单位力法与超静定.ppt

河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 * * 材料力学 第12章 能量法与超静定问题 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 第十二章 能量法与超静定问题 12-1 概述 12-2 杆件变形能的计算 12-3 单位荷载法 12-4 能量法解超静定问题 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 12-1 概述 一、能量方法 二、基本原理 能量法是求位移的普遍方法，可以求结构上任意点沿任意 方向的位移。 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 12-2 杆件变形能的计算 1、轴向拉压的变形能能 2、扭转杆内的变形能 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 纯弯曲 横力弯曲 3、 弯曲变形的变形能 MM e e MM e e MM e e MM e e 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 4、组合变形的变形能 二、变形能的普遍表达式 克拉贝隆原理（只限于线性结构） F-广义力 包括力和力偶 -广义位移 包括线位移和角位移 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 12-3 单位荷载法 莫尔定理 一、莫尔定理的推导 求任意点A的位移 f A F1F2 A 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 A 变形能为 A F1F2 =1F0 A F1F2 fA F F0 0 =1=1 1、先在A点作用单位 力F0 ，再作用F1, F2力， 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 2 2、三个力同时作用时时 任意截面的弯矩任意截面的弯矩： 变形能：变形能： 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 (Mohr(Mohr积分积分) ) 二、普遍形式的莫尔定理 注意：上式中应看成广义位移，把单位力看成与广义位移相 对应的广义力. 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 B 例题1 图示外伸梁，其抗弯刚度为 EI. 用单位载荷法求 C 点 的挠度和转角. AC q F=qa a2a 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 BAA BC a2a 1 解：解： x ABAB: : （1）求截面的挠度（在 c 处加一单位力“1”） C q F=qa a2aRA x 1/2 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 BC:BC: BAA BC a2a C q F=qa a2aRA1/2 xx 1 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 BA BCBC: : ABAB: : (2) (2) 求 C C 截面的转角 ( 在 c c 处加一单位力偶） 1 xx AB C a2a x C q F=qa a2aRA x 1/2a （ ） 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 例题2 图示为一水平面内的曲杆，B 处为一刚性节点, ABC=90 在 C 处承受竖直力 F，设两杆的抗弯刚度和抗扭刚度分别是 EI 和 GIp ，求 C 点竖向的位移. A B C F a b 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 xx 解：在 C C点点加竖向单位力力 BCBC: : A B C F a b A B C 1 1 a b x x ABAB: : 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 xxA B C F a b A B C 1 1 a b x x 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 例题3 刚架受力如图，求A截面的垂直位移，水平位移及转角 . A B C ll q 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 ABAB： BCBC： 解：求A点铅垂位移（在A点加竖向单位力） x x x x A B C ll q A B C ll 1 1 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 求A点水平位移（在A点加水平单位力） ABAB： BCBC： x x x x A B C ll q A B C ll 1 1 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 x x 求A点的转角（在A点加一单位力偶） ABAB： BCBC： x x A B C ll q A B C ll 1 （ ） 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 例题4 计算图（a）所示开口圆环在 P力作用下切口的张开量 AB . EI=常数. B A O R F F (a) 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 B A R P F B A R P 1 解：解： OO 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 例题例题5 5 图示为一简单桁架，其各杆的图示为一简单桁架，其各杆的EIEI相等相等. . 在图示荷载作在图示荷载作 用下，用下， A A，C C 两节点间的相对位移两节点间的相对位移. . F a a F AB C DE 13 2 4 5 67 8 9 a 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 F a a AB C DE 13 2 4 5 67 8 9 a F a a F AB C DE 13 2 4 5 67 8 9 a 桁架求位移的单位荷载法为桁架求位移的单位荷载法为 1 1 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 杆件编号杆件编号 9 9 0 0 - -F F - -F F - -F F F F - - 2 2F F 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 a a a a a a a a a a a a a a 0 0 2 2FaFa 0 0 0 0 0 0 0 0 A A，C C 两点间的距离缩短两点间的距离缩短. . 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 14-214-2 用力法解静不定结构用力法解静不定结构 A A B B l X X1 1 (1)去掉多余约束代之约束反 力，得基本静定系 X X1 1 为多余反力 例题6 如图所示，梁EI为常数，试求支座反力. q q A A q q B B (2) (2) 变形条件： B B点的 挠度为 (a) 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 若用 11 表示沿X1方向的单位力在其作点引起的X1方向的位移 由于X X 1 1 作用， B B点的沿X X 1 1 方向位移是 1111 的 X X 1 1 倍 利用上式解出 X X1 1 A A q q B B (a)式成为力法正则方程 1 1 A A q q B B 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 (3) 用莫尔定理求 1F X X1 1 A A q q B B q q A A B B x x 1 1 A A B B x x 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 1 1 (4) 用莫尔定理求 11 1 1 A A B B A A B B x x x x 于是 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 例题例题7 7 轴线为四分之一圆周的曲杆轴线为四分之一圆周的曲杆A A端固定，端固定，B B端铰支（图端铰支（图a).a). 在在F F作用下，试求曲杆的弯矩图作用下，试求曲杆的弯矩图. . 设曲杆横截面尺寸远小于轴设曲杆横截面尺寸远小于轴 线半径，可以借用计算直杆变形的公式线半径，可以借用计算直杆变形的公式. . /4/4 /4/4 A A B B a a F F 解：曲杆为一次超静定，解除多与支座解：曲杆为一次超静定，解除多与支座B B，得到，得到A A端固定、端固定、B B 端为自由端的基本静定系，多余约束力为端为自由端的基本静定系，多余约束力为X X 1 1 （图（图b).b). (a)(a) /4/4 A A B B F F X X1 1 (b)(b) 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 当基本静定系上只作用外载荷当基本静定系上只作用外载荷F F时（图时（图c)c)， 弯矩为弯矩为 当在当在B B点沿点沿X1X1方向作用一单位力时（图方向作用一单位力时（图d)d)， 弯矩方程为弯矩方程为 1 1 a a A A B B F F (c)(c) A A B B (d)(d) 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 应用莫尔积分，并设曲杆的应用莫尔积分，并设曲杆的EIEI为常量，为常量， 将将 1 1F F 和和 1111代入 代入 解得解得 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 曲杆任一横截面上的弯矩曲杆任一横截面上的弯矩 /4/4 /4/4 A A B B a a F F /4/4 A A B B a a F F (e)(e) 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 例题例题8 8 计算图计算图(a)(a)中所示桁架各杆的内力中所示桁架各杆的内力. . 设各杆的材料相同，设各杆的材料相同， 横截面面积相等横截面面积相等. . 解：桁架内部有一个多余约束，所以各杆的内力确是超静定的解：桁架内部有一个多余约束，所以各杆的内力确是超静定的. . 以杆件以杆件4 4为多余约束，假想的把它切开，并代之以多余约束力为多余约束，假想的把它切开，并代之以多余约束力 X X1 1 ，得到图，得到图(b)(b)所示的相当系统所示的相当系统. . a 4 4 3 3 5 5 1 1 2 2 6 6 a F F X X1 1X X1 1 (a)(a) 4 4 3 3 5 5 1 1 2 2 6 6 F F (b)(b) 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 1 1F F 表示杆表示杆4 4切口两侧截面因载荷而引起的沿切口两侧截面因载荷而引起的沿X X 1 1 方向的相对位方向的相对位 移；移； 1111表示切口两侧截面因单位力而引起的沿 表示切口两侧截面因单位力而引起的沿X X 1 1 方向的相对方向的相对 位移（图位移（图d). d). 力法正则方程力法正则方程 1 1 1 1 4 4 3 3 5 5 1 1 2 2 6 6 4 4 3 3 5 5 1 1 2 2 6 6 F F (c)(c) (d)(d) 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 由图由图(c)(c)求出基本静定系在求出基本静定系在F F作用下各杆的内力作用下各杆的内力F F N Ni i 由图由图(d)(d)求出在单位力作用下各杆的内力求出在单位力作用下各杆的内力F F N Ni i 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 杆件编号杆件编号 - -F/2F/2 a a - -FaFa a a 1 1 - -F F - -F F 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 a a a a a a - -FaFa 0 0 0 0 0 0 a a a a a a - -F/2F/2 F/2F/2 F/2F/2 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 应用莫尔定理应用莫尔定理 代入方程后求得代入方程后求得 由叠加原理可知由叠加原理可知桁架内任一杆件的实际内力桁架内任一杆件的实际内力 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 例9 试求图示刚架的全部约束反力，刚架EI为常数. 解： 刚架有两个多余约束， 为二次静不定结构; 选取并去除多余约束，代以多 余约束反力； X X2 2 X X1 1 建立力法正则方程 计算系数 ij ij 和自由项 iP iP 用莫尔定理求得 q a a a a A A B B q A A B B 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 1 1 1 1 x x1 1 x x1 1 x x1 1 x x2 2 x x2 2 x x2 2 A A B B q A A B B A A B B 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 求多余约束反力 将上述结果代入力法正则方程可得 求其它支反力 由平衡方程得其它支反力，全 部表示于图中. q A A B B 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 一、对称结构的对称变形与反对称变形 结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一轴， 则称此结构为对称结构. 14-3 对称及反对称性质的应用 E E1 1 I I1 1 E E1 1 I I1 1 EIEI 对对 称称 轴轴 E E1 1 I I1 1 E E1 1 I I1 1 EIEI 对对 称称 轴轴 E E1 1 I I1 1 E E1 1 I I1 1 EIEI 对对 称称 轴轴 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 A A C C D D F F (b)(b) 例题10 在等截面圆环直径AB的两端，沿直 径作用方向相反的一对F力（图a）.试求AB 直径的长度变化. 解：沿水平直径将圆环切开(图b)，由载荷 的对称性，截面C和D上的剪力等于零，只 有轴力FN和弯矩M0. 利用平衡条件求出 FN=F/2，只有 M0 为多余 约束力. F F F F A A B B C C D