2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一、三真题及答案（可编辑word版）.doc

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(5)设, , , ,其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为( C )(A) (B) (C) (D)答案( C )解析： 由于，可知线性相关。(6) 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且.若P=（），则 ( B )(A) (B) (C) (D) 答案( B )解析：，则，所以(7)设随机变量与相互独立，且分别服从参数为与参数为的指数分布，则( )(A) (B) (C) (D) 答案( A )解析：的联合密度函数为，则(8)将长度为的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( ) (A) (B) (C) (D)答案( D)解析：设两段长度分别为，显然，两者是线性关系，且是负相关。所以相关系数为.二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(13)设为三维单位向量，E为三阶单位矩本，则矩阵的秩为答案：2解析：矩阵的特征值为，所以的特征值为，又由于为实对称矩阵，是可以相似对角化的，故它的秩等于它的非零特征值的个数。(14)设，是随机事件，A与C互不相容，答案：解析：由条件概率的定义知，其中，故。三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(20)(本题满分 分)设（1）计算行列式 (2)当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解。解析：（1）把按第四行展开得：(2) 由可知要使方程组有无数个解，则有，所以。此时原方程组的增广矩阵可化为：，进一步化为行最简形式，由此可知导出（齐次）组的基础解系为，非齐次方程组的特解为，故其通解为。(21)(本题满分 11分)已知，二次型的秩为2（1）求实数的值； （2）求正交变换将化为标准型.解析：（1）由可知，所以；（2）此时，则二次型的矩阵为，得的特征值为：对于解得对应的特征向量为：，对于解得对应的特征向量为：，对于解得对应的特征向量为：，将，单位化可得：，。（22）（本题满分11分）设二维离散型随机变量、的概率分布为YX0120010020（）求；（）求.解析：由二维离散型随机变量、的概率分布可知：X012PY012PXY0124P0（1）（2） (23)(本题满分11 分)设随机变量与相互独立且分别服从正态分布与，其中是未知参数且。设(1)求的概率密度（2）设为来自总体的简单随机样本，求的最大似然估计量（3）证明为的无偏估计量解析：（1）因为，且与相互独立，故，所以的概率密度（2）似然函数为：（3）所以，为的无偏估计量。2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(5)设，其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为 ( )(A) (B) (C) (D) 答案( C )解析： 由于，可知线性相关。 (6)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且,若 则=( )(A) (B) (C) (D)答案( B )解析：，则，所以 (7)设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间（0.1）上的均匀分布，则 ( )(A) (B) (C) (D)答案：( D)解析：的联合密度函数为，则（由二重积分的几何含义知，此积分即为单位圆在第一象限的面积）。(8)设为来自总体（0）的简单随机样本，则位计量的分布为 ( )(A) N（0,1）(B) t(1)(C) (D) 答案：( B)解析：从形式上看，该统计量一定是t分布。具体证明：二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(13)设为3阶矩阵，为的伴随矩阵。若交换的第1行与第2行得矩阵,则答案：-27解析：.(14)设、是随机事件，与互不相容，,则答案：解析：由条件概率的定义知，其中，故。三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(20)(本题满分11 分)设，（1） 计算行列式；（2）当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解.解析：（1）把按第四行展开得：(2) 由可知要使方程组有无数个解，则有，所以。此时原方程组的增广矩阵可化为：，进一步化为行最简形式，由此可知导出（齐次）组的基础解系为，非齐次方程组的特解为，故其通解为。(21)(本题满分11 分)已知，二次型的秩为2，（1）求实数的值；（2）求正交变换将化为标准形.解析：（1）由可知，所以；（2）此时，则二次型的矩阵为，得的特征值为：对于解得对应的特征向量为：，对于解得对应的特征向量为：，对于解得对应的特征向量为：，将，单位化可得：，。（22）（本题满分11分）设二维离散型随机变量、的概率分布为0120010020（）求；（）求.解析：由二维离散型随机变量、的概率分布可知：X012PY012PXY012