()0.95 12 n ，查表得(1.64)0.95 令 10 1.64 12 n ，解得443n 。 即最多可有 443 个数相加，可使得误差总和的绝对值小于 10 的概率不小于 0.90。 4、 设各零件的重量都是随机变量， 它们相互独立， 且服从相同的分布， 其数学期望为 0.5kg， 圴方为 0.1kg，问 5000 只零件的总重量超过 2510kg 的概率是多少？ 解设每只零件的重量为 i X，1,2,5000i ，由独立同分布的中心极限定理知 5000 1 0.5 5000 50000.1 i i X 近似地服从(0,1)N 则251012510P XP X 5000 1 0.5 5000 25102500 1 50000.150 i i X P 5000 1 0.5 5000 10 1 50000.150 i i X P 10 1()1(1.414) 7.07 10.92070.0793。 5、有一批建筑房屋用的木柱，其中 80%的长度不小于 3m，现从这批木柱中随机地取 100 根，求其中至少有 30 要短于 3m 的概率。 解把从这批木柱中随机地取一根看作一次试验，并假定各次试验相互独立，在 100 次试验中长度不小于 3m 的根数记作X，则X是随机变量X，且(100,0.8)Xb， 其分布律为 100 100 0.80.2 kkk P XkC ，0,1,2,100k 所求的概率为70P X 由德莫弗拉普拉斯定理可求它的近似值 100 0.870 100 0.8 70 100 0.8 0.2100 0.8 0.2 X P XP 8010 1616 X P 805 42 X P 5 1( )1 0.99380.0062 2 。 6、一工人修理一台机器要两个阶段，每一阶段需要时间（小时）服从均值为 0.2 的指数分 布，第二阶段所需要的时间服从均值为 0.3 的指数分布，且与第一阶段独立。现有 20 台机 器需要修理，求他在 8 小时内完成任务的概率。 解设修理第i（1,2,20i ）台机器，第一阶段耗时 i X，第二阶段为 i Y，则共耗时为 iii ZXY 已知因为指数分布的数学期望为，方差 2 ，即()0.2 i E X，( )0.3 i E Y ， 2 ()0.2 i D X， 2 ( )0.3 i D Y ，又第一阶段和第二阶段是相互独立的，故 ()()()( )0.20.30.5 iii E ZE XYE XE Y 22 ()()()( )0.20.30.13 iiiii D ZD XYD XD Y 20 台机器需要修理的时间由独立同分布的中心极限定理，20 台机器需要维修的时间可认为 近似地服从正态分布，即 202020 111 20 1 ()20 0.5 (10,2.6) 20 0.13 () iii iii i i ZEZZ N DZ 而所求概率 20 1 0.8 i i pPZ 8 10 () 2.6 22 ()()( 1.24) 1.61252.6 1(1.24)1 0.89250.1075 即不大可能在 8 小时内完成任务。 （因为完成任务的可能性不到 20%） 7、一家食品店有三种蛋糕出售，由于出售哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格 是一个随机变量，它取 1 元、1.2 元、1.5 元各个值的概率分别为 0.3，0.2，0.5。若售出 300 只蛋糕， （1）求收入至少 400 元的概率。 （2）求售出价格为 1.2 元的蛋糕多于 60 只的概率。 解设第i格为为 i X（1,2,300i ） ，其分布律 由此得 ()1 0.3 1.2 0.2 1.5 0.51.29 i E X （即平均收入） 2 ()1 0.3 1.44 0.22.25 0.51.713 i E X 222 ()()( ()1.713(1.29)0.0489 iii D XE XE X 以X表示总收入，即 300 1 i i XX ，由独立同分布中心极限定理，得 300300 11 300 1.29387 (387,14.67) 300 0.048914.67 ii ii XX N 则收入超过 400 元的概率为 300300 11 4001400 ii ii PXPX 300 1 387 400387 1 14.6714.67 i i X P 400387 1() 14.67 13 1()1(3.39) 3.83 1 0.99970.0003 。 （2）以Y记 300 只蛋糕中售价为1.2元的蛋糕数，于是 (300,0.2)Yb，( )300 0.260E Y （出售这种蛋糕的平均只数） ， ( )300 0.2 0.84.8D Y (二项分布的方差) i X 11.21.5 i p 0.30.20.5 售出价格为 1.2 元的蛋糕多于 60 只的概率为 60160P YP Y 606060 1 4.84.8 Y P 1(0)1 0.50.5 （即有 50%的可能售出 60 只价格为 1.2 元的蛋糕。 ） 8、 （1）一复杂的系统由 100 个相互独立起作用的部件组成，在整个运行过程期间每个部件 损坏的概率为 0.10，为了使整个系统起作用，至少必须有 85 个部件正常工作，求整 个系统起作用的概率。 （2）一个复杂系统由 n 个相互独立起作用的部件组成，每个部件的可靠性（即部件正常工 作的概率）为 0.9，且必须至少有 80%的部件正常工作才能使整个系统工作，问 n 至少 为多大时才能使系统的可靠性不低于 0.95。 解（1）设正常工作的部件数为 1 0 i X ，第i个部件在整个运行期间工作 ，第i个部件在整个运行期间损坏 （0,1,2,100i ） ， 由题设知 i X（0,1,2,100i ）相互独立，且10.9 i P X ，00.1 i P X ， 设 100 1 i i XX ， 则(100,0.9)Xb。 由德莫弗拉普拉斯定理知， 100 0.9 100 0.9 0.1 X 近 似地服从正态分布(0,1)N，从而 85185P XP X 100 0.985 100 0.9 1 100 0.9 0.1100 0.9 0.1 X P 55 1()( )(1.67)0.9525 33 （2）设观察每个部件是否损坏为一次试验，记损坏的部件数为X，则X是一个随机 变量， 且( ,0.1)Xb n， 由于当有 20%的部件不工作时系统就不能工作， 因此若设0.2Nn （取整数） ，则当正常工作的部件数N时，系统就不能正常工作。根据德莫弗拉普拉 斯定理 0.10.1 0.9 0.10.9 0.1 XnNn P XNP nn 0.10.1 0.30.3 XnNn P nn 0.1 ()1 0.950.05 0.3 Nn n 查表得(1.65)0.95（由标准正态分布的对称性。 ） ， 由于0.2Nn（取整数） ，故可以认为0.10.1Nnn， 令 0.10.1 1.65 0.30.3 Nnn nn ，有4.95n ，24.5n 即当 n 至少为 25 时，才能使系统的可靠性不低于 0.95 9、已知在某十字路口，一周事故发生数的数学期望为 2.2，标准差为 1.4 （1）以X表示一年（以 52 周计）此十字路口事故发生数的算术平均，试用中心极限定理 求X的近似分布，并求2P X 。 （2）求一年事故数小球 100 的概率。 解（1）设该十字路口第i周发生事故次数为 i X，则 i X（0,1,2,52i ）是相互独立 的随机变量， 已知()2.2E X，标准差()1.4D X， 则方差 22 1.41.96， 于是 i X服从正态分布 2 (2.2,1.4 )N，由中心极限定理， 22 1.4 ( ,)(2.2,) 52 XNN n 。 （见教材 P122 之（2.3）式） 。 又 2.222.2 2 1.41.4 5252 X P XP 2.20.2 1.4 0.1941 52 X P ( 1.03)1(1.03) 1 0.84850.1515 。 （2）设 52 1 i i XX ，则 52 2.210052 2.2 100 1.4 521.4 52 X P XP 52 2.214.4 ( 1.43) 10.0961.4 52 X P 1(1.43)1 0.92360.0764 10、某种汽车氧化氮的排放量的数学期望为 0.9g/km，标准差为 1.9g/km 某汽车公司有这汽 车 100 辆， 以X表示这些汽车氧化氮排放量的算术平均值， 问当L为何值时XL的概 率不超过 0.01。 解设每辆汽车的氧化氮排放量为 i X（1,2,100i ） ，则 i X是相互独立的随机变量，且 ()0.9 i E X，()1.9 i D X， 22 1.9， 由中心极限定理知， 2 1.9 (0.9,) 100 XN 于是1P XLP XL 0.90.90.9 11() 0.191.91001.9100 XLL P 令 0.9 1()0.01 0.19 L ，即 0.9 ()0.99 0.19 L 查表有(2.33)0.9901 令 0.9 2.33 0.19 L ，得1.3427L g/km 11、随机地选取两组学生，每组 80 人，分别在两个实验室测量某种化合物的 PH 值，各人 测量的结果是随机变量，且相互独立，服从同一分布，数学期望为 5，方差为 0.3。以X， Y分别表示第一组和第二组所得的结果的算术平均值。 （1）求4.95.1PX； （2）求 0.10.1PXY 解因为()( )5E XE Y， 0.3 ()( ) 80 D XD Y （1）由中心极限定理知X近似服从(5,0.3 80)N，于是 4.9555.1 5 4.95.1 0.3 800.3 800.3 80 X PXP 0.10.1 ()() 0.06120.0612 2 (1.63) 1 2 0.9484 11.8968 10.8968 。 （2）因为()()( )0E XYE XE Y，()()( )0.3 40D XYD XD Y 由中心极限定理知XY近似服从(0,0.3 40)N，故 0.10.1 0.10.1 0.3 400.3 400.3 40 XY PXYP 0.10.1 ()() 0.3 400.3 40 0.1 2 () 1 0.087 0.1 2 () 12 (1.15) 1 0.087 2 0.8749 11.7498 10.7498 。 12、一公寓有 200 住户，一户拥有汽车数X的分布分赴为 X012 k p 0.10.60.3 问需要多少车位，才能使每辆汽车都具有一个车邻六事鬼概率至少为 0.95。 解设需要的车位数为n, 设第i（1,2,200i ）户有车辆数为 i X，则 ()0 0.1 1 0.62 0.31.2 i E X 2 ()0 0.1 1 0.64 0.31.8 i E X 222 ()()( ()1.8 1.20.36 ii D XE XE X 因为共有 200 户，各户占有车位相互独立，从而近似地有 200 1 (1.2,0.36) i i XN 所求概率为 200 1 0.95 i i PXn ， 即 200 1 200 1.2200 1.2 ()() 200 0.3672 i i nn PXn 240 ()0.95 8.49 n 查表知(1.65)0.95050.95， 令 240 1.65 8.49 n ，解得254n 由此知至少需要 254 个。 13、某电子器件的寿命（小时）具有数学期望（未知） ，方差 2 400。为了估计， 随机地取 n 只这种器件，在时刻0t 投入测试（测试是相互独立的）直到失效，测 得其寿命 12 , n XXX， 以 1 1 n i i XX n 作为的估计， 为使| 10.95PX， 问 n 至少为多少？ 解由独立同分布中心极限定理