电路理论基础》学习指导(李晓滨)第6章.ppt

第6章 一阶电路 第6章 一阶电路 6.1 内容提要 6.2 重点、难点 6.3 典型例题 6.4 习题解答 第6章 一阶电路 6.1 内容提要 1. 线性非时变电路的基本性质 线性：当满足均匀性与叠加性时，称系统为线性系统。 均匀性：若激励x(t)产生响应y(t)，则激励kx(t)产生响应ky(t) 。 叠加性：若激励x1(t)产生响应y1(t)， x2(t)产生响应y2(t)，则 激励x1(t)+x2(t)产生响应y1(t)+y2(t)。 因此，线性系统的数学描述为：若激励x1(t)产生响应y1(t)， x2(t) 产生响应y2(t)，则激励k1x1(t)+k2x2(t)产生响应k1y1(t)+k2y2(t) 。 时不变性：若激励x(t)产生响应y(t)，则激励x(t-t0)产生的响 应为y(t-t0)。 第6章 一阶电路 2. 一阶电路的零输入响应 1) 一阶RC电路的零输入响应对如图6-1所示的电路列微 分方程，有 其特征方程为RC+1=0，从而得 ，则 将uC(0)=U0代入上式，得U0=ke0=k，则 第6章 一阶电路 图 6-1 第6章 一阶电路 图 6-2 第6章 一阶电路 2) 一阶RL电路的零输入响应 对如图6-2所示的电路列微分方程，有 其特征方程为L+R=0，从而得 ，则 将iL(0)=I0代入上式，得I0=ke0=k，则 第6章 一阶电路 3. 一阶电路的零状态响应 1) 恒定电源作用下一阶RC电路的零状态响应 对如图6-3所示电路列微分方程，有 微分方程的初始条件为uC(0)=0，则特征方程为 ， 得 。所以，齐次解为 第6章 一阶电路 图 6-3 第6章 一阶电路 令特解为uCp=Q(Q为常数)，将特解代入原方程，得 Q=IsR。则微分方程的完全解为 由uC(0)=k+IsR=0得k=-IsR，所以 第6章 一阶电路 2) 恒定电源作用下一阶RL电路的零状态响应 对如图6-4所示电路列微分方程，有 微分方程的初始条件为iL(0)=0，则特征方程为L+R=0， 得 。所以，齐次解为 第6章 一阶电路 图 6-4 第6章 一阶电路 令特解为 (Q为常数)，将特解代入原方程，得 。 则微分方程的完全解为 由 得 所以 第6章 一阶电路 4. 完全响应 利用叠加定理，完全响应可理解为零输入响应与零状态 响应的叠加，即 完全响应=零输入响应+零状态响应 同时，在恒定电源作用下，完全响应也可以理解为暂态分量 和稳态分量之和。其中暂态分量是指随时间变化逐渐趋向于 零的响应部分，而稳态分量是不随时间变化的响应部分。 第6章 一阶电路 6.2 重点、难点 三要素法是求解一阶动态电路的重要方法，为本章的核 心内容。使用三要素法时应准确理解动态元件的稳态特性、 换路定理、戴维南等效电路以及0+等效电路等概念，同时应 注意三要素法的适用范围为恒定电源作用下的一阶动态电路 各支路电压、电流的求解。 第6章 一阶电路 1. 电路响应的三要素法公式 对于电容电压，有 对于电感电流，有 对于其他非状态变量，类似地有 第6章 一阶电路 2. 三要素的计算 1) 计算uC(0+)，iL(0+) 假定开关在t=0时刻动作，根据开关 动作前的电路，计算出t=0 -时刻的电容电压uC(0)或电感 电流iL(0)，这是一个直流电阻电路的计算问题。这种计算是 基于电路在开关动作前已达稳定状态，而动态元件的稳态特 性为电容开路电感短路的。其次，根据电容电压和电感电流 的连续性，即换路定理uC(0+)=uC(0)和iL(0+)=iL(0)，确定电 容电压或电感电流在0+时刻的初始值。如果要计算非状态变量 的初始值，由于非状态变量不具备连续性，即换路定理不适 用，这时必须引入0+等效电路的概念，即将电路中的电容用电 压源uC(0+)替代(或将电感用电流源iL(0+)替代)，电路其他部分 保持不变，由此可得到t=0+ 时的等效电路，依据该电路计算出 所需要的非状态变量的0+初始值。注意，该电路只在t=0+ 时刻 成立，仅仅是为了计算其他非状态变量的初始值而已。 第6章 一阶电路 2) 计算稳态值uC()和iL() 根据t0的电路，当t时该电路进入稳定状态，电容相 当于开路，电感相当于短路，可得到一个直流电阻电路，从 此电路可计算稳态值uC()和iL()。其他非状态变量的计算也 可由该电路得出。 3) 计算时间常数 将与电容、电感连接的其余电路看做线性电阻单口网络 ，计算其戴维南等效电阻Req，然后利用=ReqC或=L/Req计算 出时间常数。注意该时间常数对于状态变量和非状态变量均 适用。 第6章 一阶电路 3. 响应表达式的求解 求出三要素uC(0+)(或iL(0+)、 uC()(或iL()和后，直接 代入三要素法公式即可求得响应uC(t)(或iL(t)的一般表达式。 其余非状态变量也可类似得出。 第6章 一阶电路 6.3 典型例题 【例6-1】 图6-5(a)所示电路中，开关S在t=0时动作，试 求电路在t=0+时刻的各支路电压电流。 第6章 一阶电路 图 6-5 第6章 一阶电路 解 (1) 确定电路的初始状态。在t0后，电路如图6-8(c)所示。这是一个一阶RL零输 入电路。其时间常数为 所以电感电流和电压分别为 另外，也可以利用KVL计算: 【解题指南与点评】 该例题要求掌握一阶RL电路的零 输入响应。 第6章 一阶电路 【例6-5】 电路如图6-9(a)所示。当t=0时开关S闭合， 闭合前电路已达稳态。求t0 时的响应i(t)。 图 6-9 第6章 一阶电路 解 (1) 当t=0时，S合上，a、b两点被短接，左边为RL电 路，右边为RC电路，该电路实际上为两个一阶零输入电路。 电路的初始状态为 第6章 一阶电路 (2) S闭合后的等效电路如图6-9(b)所示。对a、b左边的 RL电路，显然有 所以 第6章 一阶电路 对a、b右边的RC电路，显然有 所以 由KCL方程知: 第6章 一阶电路 【解题指南与点评】 该例题的难点在于应理解开关闭 合后该电路是两个一阶电路而非二阶电路，这是因为描述电 路的方程是两个一阶微分方程。 【例6-6】 图6-10(a)所示电路中，开关S闭合前，电容 电压uC为零。在t=0时，S闭合，求t0时的uC(t)和iC(t)。 解 (1) 由题意知：uC(0+)=uC(0)=0 V，所以这是零状态 响应的问题。 第6章 一阶电路 图 6-10 第6章 一阶电路 (2) 在t时，电容相当于开路，等效电路如图6-10(b) 所示。由图可知: 等效电阻为 所以时间常数 所以当t0时，电容电压 电容电流 第6章 一阶电路 【解题指南与点评】 该例题要求掌握一阶RC电路的 零状态响应，同时掌握等效电阻的计算方法。 第6章 一阶电路 【例6-7】 图6-11(a)所示电路在开关打开前已 处稳定状态。当t=0时，开关S打开，求t0时的uL(t)。 图 6-11 第6章 一阶电路 解 (1) 由图6-11(a)可知，当t0后，电感电流为 电感电压为 【解题指南与点评】 该例题要求掌握一阶RL电路的零 状态响应，同时掌握等效电阻的计算方法。 第6章 一阶电路 【例6-8】 图6-12所示电路中，L=8 H，iL(0)=3 A， 求全响应iL(t)。 图 6-12 第6章 一阶电路 解 直接用三要素法求解。 t=0+时，iL(0+)=iL(0)=3 A; 当t时， iL()=4 A，且 。因此，由三要素法可得电路的响应为 当然，也可以使用叠加定理，即 全响应=零输入响应+零状态响应 的方法求解(见例6-9)。 【解题指南与点评】 重点掌握三要素法，体会三要素法 在求解一阶电路全响应时的便捷。 第6章 一阶电路 【例6-9】 图6-13所示电路中，当t=0时闭合开关S，在 下列两种情况下求uC、 iC: (1) uC(0)=3 V； (2) uC(0)=15 V。 图 6-13 第6章 一阶电路 解 由题意知， uC(0+)=uC(0)0，且当t0 后，电路 有外加激励电源的作用，所以本题为一阶电路的全响应问题 。对线性电路而言，全响应=零输入响应+零状态响应 即 由图可知，当t时， 时间常数 =RC=21=2 s 第6章 一阶电路 (1) 当uC(0+)=3 V时， 第6章 一阶电路 (2) 当uC(0+)=15 V时，零输入响应为 零状态响应为 所以电容电压的全响应为 【解题指南与点评】 本题重点掌握利用叠加定理求解 全响应的方法，实际上与三要素法无本质区别。 第6章 一阶电路 【例6-10】 图6-14(a)所示电路中，当t=0时开关S1打开， S2闭合，在开关动作前，电路已达稳态。试求t0时的uL(t)和 iL(t) 。 图 6-14 第6章 一阶电路 解 (1) 当t0后，电路如图6-14(c)所示。当t时，电感看 做短路，因此iL()=3 A。从电感两端向电路看去的等效电阻 为 时间常数 第6章 一阶电路 根据三要素公式，有 则电感电压 【解题指南与点评】 本题重点掌握三要素法，同时掌 握等效电阻的计算方法。 第6章 一阶电路 【例6-11】 图6-15(a)所示电路中，已知is=10(t) A， R1=1 ， R2=2 ，C=1 F， uC(0)=2 V， g=0.25 S。求全 响应i1(t)、 iC(t)、 uC(t)。 图 6-15 第6章 一阶电路 解 把电容断开，如图6-15(b)所示，先求当t0时一端口 电路的戴维南等效电路。 由KVL得 由KVL得 第6章 一阶电路 联立求解以上两个方程，解得 把端口短路，得到短路电流 第6章 一阶电路 故等效电阻为 等效电路如图6-15(c)所示。由三要素法，得 根据图6-15(c)所示电路，有 代入三要素公式，得电容电压为 第6章 一阶电路 电容电流为 列出KCL方程: 代入u1=R1i1，解得电流 第6章 一阶电路 【解题指南与点评】 本题求解电路的阶跃响应。单位阶 跃函数(t)作用于电路，相当于单位直流源在t=0时接入电路 。该题仍可用三要素法求解，但要特别注意等效电阻的计算 。本题利用戴维南等效电路的方法计算了uC()和等效电阻。 同时在求解i1(t)时，由于i1(t)本身并不是状态变量，故而应先 求解状态变量uC(t)，再间接地求出i1(t)。当然也可以利用三要 素法直接求解i1(t)，这时就涉及到0+等效电路的问题。 第6章 一阶电路 6.4 习题解答 6-1 如图6-16所示，列出以电感电流为变量的一阶微分方 程。 图 6-16 第6章 一阶电路 解 由KVL得 整理得 第6章 一阶电路 6-2 如图6-17所示，列出以电感电流为变量的一阶微分 方程。 图 6-17 第6章 一阶电路 解 原电路化简为如图6-18所示电路。其中， 对化简后的电路列写KVL方程，有 代入uoc及Req，化简后得 第6章 一阶电路 图 6-18 第6章 一阶电路 6-3 如图6-19所示，列出以电容电流为变量的一阶微分 方程。 图 6-19 第6章 一阶电路 解 原电路变换为图6-20所示电路。 由节点的KCL方程得 将上式两边求导，得 (1) 第6章 一阶电路 图 6-20 第6章 一阶电路 由于 ，因此 (2) 由于 ，因此 (3) 将式(2)、(3)代入式(1)，整理得 第6章 一阶电路 6-4 图6-21电路中的开关闭合已经很久，t=0时断开开关 ，试求uC(0+)和u(0+)。 图 6-21 第6章 一阶电路 解 换路前的等效电路如图6-22所示，解得 换路瞬间电容电流不可能是无穷大，故有 换路后，t=0+等效电路如图6-23所示，求得 第6章 一阶电路 图 6-22 第6章 一阶电路 图 6-23 第6章 一阶电路 6-5 图6-24电路中的开关闭合已经很久，t=0时断开开 关，试求iL(0)和i(0+)。 图 6-24 第6章 一阶电路 解 开关断开前的等效电路如图6-25所示，求得 第6章 一阶电路 图 6-25 第6章 一阶电路 t=0+时的等效电路如图6-26所示。对此电路列网孔方程 ： 得 第6章 一阶电路 图 6-26 第6章 一阶电路 6-6 图6-27电路中的开关闭合已经很久，t=0时断开开 关，试求uC(0+)和iL(0+)。 图 6-27 第6章 一阶电路 解 t=0时的等效电路如图6-28所示，解得 第6章 一阶电路 图 6-28 第6章 一阶电路 6-7 如图6-29所示，开关闭合已经很久，t=0时断开开关 ，试求t0时的电流i(t)，并判断该响应是零状态响应还是零 输入响应。 图 6-29 第6章 一阶电路 解 开关断开前，t=0-时的等效电路如图6-30所示，求得 开关断开后，电路等效为如图6-31所示的电路，从而有 第6章 一阶电路 图 6-30 第6章 一阶电路 由KVL及换路定理得 解得 换路后无电源，故是零输入响应。 第6章 一阶电路 图 6-31 第6章 一阶电路 6-8 如图6-32所示，开关接在a点为时已久，t=0时开关 接至b点，试求t0时的电容电压uC(t)，并判断该响应是零状 态响应还是零输入响应。 图 6-32 第6章 一阶电路 解 t=0时的等效电路如图6-33所示，求得 图 6-33 第6章 一阶电路 开关动作后的电路等效为如图6-34所示的电路。由节点 的KCL方程及电容的换路定理，得 解得 是零输入响应。 第6章 一阶电路 图 6-34 第6章 一阶电路 6-9 如图6-35所示，开关闭合在a端已经很久，t=0时开 关接至b端，试求t0时的电容电压uC(t)和电阻电流i(t)，并判 断该响应是零状态响应还是零输入响应。 图 6-35 第6章 一阶电路 解 用三要素法求解。 开关动作前，uC(0)=0。 开关 动作后的电路如图6-36所示。t=0+时， uC(0+)=uC(0)=0 此时电容相当于短路，由分流公式可得 t=时，电路进入直流稳态，电容相当于开路，有 i()=2 A uC()=24=8 V 第6章 一阶电路 图 6-36 第6章 一阶电路 将电流源置零，从电容两端看进去的等效电阻为 R=6+4=10 得 =RC=1010103=0.1 s 由三要素公式，得 t0 t0 由于电容初始电压为零，因此是零状态响应。 第6章 一阶电路 6-10 如图6-37所示，开关断开已经很久，t=0时闭合开 关，试求t0时的电感电流iL(t)和电阻电压u(t)，并判断该响 应是零状态响应还是零输入响应。 图 6-37 第6章 一阶电路 解 用三要素法求解。开关动作前，iL(0)=0。 开关动 作后，电路等效为如图6-38所示电路。t=0+时， 此时，电感相当于断开，即有 t=时，电路进入直流稳态，电感相当于短路。由分流公式 得 第6章 一阶电路 图 6-38 第6章 一阶电路 将电流源置零，从电感两端看进去的等效电阻为 由三要素公式，得 是零状态响应。 第6章 一阶电路 6-11 如图6-39所示，开关断开已经很久，t=0时闭合开关 ，试求t0时的电感电流iL(t)。 图 6-39 第6章 一阶电路 解 开关动作前，iL(0)=0。将开关动作后的电路化简 。电感左边的二端电路如图6-40 所示。 图 6-40 第6章 一阶电路 令端口电流为0，求uoc。 令独立电压源为零，求等效电阻Req。 假设端电压u和端电 流i的参考方向如图6-41所示，设i已知，则有 第6章 一阶电路 图 6-41 第6章 一阶电路 换路后的电路可化简为如图6-42所示，从而求得 由三要素公式，得 iL(t)=2(1e500t) A t0 第6章 一阶电路 图 6-42 第6章 一阶电路 6-12 如图6-43所示，开关闭合在a端已经很久了，t=0 时开关接至b端。求t0时电压u(t)的零输入响应和零状态响 应，并判断u(t)中的暂态响应和稳态响应，求出完全响应。 图 6-43 第6章 一阶电路 解 开关动作前，uC(0)=9 V。将开关动作后的电路化 简。电容和2 电阻串联支路左边的二端电路如图6-44所示 。求得该二端电路的端口VAR，便可得其等效电路。 图 6-44 第6章 一阶电路 设端电压u和端电流i的参考方向如图6-44所示，设i已知 ，则有 解得 u=12+8i 即该二端电路 uoc=12 V， Req=8 第6章 一阶电路 开关动作后的电路可简化如图6-45所示，从而求得 由三要素公式，得全响应为 其中，暂态分量为2.4