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理工数学实验 理工数学实验 线性代数 基础实验1 矩阵的基本运算 基础实验2 矩阵的初等变换 基础实验3 行列式的运算 基础实验4 求解方程组 基础实验5 特征值、特征向量 专题实验1 工资问题 专题实验2 动物繁殖问题 专题实验3 作物育种方案的预测问题 专题实验4 食谱问题 理工数学实验 矩阵的基本运算 线性代数基础实验1 理工数学实验 理工数学实验 一、实验内容 矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置、逆） 二、实验目的 熟悉Mathematica软件中关于矩阵运算的各 种命令 理工数学实验 三、常用命令 1. MatrixFormA 功能：把矩阵A屏幕输入 2. TransposeA 功能：乘矩阵A的转置矩阵 3. A+B 功能：求矩阵A与B的和运算 4. A-B 功能：求矩阵A与B的减运算 5. K*A 功能：求常数K乘以矩阵A 6A*B 功能：求矩阵A与矩阵B的对应元素相乘 7. InverseA 功能：求矩阵A的逆矩阵 理工数学实验 四、例子 求：（1）屏幕输出A与B；（2）A的转置A； （3）求A+B的值；（4）求A-B的值；（5） 求4A；（6）求AB；（7）求A-1 已知矩阵 理工数学实验 In1:=A=3,1,1,2,1,2,1,2,3 MatrixFormA Out1:=3,1,1,2,1,2,1,2,3 Out2/MatrixForm= 简单操作步骤 In3:=B=1,1,-1,2,-1,0,1,0,1 MatrixFormB Out3:=1,1,-1,2,-1,0,1,0,1 Out4/MatrixForm= 四、例子 理工数学实验 In5:=TransposeA Out5:=3,2,1,1,1,2,1,2,3 In6:=X=3,2,1,1,1,2,1,2,3 MatrixFormX Out6:=3,2,1,1,1,2,1,2,3 Out7/MatrixForm= In8:=Z=A+B MatrixFormZ Out8:=4,2,0,4,0,2,2,2,4 Out9/MatrixForm= 四、例子 理工数学实验 In10:=W=A-B MatrixFormW Out10=2,0,2,0,2,2,0,2,2 Out11/MatrixForm= In12:=K=4 V=K*A MatrixFormV Out12:=4 Out13:=12,4,4,8,4,8,4,8,12 Out14/MatrixForm= In15:=U=A*B MatrixFormU Out15:=3,1,-1,4,-1,0,1,0,3 四、例子 理工数学实验 Out16/MatrixForm= In17:=P=InverseA MatrixFormP Out17:= Out18/MatrixForm= Out20:= 四、例子 理工数学实验 五、思考与练习 已知矩阵 求：（1） ； （2）-；（）*B 理工数学实验 矩阵初等变换 线性代数基础实验2 理工数学实验 理工数学实验 一、实验内容 对矩阵作各种变化,初等变换 二、实验目的 1.复习并掌握矩阵初等变换的方法 2.掌握Mathematic软件中关于矩阵初等变 换的相关命令 理工数学实验 三、常用命令 1. Ui,j或ai,j 功能：列出U=Arraya,m,n的第i行，第j列元素 . 2. Ui 功能：列出U的第i行的n个元素. 3. TransposeUj 功能：列出U的第j列的m个元素. 4. Ui1,i2,2,ip,j1,j2,jq 功能：由行i1,i2,ip和列j1,j2,jq组成的矩 阵. 5. URangei0,i1,Rangej0,j1 功能：求行从i0到i1，列从j0到j1组成的子矩阵. 6. MatrixQexpr 功能：判别expr是否为矩阵，若是则其值为True，否 则为False. 7. Dimensionexpr 功能：给出矩阵expr的维数. 理工数学实验 四、例子 已知一个3行，4列的矩阵U，它的元素为 a(i,j)； 求：(1)给1行1列元素赋值11，1行，2列 元素赋值12； (2)取U的第1行元素，以及U转置以 后的第1列元素； (3)判断x,y,z,1,2是否为矩 阵 理工数学实验 简单操作过程 In1:=a1,1=11（*给位于矩阵第1行，第1列的元素赋值*） In2:=U1,2=12（*表示给矩阵赋值，其中U1,2与a1,2 表示同一个矩阵元素） In3:=U1（*U的第1行元素*） Out3:=11,12,a1,3（*对没有赋值的a1,3按原样显示） In4:=TransposeU1（*U的第1列元素，TranspostU是 U的转置矩阵*） Out4：11,a2,1,a3,1 In5：U1,3,2,3（*取U的1,3行和2,3列组成于矩阵*） Out5:=12,a1,3,a3,2,a3,3 In8:=MatrixQx,y,z,1,2 Out8:=False（*同一矩阵中每行元素个数相同） 四、例子 理工数学实验 五、思考与练习 1已知矩阵 (1)求A的行向量组a1,a2,a3, 以及列向量组b1,b2,b3,b4 (2)求A的一，三，五行，二，三，四列交叉点上的元素做出 子矩阵 2. 判断下列向量组是否线性相关 理工数学实验 行列式运算 线性代数基础实验3 理工数学实验 理工数学实验 一、实验内容 行列式的计算 二、实验目的 1. 复习矩阵的行列式的求法，矩阵初等变 换方法. 2. 熟悉Mathematic软件中关于求一个矩阵 的行列式的命令把矩阵进行初等变换的 理工数学实验 三、常用命令 1. MatrixFormA 功能：把矩阵A屏幕输出. 2. DetA 功能：求矩阵A的行列式. 3. A.B 功能：A左乘以B或B右乘以A. 理工数学实验 四、例子 的行列式的值 . 1.求矩阵 2.已知B=，求，以及. 3.利用Cramer法则求解方程组 理工数学实验 简单操作过程 1.In1:=A=-2,5,-1,3,1,-9,13,7,3,-1,5,-5,2,8,-7,-10 MatrixFormA Out1:=-2,5,-1,3,1,-9,13,7,3,-1,5,-5,2,8,-7,-10 Out2/MatrixForm= 2.In4：B=TransposeA MatrixFormB Out4:=-2,1,3,2,5,-9,-1,8,-1,13,5,-7,3,7,-5,-10 Out5/MatrixForm= In3:=DetA Out3:=312 四、例子 理工数学实验 In6:=X=A.B MatrixFormX Out6:=39,-39,-31,13,-39,300,42,-231, -31,42,60,13,13,-231,13,217 Out7/MatrixForm= In8:=Y=B.A MatrixFormY Out8:=18,-6,16,-34,-6,171,-183,-123, 16,-183,244,133,-34,-123,133,183 Out9/MatrixForm= 四、例子 理工数学实验 3.In10:=a=2,1,-5,1,1,4,-7,6,1,-3,0,-6,0,2,-1,2 MatrixForma Deta Out10:=2,1,-5,1,1,4,-7,6,1,-3,0,-6,0,2,-1,2 Out11/MatrixForm= Out12:=27 In13：d1=8,1,-5,1,0,4,-7,6,9,-3,0,-6,-5,2,-1,2 MatrixFormd1 Detd1 Out13:=8,1,-5,1,0,4,-7,6,9,-3,0,-6,-5,2,-1,2 Out14/MatrixForm= 四、例子 理工数学实验 Out15:=81 In16:=d2=2,8,-5,1,1,0,-7,6,1,9,0,-6,0,-5,-1,2 MatrixFormd2 Detd2 Out16:=2,8,-5,1,1,0,-7,6,1,9,0,-6,0,-5,-1,2 Out17/MatrixForm= Out18:=-108 In19:=d3=2,1,8,1,1,4,0,6,1,-3,9,-6,0,2,-5,2 MatrixFormd3 Detd3 Out19:=2,1,8,1,1,4,0,6,1,-3,9,-6,0,2,-5,2 Out20/MatrixForm= 四、例子 理工数学实验 Out21:=-27 In22:=d4=2,1,-5,8,1,4,-7,0,1,-3,0,9,0,2,-3,-5 MatrixFormd4 Detd4 Out22:=2,1,-5,8,1,4,-7,0,1,-3,0,9,0,2,-3,-5 Out23/MatrixForm= Out24:=41 In25：x1=Detd1/Deta Out25:=3 In26:=x2=Detd2/Deta Out26:=-4 In27:=x3=Detd3/Deta Out27:=-1 In28:=x4=Detd4/Deta Out28:= 四、例子 理工数学实验 五、思考与练习 2.利用克莱姆法则求解下列线性方程组 1求行列式 (共10阶)的值 (1) (2) 理工数学实验 2.已知， 验证：=. 五、思考与练习 理工数学实验 求解方程组 线性代数基础实验4 理工数学实验 理工数学实验 一、实验内容 求AX=B的通解 二、实验目的 通过本实验,使学生认识到虽然在线性 代数中求AX=B的通解比较繁，但在 Mathematica软件中却是比较简单 的 理工数学实验 三、常用命令 (1) RowReduceA 功能：作行的线性组合化简A，A为m行，n 列矩阵. (2) LinearsolveA,B 功能：计算满足AX=B的一个解，A为方阵. (3) NullspaceA 功能：计算方程组AX=0的基础解系的向量 表，A为方阵. 理工数学实验 四、例子 1. 已知 计算A的秩，并计算AX=0的基础解系. 2. 解方程组 理工数学实验 简单操作过程 1.In1:=A=1,1,1,1,1,0,-1,1,3,1,-1,3,3,2,1,3； In2:=RowReduceA Out2:=1,0,-1,1,0,1,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0 （*显然，A的秩是2*） In3:=NullSpaceA Out3:=-1,0,0,1,1,-2,1，0（*A的两个线性无关解*） 2.In4:=M=1,-3,-1,1,3,-1,-3,4,1,5,-9,-8； In5:=B=1,4,6； In6:=LinearSolveM.B Out6:= （*方程组MX=B的一个特解*） In7:=NullSpaceM Out7:= （*解向量组成一个矩阵，M只有一个解*） 四、例子 理工数学实验 In8:=x=c%1+% （*x为MX=B的全部解*） Out8:= （*c为任意实数*） 四、例子 理工数学实验 五、思考与练习 1.求下列矩阵的秩: (1) （2） 2.解下列线性方程组: (1) （2） 理工数学实验 特征值、特征向量 线性代数基础实验5 理工数学实验 理工数学实验 一、实验内容 计算已知矩阵的特征值和属于每一个特征值 的特征向量 二、实验目的 1.复习线代中的特征值与特征向量的求法. 2.比较Mathematic软件与普通方法的异同 之处. 理工数学实验 三、常用命令 (1) EigenvaluesA 功能：求矩阵A的特征值表. (2) EigenvectorsA 功能：求矩阵A的特征向量表. (3) EigensystemA 功能：求A的所有特征值，特征向量组成的表. 理工数学实验 四、例子 已知矩阵， 求(1)矩阵A的特征值表； (2)求矩阵A的特征向量表； (3)求A的所有特征值，特征向量组成的表. 理工数学实验 简单操作过程 1.In1:=A=1,2,1,0,4,2； In2:=A=EigenvaluesA Out2:=0,2,3 2.In3:=EigenvectorsA Out3:=0,-1,2,1,0,1,3,1,4 3.In4:=EigensystemA Out4:=0,2,3,0,-1,2,1,0,1,3,1,4 四、例子 理工数学实验 五、思考与练习 求出下列矩阵的全部特征值与特征向量: 1. 2. 3. 理工数学实验 工资问题 线性代数专题实验1 理工数学实验 理工数学实验 一、实验内容 现有一个木工，一个电工和一个油漆工，三人相互同意彼此装修他们自 己的房子，在装修之前，他们达成了如下协议：（1）每人总共工作10 天（包括给自己家干活在内）；（2）每人的日工资根据一般的市价 6080元之间；（3）每人的日工资数应使得每人的总收入与总支出相等 表1是他们协商后制定出的工作天数的分配方案，如何计算出他们每 人应得的工资？ 表1 工种 天数 木工电工油漆工 在木工家的工作天数216 在电工家的工作天数 451 在油漆工家的工作天数 443 理工数学实验 二、实验目的 从实际问题出发，建立线性代数方程组，应用求齐次方程组 通解方法，寻求符合实际情况的答案 三、预备知识 线性代数方程组理论，齐次方程组有非零解的条件及基础解 系求解的方法 理工数学实验 四、实验内容与要求 1建立线性代数方程组描述问题，以x1表示木工的 日工资；x2表示电工的日工资；x3表示油漆工的日工 资根据协议中每人总支出与总收入相等的原则，分 别考虑木工、电工及油漆工的总收入和总支出，木工 的日工资为x1，则木工的10个工作日总收入为10x1， 而木工、电工及油漆工三人在木工家工作的天数分别 为：2天，1天，6天，则木工的总支出为2x1+x2+6x3 于是木工的收支平衡关系可描述为：2x1+x2+6x3=10x1 依照上面木工收支平衡关系建立的过程，试建立描 述电工，油漆工各自的收支平衡关系的另外两个等式 ，以补充完善成描述实际问题的三个方程的方程组 理工数学实验 2整理描述收支平衡关系的三个等式为三元一次齐次线性方程组， 写出齐次方程组的系数矩阵如下： 3在Matlab环境下输入A，键入 其中aij为矩阵A的元素具体数据利用RowReduceA求解线性方程组的解 ， 四、实验内容与要求 4若你所填写上面A的的第一行第三列元素数据为a13，第二行第三列元 素为a23根据齐次方程组基础解系的理论，在（2）中的列出齐次方程组的 通解可以表示为 其中k为任意实数 最后，请你选择适当的k以确定木工、电工及油漆工每人每天的日工 资6080元 理工数学实验 五、练习内容 考虑有一个木工，一个电工，一个油漆工，以及一个 装修工四人相互同意彼此装修他们自己的房子在装 修之前，他们约定每人总共工作13天（包括给自己家 干活在内）；每人的日工资根据一般的市价不超过100 元；每人的日工资数应使得每人的总收入与总支出相 等请为他们制定出一张工作天数的分配方案表，并 根据分配方案表确定他们的日工资 理工数学实验 动物繁殖问题 线性代数专题实验2 理工数学实验 理工数学实验 一、实验内容 某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将 其分成三个年龄组：第一组，05岁；第二组，610岁；第 三组，1115岁，动物从第二年龄组起开始繁殖后代，经过 长期统计，第二年龄组的动物在其年龄平均繁殖4个后代， 第三年龄组的动物在其年龄段平均繁殖3个后代第一年龄 组和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分 别为1/2和1/4假设农场现有三个年龄段的动物各1000头， 问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？ 理工数学实验 二、实验目的 巩固线性代数的有关知识，培养学生用矩阵知识解 决实际问题的能力 三、预备知识 线性代数的矩阵知识 理工数学实验 四、实验内容与要求 1.建立动物各年龄段数量预测模型 2.利用所建模型，用数学软件计算15年后各年龄段动 物数量 理工数学实验 1.研究本问题中当时间无限长时各年龄段动物数量比 例的极限状况 2.将此模型推广到研究关于年龄分布的人口预测模型 五、思考问题 理工数学实验 作物育种方案的预测问题 线性代数专题实验3 理工数学实验 理工数学实验 一、实验内容 假定一个植物园要培育一片作物，它由三种可能基因型AA、Aa及aa的某 种分布组成，植物园的管理者要求采用的育种方案是：子代总体中的每 种作物总是用基因型AA的作物来授粉，子代的基因型的分布如表1问 ：在任何一个子代总体中三种可能基因型的分布表达式如何表示？ 表1 亲代的基因型 子代 的基 因型 理工数学实验 二、实验目的 通过本实验进一步巩固“线性代数”中关于矩阵特征值、特征向量 及矩阵对角化的知识，培养学生把实际问题转化为数学问题来求解的能 力 三、预备知识 1.特征值、特征向量的概述 2.特征值、特征向量的解法 3.生物遗传规律 若亲代的基因型为AA、Aa及aa（其中A为显性基因，a为隐性基因） ，而产生子代时，都用AA型亲代去配对，则子代的基因型就有如下分布： AA与AA配对，子代中只有AA型 AA与Aa配对，子代中有AA、Aa两种基因型，且出现的概率都为1/2 AA与aa配对，子代中只有Aa型 4.在实际计算中，我们采用数值计算方法，这类计算方法有很多， 如幂法，雅可比方法等，Mathmatica软件提供了现成的软件包： 函数EigenvaluesA该函数的结果为矩阵A的特征值组成的表 函数EigenvectorsA该函数的结果为矩阵A的特征向量组成的表 理工数学实验 四、实验内容与要求 1.建立第n代基因型的分布表达式 本实验是利用遗传规律及所给的表，写出第n代和第n1 代的基因关系，然后通过矩阵知识，找到第n代基因型与 初始基因型的直接关系，最后由初始基因型求第n代基因 型的分布表达式 不妨令an，bn，cn分别表示在第n代中AA，Aa，aa基因作物 所占的分数；a0，b0，c0表示对应基因型的初始分布，则 有 理工数学实验 四、实验内容与要求 由上递推式可求出an，bn，cn与a0，b0，c0的关系 2.利用矩阵的特征值，特征向量的知识 3.编写Mathematica程序 理工数学实验 假设一片作物是由AA、Aa及aa基因型的某种分布组成， 且作物总体中每种作物不是全部都用基因型AA授粉，而 是用每种作物自身的基因型来授粉求任何一个后代总 体中三种可能基因型的分布表达式 五、思考问题 理工数学实验 食谱问题 线性代数专题实验4 理工数学实验 理工数学实验 一、实验内容 某公司饲养实验用的动物以供出售，已知这些动物的生 长对饲料中三种营养成分：蛋白质、矿物质、维生素特别敏 感，每个动物每天至少需要蛋白质70g，矿物质3g，维生维 10mg，该公司能买到5种不同的饲料，每种饲料1kg所含营养 成分如表1所示，每种饲料1kg的成本如表2所示。 求既能 满足动物生长需要，又使总成本最低的饲料配方。 理工数学实验 表2 五种饲料单位重量(1kg)成本 饲料A1A2A3A4A5 成本（元） 表1 五种饲料单位重量(1kg)所含营养成分 饲料蛋白质(g) 矿物质(g) 维生素(mg) A1 A2 A3 A4 A5 一、实验内容 理工数学实验 二、问题分析 模型评述 设有n种食物，每种食物中含有m种营养成分.用aij表示一个单位的第j种食 物中含有第i种营养的数量，用bi表示每人每天对第i种营养的最低需求量，cj表 示第j种食品的单价，xj表示所用的第j种食品的数量，一方面满足m种营养成分 的需要同时使事物的总成本最低. 一般的食谱问题的线性规划模型为 设 表示混合饲料中所含的第种饲料的数量.由于提供的蛋 白质总数必须满足每天的最低需求量70g，故应有 理