数学基础知识与典型例题复习.doc

数学基础知识与典型例题第5章平面向量平面向量相关知识关系表向量的概念及运算一、向量的有关概念1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).2.向量的表示方法:字母表示法:如等.几何表示法:用一条有向线段表示向量.如,等.坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量的起点O为在坐标原点,终点A坐标为,则称为的坐标,记为=.注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量与相等,记为.注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:与任一向量共线.注:共线向量又称为平行向量.7.相反向量: 长度相等且方向相反的向量.二、向量的运算(一)运算定义向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积,这些运算的定义都是 “自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义. 向量的概念及运算其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化. 刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运 算图形语言符号语言坐标语言加法与减法+=记=(x1,y1),=(x1,y2)则=(x1+x2,y1+y2)=（x2-x1,y2-y1）+=实数与向量的乘积=R记=(x,y)则=(x,y)两个向量的数量积记则=x1x2+y1y2(二)运算律加法：(交换律); (结合律)实数与向量的乘积：; ;两个向量的数量积: =; ()=()=();(+)=+注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如()2=(三)运算性质及重要结论平面向量基本定理:如果是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量,有且只有一对实数,使，称为的线性组合。其中叫做表示这一平面内所有向量的基底;平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.这说明如果且,那么.当基底是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.向量的概念及运算向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则=(x2-x1,y2-y1)两个向量平行的充要条件符号语言：坐标语言为：设非零向量,则(x1,y1)=(x2,y2)，即,或x1y2-x2y1=0, 在这里,实数是唯一存在的,当与同向时,0；当与异向时,0。|=,的大小由及的大小确定。因此,当,确定时，的符号与大小就确定了.这就是实数乘向量中的几何意义。两个向量垂直的充要条件符号语言：坐标语言：设非零向量，则两个向量数量积的重要性质： 即 (求线段的长度);(垂直的判断); (求角度)。以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值.注:两向量,的数量积运算结果是一个数(其中),这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关. 叫做向量在方向上的投影（如图）.数量积的几何意义是数量积等于的模与在方向上的投影的积.如果,则=,这就是平面内两点间的距离公式.向量的概念及运算例1在中，（ ） 例2.平面内三点,若，则x的值为()(A)-5 (B)-1 (C)1 (D)5向量的概念及运算例3. 设， 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：()()=0|-|2c”成立的一个充分条件是（ ）(A)ac或bc (B)ac且bc且bc (D)ac或bb,下列式子中; a3b3;, 正确的有( )(A)1个 (B)2个(C)3个 (D)4个例3.的大小关系为 .例4. 设,且则与的大小关系是 .例5. 已知满足, 试求的取值范围.重要不等式1.定理1：如果a,bx|x是正实数，那么（当且仅当a=b时取“=”号）.注:该不等式可推出:当a、b为正数时,（当且仅当a = b时取“=”号）即:平方平均数算术平均数几何平均数调和平均数2.含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）： 由可推出(,);如果a,b,cx|x是正实数，那么.（当且仅当a=b=c时取“=”号）3.绝对值不等式：注：均值不等式可以用来求最值(积定和小，和定积大),但特别要注意条件的满足：一正、二定、三相等.例6.“a0且b0”是“”的( )(A)充分而非必要条件 (B)必要而非充要条件(C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件例7. 若, A, G,H，其中R+，则A，G，H的大小关系是( )（A）AGH （B）AHG（C）HGA （D）GHA例8.若,且，那么有最小值（ ）(A)6 (B)9 (C)4 (D)3例9. 不等式的最大值是（ ）(A)(B)(C)(D)例10. 若a +b +c = 3，且a、b、cR+，则的最小值为 .不等式解法解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。一元一次不等式和一元二次不等式是最简单的不等式.其它不等式，如高次不等式、分式不等式、无理不等式、指数和对数不等式、绝对值不等式、含有字母系数的不等式等，一般都转化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来解。解不等式时，要注意不等式的同解原理和变形过程的等价性的正确运用，对各类不等式要掌握它的特点，变形过程的程序性和特殊性，注意归纳解各类不等式的思路和方法。（1）高次不等式若可以分解成几个含x的一次因式，可用列表法或数轴标根法来解。（2）分式不等式要正确运用以下同解原理。（3）无理不等式: 将无理不等式变形为与它同解的不等式组。不等式的同解不等式组是不等式的同解不等式组是（4）指数、对数不等式指数不等式的同解不等式：当时，为；当时，为.例11.若关于的不等式的解集是,则等于( ) 例12.不等式的解集是( ) 例13. 不等式的解集是（ ） 例14. 不等式的解集是( )(A) (B)或(C) (D)或不等式解法对数不等式的同解不等式：当时，为;当时，为因此，在解指数、对数不等式时，首先要注意利用对数的性质化为同底不等式.（5）绝对值不等式解绝对值不等式关键是化为等价的不含绝对值符号的不等式（组），主要方法：对含有几个绝对值符号的不等式，用分区间的方法化为等价的不含绝对值的不等式组。注:绝对值的几何意义: 表示数轴上的数对应的点与原点的距离.表示数轴上的数对应的点与数对应的点的距离.（6）含字母系数的不等式对上述各类不等式，都可能涉及到不等式中的字母系数，解不等式时，对字母的取值要进行恰当的分类，分类时要不重、不漏，然后根据分类进行求解。注: 解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等式的变形”，是研究数学的基本手段之一。例15.不等式的解集是_.例16. 解不等式例17. 解关于x的不等式不等式的证明不等式的证明1.证明不等式的基本依据：（1）实数大小的比较原则；（2）不等式的性质；（3）几个重要不等式，特别是算术几何平均值不等式（4）已知函数的增减性；（5）实系数一元二次方程的根的判别式.例18. 已知xR，求证：20ab，欲证ab只需证ab0；作商比较，要点是：作商变形判断。这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式”的符号一定。当b0时，ab1。比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有时根据题设可转化为等价问题的比较（如幂、方根等）。分析法：就是不断寻找并简化欲证不等式成立的充分条件，到一个明显或易证其成立的充分条件为止。对于思路不明显，感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径。这种方法的实质是“充分条件”的化简。 分析法证明不等式的逻辑关系是：.分析法的思维特点是：执果索因综合法：就是从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形（恒等变形或不等变形）推导出要求证明的不等式。用综合法证明不等式的关键是适当选择一个已知的不等式，从此出发推出所证结果，怎样选择已知的不等式就适当呢？一般有两条途径。（1）从分析法找思路，（2）从“重要不等式”，特别是平均值不等式找思路。用综合法证明不等式的逻辑关系是：.综合法的思维特点是：由因导果放缩法若证明“AB”，我们先证明“AC”，然后再证明“CB”，则“AB”。例19. 若求证:.例20. 设,且,求证:例21. 设 用放缩法证明:.不等式的证明用数学归纳法证明不等式:有关自然数的命题，（当然这里是不等式）可用数学归纳法证明。有关自然数的命题成立的条件有二：一是它必需具备特殊性，二是它必需具备递推性。数学归纳法就是证明有关自然数的命题具有上述两条性质，从而确定其正确性。用代数方法证明不等式是考查思维能力的重要内容，但随着对思维能力考查的力度的增加，运用多种方法证明不等式和综合代数、三角等的有关内容而产生的有关不等式证明的综合问题应充分重视。熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法（比较法、分析法、综合性、反证法、数学归纳法），以及运用放缩、增量、构造（函数或不等式）、判别式等方法。例22. 已知ABC的三边长是a，b，c，且m为正数，求证: .不等式的应用不等式的应用不等式是研究方程、函数的重要工具，在历年高考题中，多次用到不等式解决函数的定义域、值域、最大值或最小值，函数的单调性以及用不等式讨论方程中根与系数的关系，运用不等式去解决有关应用问题。例23.建造一个容积为18m3,深为2m的长方形无盖水池,如果池底和池壁每m2的造价分别是200元和150元,那么池的最低造价为_元.例24. 甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点.甲有一半时间以速度行走,另一半时间以速度行走;乙有一半路程以速度行走,另一半路程以速度行走.如果,甲、乙两人谁先到达指定地点.数学基础知识与典型例题(第六章不等式)答案例1.C 例2. B 例3. 例4. n3+1n2+n例5.提示:把“”、“”看成一个整体.解:=又,的取值范围是例6. A 例7.A 例8.B例9. B 例10. 例11.B例12.D 例13. C 例14.D例15.例16. 解：原不等式等价于情形1 当x0时，上述不等式组变成解得：情形2 当x0时，；当a=0时，；当a0时，.例18. 证明:令y=，去分母，整理得(y2)x2+(2y)x+y+1=0.当y2时，要方程有实数解，须=(2y)24(y2)(y+1)0 得2y2，又y2 2y2;当y=2时,代入(y2)x2+(2y)x+y+1=0中,得3=0，矛盾.综上所述, 2y0) = 1在(0, + )上单调递增，且在ABC中有a + b c0， f(a + b)f(c)，即 。 又 a，b R*， + = ， .法二:分析法证明:要证，只要证a(b + m)(c + m) + b(a + m)(c + m)c(a + m)(b + m)0，即abc + abm + acm + am2 + abc + abm + bcm + bm2abcacmbcmcm20，即abc + 2abm + (a + bc)m20，由于a,b,c为ABC的边长，m0，故有a + b c，即(a + bc)m20。所以abc + 2abm + (a + bc)m20是成立的，因此 .例23.5400, 例24.答案见2005-7-30高中数学第二册(上)第13页例46、当你发现有“非凡天赋”,就“疯狂地造梦”吧！Thinkgreatthoughtsandyouwillbegreat!伟大的理想，会让你变得伟大！一个人的梦想有多么伟大，他就有多么伟大！伟大的目标，即使吹起牛来都很爽！所以，目标一定要远大！你人生才会过得充实而干劲十足！我在这十多年疯狂英语的奋斗路上，我发现一个真理：“人的潜能无限！相信自己，就能创造奇迹；怀疑自己，人生就会在可怜、悲惨中度过！”每个人其实都是一座宝藏！“相信自己”是人生最重要的品格，“Ican”是家庭给孩子最宝贵的财富。而可悲的是，大多数的父母并没有给自己孩子这把“最重要的钥匙”，因为他们的父母，和他们所处的时代，也没有给他们这把钥匙。我们太多人，就像是在黑暗中苦苦摸索，当我们发现有这把钥匙的时候，已经年过30岁了其实，成功根本不用等到30！10岁、20岁就可以很成功！而“相信自己”就是人生最大的成功源头。在此，我非常急切地想与大家分享一个“18岁就成功的故事”，告诉你如果发现自己有“非凡天赋”时,就疯狂地造梦想吧，从此，你就会自发地苦练，并为自己的家庭带来梦中渴求的一切。在丁俊晖8岁时，父亲送给他一件特别的礼物一支台球杆。他很快发现：儿子在台球桌上有非凡的天赋，两年下来，已经打遍当地无敌手。有一次，爸爸让小俊晖与台球名将亨得利一起合影照相，没想到他却口吐狂言：“我跟他照什么相，我以后把球打好了，别人找我照相还差不多，总有一天我要战胜他。”看到儿子有如此雄心大志，父亲做出了一个惊人的决定：卖掉家乡的房子，辞去工作，全家搬迁到陌生的广东东莞，让儿子专心学习台球，成为职业台球手。为了节省开销，他们没有租住球馆宿舍，只是在宿舍走道的尽头蹭了张床，木板隔出一个6平方米的空间，全家三口只睡一张单人床。隔板外，是宿舍楼公厕，闷热、蚊虫叮咬、厕所异味竟然令13岁的丁俊晖含泪向父母发誓：一定要用球杆，为他们打回一套房子！从此，他把台球当成了自己一辈子奋斗的职业。丁俊晖练球常常进入到痴迷的状态，整天与台球为伴，很快，父亲送给他的台球杆被练断了。修理后又接着打，不久又断了反反复复，一支杆要打断6、7次，变得不能再打了，才换新球杆。即使这样，他父亲还时刻提醒、监督他，有时刚吃完饭，丁俊晖在一边坐着休息的时间稍长一点，父亲就过来催促：“你去房间练球吧，空调已帮你开好了。”他父亲说：“人做事一定要坚定，做一件事就要把它做好，如果连这点精神和承担失败的勇气都没有，做其他事也不可能成功！人活着就要轰轰烈烈，在有生之年做些事，但我不会强加给他没兴趣的东西做。我坚信我儿子是5000年才出一个的神童！”也许，是先有了伟大的丁俊晖父亲，才有了18岁成为世界级台球冠军的丁俊晖。现在丁俊晖已经在老家买了新房，他实现了当初许下的用球杆为父母挣回一套房的承诺！用手中的球杆，兑现了夺得世界冠军的诺言！所以，伟大的梦想造就伟大的人生！Greatdreamsmakegreatmen!目标定得小，成绩就小。有大志才会有大成就！Thinklittlegoalsandexpectlittleachievements.Thinkbiggoalsandwinbigsuccess!数学基础知识与典型例题第七章直线和圆的方程直线和圆的方程知识关系直线的方程一、直线的倾斜角和斜率1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时,其倾斜角为,故直线倾斜角的范围是.2.直线的斜率:倾斜角不是的直线其倾斜角的正切叫这条直线的斜率,即.注：每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.当时，直线垂直于轴，它的斜率k不存在.过两点、的直线斜率公式二、直线方程的五种形式及适用条件 名称方程说明适用条件斜截式y=kx+bk斜率b纵截距倾斜角为90的直线不能用此式点斜式y-y0=k(x-x0)(x0，y0)直线上已知点，k 斜率倾斜角为90的直线不能用此式两点式=(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式+=1a直线的横截距b直线的纵截距过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式Ax+By+C=0(A、B不全为零)A、B不能同时为零直线的方程注:确定直线方程需要有两个互相独立的条件,通常用待定系数法;确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.直线是平面几何的基本图形，它与方程中的二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B20）是一一对应的.直线的方程例1. 过点和的直线的斜率等于1, 则的值为( )(A) (B) (C)1或3 (D)1或4例2. 若, 则直线2cos3y1=0的倾斜角的取值范围（ ）(A) (B) (C) (0,) (D) 例3. 直线的倾斜角是（ ）（A） （B） （C） （D）例4. 连接和两点的直线斜率为_,与y轴的交点P的坐标为_.例5. 以点为端点的线段的中垂线的方程是 .两直线的位置关系一、两直线的位置关系1. 两直线平行:斜率存在且不重合的两条直线l1y=k1x+b1， l2y=k2x+b2，则l1l2k1=k2;两条不重合直线的倾斜角为,则.2.两直线垂直:斜率存在的两条直线l1y=k1x+b1,l2y=k2x+b2,则l1l2k1k2= -1;两直线l1A1x+B1y+C1=0，l2A2x+B2y+C2=0，则l1l2A1A2+B1B2 = 03. “到角”与“夹角”:直线到的角（方向角）；直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是.注:当两直线的斜率k1,k2都存在且k1k2-1时,;当直线的斜率不存在时,可结合图形判断.例6. 将直线绕着它与轴的交点逆时针旋转的角后，在轴上的截距是( )(A) (B) (C) (D) 例7. 将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点(2，0)与点(2，4)重合，若点（7，3）与点（m ,n）重合，则m+n的值为()(A)4 (B)4(C)10 (D)10例8. 与直线平行且过点的直线的方程是_。例9. 已知二直线和，若，在y轴上的截距为-1，则m=_，n=_.两直线的位置关系两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是,当两直线的斜率k1，k2都存在且k1k2-1时，则有.4.距离公式。已知一点P(x0，y0)及一条直线l：Ax+By+C=0，则点P到直线l的距离d=；两平行直线l1:Ax+By+C1=0， l2:Ax+By+C2=0之间的距离d=。5.当直线位置不确定时，直线对应的方程中含有参数.含参数方程中有两种特殊情形，它们的对应的直线是有规律的，即旋转直线系和平行直线系.在点斜式方程y-y0=k(x-x0)中，当（x0，y0）确定，k变化时，该方程表示过定点（x0，y0）的旋转直线系，当k确定，(x0，y0)变化时，该方程表示平行直线系.已知直线l：Ax+By+C=0，则方程Ax+By+m=0（m为参数）表示与l平行的直线系；方程-Bx+Ay+n=0（n为参数）表示与l垂直的直线系。已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，直线l2：A2x+B2y+C2=0，则方程A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0表示过l1与l2交点的直线系（不含l2）掌握含参数方程的几何意义是某种直线系，有时可以优化解题思路.例10. 经过两直线11x3y90与12xy190的交点，且过点(3,-2)的直线方程为_.例11. 已知ABC中，A（2，-1），B（4，3），C（3，-2），求：BC边上的高所在直线方程；AB边中垂线方程；A平分线所在直线方程.例12. 已知定点P（6，4）与定直线l1：y=4x，过P点的直线l与l1交于第一象限Q点，与x轴正半轴交于点M，求使OQM面积最小的直线l方程.简单的线性规划线性规划当点P(x0，y0)在直线Ax+By+C=0上时，其坐标满足方程Ax0+By0+C=0；当P不在直线Ax+By+C=0上时，Ax0+By0+C0，即Ax0+By0+C0或Ax0+By0+C0（或0）,圆心坐标为（-，-），半径为r=.圆的参数方程：(x-a)2+(y-b)2=r2（r0）的参数方程为:（为参数,表示旋转角），参数式常用来表示圆周上的点。注: 确定圆的方程需要有三个互相独立的条件, 通常也用待定系数法;圆的方程有三种形式，注意各种形式中各量的几何意义,使用时常数形结合充分运用圆的平面几何知识.圆的直径式方程： ,其中是圆的一条直径的两个端点.（用向量可推导）.二、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交，判定方法有两种：代数法：直线：Ax+By+C=0，圆：x2+y2+Dx+Ey+F=0，联立得方程组一元二次方程（2）几何法：直线:Ax+By+C=0，圆：(x-a)2+(y-b)2=r2，圆心（a，b）到直线的距离为d=，则三、圆和圆的位置关系：设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|为圆心距，则两圆位置关系如下：|O1O2|r1+r2两圆外离；|O1O2|=r1+r2两圆外切；| r1-r2|O1O2| r1+r2两圆相交；| O1O2 |=| r1-r2|两圆内切；0| O1O2|0，m0 x0-10 令x0-1=t，则t0,40当且仅当t=1，x0=11时，等号成立,此时Q（11，44），直线l：x+y-10=0评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数的函数关系式，再由基本不等式再