自动控制原理第七章习题答案.pdf

701 第七章 线性离散系统的分析与校正 7-1 试根据定义 0 )()( n nTs enTesE 确定下列函数的)(sE和闭合形式的)(zE： ttesin)(； )()( 1 )( csbsas sE ，ba ，ca ，cb 。 解： Ts ez ； )()sin()( 0 zEenTsE n nTs ； 1)cos(2 )sin( 2 1 2 1 )( 2 0 zTz zT ez z ez z j eee j zE TjTj n nTsjwnTjwnT 。 )()( 1 )()( 1 )()( 1 )( cscbcabsbcbaasacab sE ； 000 )( 1 )( 1 )( 1 )( n nTscnT n nTsbnT n nTsanT ee cbca ee bcba ee acab sE； )()()()()()( )( cTbTaT ezcbca z ezbcba z ezacab z zE ； 记)()(cbcaba， ba k1， ca k2， cb k3； )()( )()( )( )( 3 )( 2 )( 1 2 321 cTbTaT TcbTcaTbaaTbTcT ezezez zekekekzekekek zE 。 7-2 采样周期为T，试求下列函数的Z变换： n anTe)(； t ette 32 )( ； 3 ! 3 1 )(tte； 2 1 )( s s sE ； ) 1( 1 )( 2 ss e sE sT 。 解：求解和小题可应用Z变换的偏微分定理或乘以时间变量的函数的Z变换： 偏微分定理 已知函数),( atf的Z变换为),(azF，a是与t及Z无关的变量或常数，则： ),(),(azF a atf a Z 。 证明：由Z变换的定义及等值变换进行证明得， ),(),(),(),( 00 azF a zanTf a zanTf a atf a Z n n n n 。 702 乘以时间变量的函数的Z变换 已知函数)(tf的Z变换为)(zF，则： )()(zF zd d zTtftZ。 证明：由Z变换的定义及等值变换进行证明得， )()()()()( 000 zF zd d zTznTf zd d zTznTf zd d zTznTfnTtftZ n n n n n n 。 az z zE )(； 解 1：因 tata e a et 2 2 2 及 T t ez z eZ 3 3 ，得到 33 3 32 )( )( )( T T T ez ezz eTzE 。 解 2： 33 3 32 23 3 3 )( )( )( )( T T T T T T ez ezz eT ez z Te zd d zT ez z zd d zT zd d zTzE 。 解 1：因 ta e a t 3 3 3 ，0a；即 4 23 3 3 ) 1( ) 14( ! 3! 3 1 )( z zzzT ez z a zE aT 。 解 2： 4 23 ) 1( ) 14( ! 3 1 ! 3 )( z zzzT z z zd d zT zd d zT zd dzT zE。 2 0 2 2 ) 1( ) 1( 1 )( z Tzz ez z s s s s zE s Ts ；或 22 ) 1( 1 1 1 )( z zT z z s Z s ZzE。 )1( )(1( )1( ) 1( 1 )( 1 0 1 2 z ez z ezs z s z ss ZzE T s Ts )(1( ) 1(1)1( T TT ezz eTzeT 。 7-3 试用部分分式法、幂级数(长除)法和反演积分(留数计算)法，求下列函数的Z反变换： )2)(1( 10 )( zz z zE； 21 1 21 3 )( zz z zE。 解：部分分式法 12 10)( z z z z zE，) 12(10)( n nTe，0n； 1) 1( 2 )( 2 2 z z zT zT zE，32)(nnTe，0n； 幂级数(长除)法 ) 12(83010 31 10 )( 321 21 1 nn zzzz zz z zE， ) 12(10)( n nTe，0n； n znzzz zz z zE)32(9753 21 3 )( 321 21 1 ， 32)(nnTe，0n； 反演积分(留数计算)法 703 ) 12(10 2 10 1 10 )( 12 n z n z n z z z z nTe； 32) 1( 3)3()( 1 1 1 12 nznznzzz zd d nTe z nn z n 。 7-4 试求下列函数的脉冲序列)(te： ) 13)(1( )( 2 zz z zE； 2 )5 . 0)(1( )( zz z zE。 解：采用留数计算法，采样周期为T。 jz n jz n z n jzz z jzz z z z te 33 1 2 )3)(1()3)(1(13 )(； )33()33() 1(35 . 0) 1(25. 0)( 2/12/12/ jjjnTe nnnn ；以下0k为整数。 )931 (25. 0)4( k kTe ； ) 193(25. 0)4( k TkTe； )3/91 (25. 0)24( k TkTe ； )3/91 (25. 0)34( k TkTe ； 5 . 0 1 5 . 01 2 25. 2 ) 1( 25. 2 1 1 )5 . 0( )( z nn z n z n zzzn z z zd d z z nTe . 0,)5 . 0)(13(1 9 4 )5 . 0()5 . 0)(1(1 9 4 1 nnnn nnn 7-5 试确定下列函数的终值： 21 1 )1 ( )( z zT zE； ) 1 . 0)(8 . 0( )( 2 zz z zE。 解： nTnte)(， )(limnTe n ； 0 ) 1 . 0)(8 . 0( )1 ( lim)(lim 21 1 zz zz te zt 。 7-6 采样周期为T，已知)()(teZzE，试证明下列关系成立： )()( a z EnTeaZ n ； )()(zE zd d TztteZ。 证明： )()()()( 00 a z E a z nTeznTeanTeaZ n n n nnn 。 )()()()()( 00 tteZznTenTznTe zd d TzzE zd d Tz n n n n 。 7-7 已知差分方程为 0)2() 1(4)(kckckc， 初始条件：0)0(c，1) 1 (c。试用迭代法求输出序列)(kc，4, 3, 2, 1 , 0k。 704 解：)2() 1(4)(kckckc，2k； 输出序列)(kc： 0，1，4，12，36 。 7-8 试用Z变换法求解下列差分方程： )()(8)(6)2(trtcTtcTtc ，)( 1)(ttr，)0(0)( ttc； )()()(2)2(trtcTtcTtc ，0)()0(Tcc，), 2, 1 , 0()(nnnTr； 0)(6) 1(11)2(6)3(kckckckc，1) 1 ()0(cc，0)2(c； 2 cos)(6) 1(5)2( k kckckc，0) 1 ()0(cc。 解： )()(8) 1(6)2(krkckckc，0) 1 ()0(cc； )4(6)2(2) 1(31)4)(2( 1 )( z z z z z z z z zz zC； )4232( 6 1 )( nn ntc，0n。 )()() 1(2)2(krkckckc，0) 1 ()0(cc； 22 ) 1() 1( 1 )( z zT z zC； 1 2 1 2 ) 1() 1( )( z n z n z zT zd d z zT zd d nTc； 4 ) 1(1)1( )( n nT nTc ；0)2(kTc，TkTkTc) 1()2(，, 2, 1, 0k。 ) 3(2 5 2 7 ) 1(2 11 ) 3)(2)(1( 177 )( 23 z z z z z z zzz zzz zC； nn nTc35 . 2275 . 5)(。 1 ) 2 cos( 2 2 z z kT T Z ， 1 ) 2 sin( 2 z z kT T Z ； 1 1 . 0 1 1 . 0 3 3 . 0 2 4 . 0 1) 3)(2( 1 )( 22 2 2 2 z z z z z z z z z z zz zC； 2 sin 2 cos1 . 024 . 033 . 0)( nn nTc nn ；, 2, 1, 0k。 1 . 024 . 033 . 0)4( 44 kk kTc， 1 . 028 . 039 . 0)4( 44 kk TkTc， 1 . 026 . 137 . 2)24( 44 kk TkTc， 1 . 022 . 331 . 8)34( 44 kk TkTc。 7-9 设开环离散系统如图所示，试求开环脉冲传递函数)(zG。 解：(a) TT ez z ez z s Z s ZzG 52 52 5 5 2 2 )( ， TTT ezeez z zG 10522 2 )( 10 )( ； (b) 5 1 2 1 3 10 )5)(2( 10 )( ss Z ss ZzG， 2 2 s 5 5 s R(s) C(s) 2 2 s 5 5 s R(s) C(s) (a) (b) 705 TTT TT ezeez zee zG 10522 52 )( )( 3 10 )( 。 7-10 试求下图所示闭环离散系统的脉冲传递函数)(z或输出Z变换)(zC。 解：解题要点，画出采样信号到采样信号的等效框图。 (a) )()()(1 )( )( 3121 1 zGzGzGG zG z ； (b) )(1 )()()( )( 43 42143 zGGG zGRGzRGzGGG zC h h ； (c) )()(1 )()()( )( 211 2112 zGGGzD zGGGzDzD z h h ； )()(1 )( )( 211 2 zGGGzD zG z h n ； 7-11 已知脉冲传递函数及输入信号的 Z 变换，试求)(nTc。 1 1 37. 01 1 . 053. 0 )( )( )( z z zR zC zG， 1 )( z z zR。 解： )37. 0)(1( )1887. 0(53. 0 )()()( zz zz zRzGzC； n z n z n z zz z zz nTc37. 047. 01 1 )1887. 0(53. 0 37. 0 )1887. 0(53. 0 )( 37. 01 。 7-12 已知开环离散系统如图所示， 其中)( 1)(ttr，采样周期sT2，试比较)(tc和)(tc。 解：无论输入信号波形如何，)(tc是离散信号，)(tc是连续信号，)(tc和)(tc仅在采样时刻上相等。 1 )( z z zR， 2 )( ez z zG， )(1( )( 2 2 ezz z zC， 2 22 1 1 )( e e nTc n ； 记t时刻对k时刻的脉冲响应为 )2( )( kt k etc ，于是有， G1(s) G2(s) G3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) Gh(s) (a) (b) R(s) R(s) C(s) C(s) T T T T - - - D2(z) D1(z) G1(s) G2(s) Gh(s) (c) R(s) - T C(s) N(s) T T T RG2G4(z) ChG3G4(z) RG1(z) C(z) - (b) R(z) - G1G2(z) G1(z) G3(z) C(z) - (a) D2(z) G2(z) D1(z) GhG1G2(z) - (c) R(z) C(z) N(z) 1 1 s r(t) r*(t) c(t) c*(t) 706 )( 1 1 )( )2( 2 )1(2 2)2( 0 2 nTce e e eeeetc nt n nnt n k kt ，) 1(22ntn。 7-13 设有单位反馈误差采样的离散系统，连续部分传递函数为 )5( 1 )( ss sG， 输入)( 1)(ttr，采样周期sT1。试求： 输出Z变换)(zC； 采样瞬时的输出响应； 输出响应的终值)(c。 解： （注：修改了原题的连续部分传递函数。原题给出连续系统是不稳定的，且计算过于烦琐。 ） )0067379. 0)(1( 19865. 0 )()(5( )( 50 zz z ezs z ezs z zG s s s s ， 1 )( z z zR； )00843. 0)(79966. 0( 19865. 0 0067379. 080809. 0 19865. 0 )( 2 zz z zz z z； (1) ) 1)(00843. 0)(79966. 0( 19865. 0 )( 2 zzz z zC； (2) nn nTc00843. 000214. 079966. 000214. 11)(； (3) 1)(c。 7-14 设开环离散系统如图所示，其中，1 . 0T秒，)( 1)(tte，且 )100( 100 )( 2 ss sG， 要求： 用Z变换法计算TTT6 ,2, 0时的输出响应； 用修正Z变换法计算TTTTTT2, 3/5, 3/4, 3/2, 3/, 0时的输出响应； 解： ) 10806. 1)(1( ) 1(4597. 0 1)10cos(2 )10cos( 1100 1 )( 222 zzz zz zTz Tzz z z s s s ZzG； 1 )( z z zE， ) 10806. 1() 1( ) 1(4597. 0 1)10cos(2 2) 1(2) 1( )( 22 2 2 2 2 2 zzz zz zTz zz z z z z zC； 应用长除法 4321 21 0806. 31612. 40806. 31 )(4597. 0 )( zzzz zz zC； 654321 2757. 62357. 65193. 58657. 38758. 14597. 00)(zzzzzzzC； 应用部分分式法 0)0(c； sin) 1sin(5942. 05 . 0sin) 1sin() 1sin2(5 . 01)( 1 nnnnnnnTc ，1n。 00000. 0、45969. 0、87584. 1、86584. 3、51948. 5、23582. 6、27565. 6、 最方便的解法 )10cos()( 1)()( 1 ttsGLtg ； n i inTc 0 )cos(1)(； )(sG e(t) c(t) T 707 最方便的解法 )10cos()( 1)()( 1 ttsGLtg ； n i k iTknc 0 ) 3 cos(1)3/(，2, 1 , 0k； 00000. 0、05504. 0、21411. 0、45970. 0、81980. 0、30983. 1、87585. 1、 修正Z变换法 4 3 3 3 2 3 1 3 2 3 1 3 3 88991. 377983. 588991. 31 05504. 005504. 0 )( zzzz zz zC；(7-80) )88991. 288991. 21 ( )(05504. 0 )( 3 3 2 3 1 3 2 3 1 3 3 zzz zz zG； 3 3 1 1 )( z zE； 6 3 5 3 4 3 3 3 2 3 1 3 2 3 1 3 3 88991. 288991. 2288991. 288991. 21 05504. 005504. 0 )( zzzzzz zz zC；(7-82) (7-80)和(7-82)所给出的 3 )(zC不一致，至少有一个是错误的，或两个都是错误的。最方便的解法所给 出的答案是正确解。 7-15 试判断下列系统的稳定性： 已知闭环离散系统的特征方程为 0)2)(5 . 0)(1()(zzzzD； 已知闭环离散系统的特征方程为（注：要求用朱利判据） 08 . 036. 02 . 0)( 234 zzzzzD； 已知误差采样的单位反馈离散系统，采样周期sT1，开环传递函数为 ) 1( 57.22 )( 2 ss sG 解： 有闭环极点在Z平面的单位圆外和单位圆周上，系统不稳定； 朱利判据的阵列 5104. 036. 05104. 036. 06 . 036. 0)2( 18 . 012 . 0136. 08 . 0) 1 ( 036. 3) 1 (D；096. 2) 1() 1( 4 D；18 . 0；不满足5104. 036. 0；系统不稳定。 朱利检验法计算表（参见：吕淑萍等， 数字控制系统 ，哈尔滨工程大学出版社，2002.11） 0000. 00000. 00000. 0 000. 12489. 01991. 02489. 0 2489. 01991. 02489. 0 556. 036. 0088. 02 . 02 . 0 2 . 02 . 0088. 036. 0 8 . 012 . 0136. 08 . 0 8 . 036. 012 . 01 1 2 3 4 z z z z 计算表中出现全零行，系统不稳定。 因57.22)( 23 sssD，连续系统是不稳定的，它的采样系统也是不稳定的。 708 改为， ) 1( 5 . 2 )( ss sG，计算得 )368. 0)(1( 6245. 1 )( zz z zG， 0368. 02575. 0)( 2 zzzD，5927. 01288. 0 2, 1 j，闭环系统稳定。 7-16 设离散系统如图所示，采样周期sT1，)(sGh为零阶保持器， ) 12 . 0( )( ss K sG。 要求： 当5K时，分别在Z域和W域中分析系统的稳定性； 确定使系统稳定的K值范围。 解： 00674. 000674. 1 )19191. 080135. 0( )1( 5 2 . 02 . 01 )1( )5( 5 )( 2 1 2 1 2 zz zK z sss ZKz ss K ZzG； 00674. 019191. 0)00674. 180135. 0( )19191. 080135. 0( )( 2 KzKz zK z； 096629. 03)( 2 zzzD；003371. 1) 1() 1( 2 D； 不满足稳定条件，系统不稳定。 003371. 106742. 096629. 4)( 2 wwwD；系数不同号，系统不稳定。 060944. 001348. 2)19191. 099326. 0(299326. 0)( 2 KwKKwwD； 由二阶系统系数均大于零，得到使系统稳定的K值范围：3038. 30 K。 7-17 设离散系统如图 7-59 所示，采样周期sT2 . 0，10K，2/1)( 2 tttr，试用终值定理 法计算系统的稳态误差)(e。 解：等效离散系统框图为 其中 2 1 3 ) 1( ) 1(2 . 0 )1( 10 )( z z z s ZzG； 1 1 )1( 5 )( 1 2 z z s ZzH。 2 . 08 . 0 ) 1( )( 2 zz zz z e ； 3 2 ) 1( )82. 078. 1( )( z zzz zR； )2 . 08 . 0() 1( )82. 078. 1( )( 22 22 zzz zzz zE； 得到： )() 1(lim)( 1 zEze z 。 注：因)() 1(zEz有极点在单位圆周上，严格要求时，不能使用终值定理。仔细计算有 )46365. 0sin(05. 1)46365. 0cos(65. 01 . 035. 0)2 . 0()( 8047. 0 nnennenTe n )1 . 0(lim)(lim)(nnTee nn ，即 nnTess1 . 035. 0)(。 7-18 设离散系统如图所示，其中sT1 . 0，1K，ttr)(，试求静态误差系数 p K、 v K、 a K， 并计算系统稳态误差)(e。 r(t) e*(t) e(t) c(t) Gh(s) G(s) G(z) H(z) R(z) E(z) C(z) - - s e Ts 1 2 1 s K 0.5s r(t) x*(t) e(t) c(t) - - x(t) 709 解： )9048. 0)(1( )9673. 0(004837. 01 1 1 1 . 0 )1( ) 1( 1 )( 1 . 0 1 2 zz z ez z z z ss ZzG； )(lim 1 zGK z p ；1 . 0)() 1(lim 1 zGzK z v ；0)() 1(lim 2 1 zGzK z a 。 10/1)( v Ke。 7-19 设离散系统如图所示，其中ZOH为零阶保持器，sT25. 0。当 ttr2)(时，欲使稳态误 差小于1 . 0，试求K值。 解： ) 1( 25. 0 )1 ( 1 )1 ()( 2 12 2 1 2 2/ zz K zzK s Zz s Ke ZzG s ； KKv25. 0；1025. 0K；40K。 7-20 试分别求出题 7-17 和题 7-18 系统的单位阶跃响应)(nTc。 解：题 7-17 系统的闭环脉冲传递函数及输出Z变换为 2 . 08 . 0 ) 1(2 . 0 )(1)( 2 zz z zz e ； 2 . 08 . 011 )()( 2 2 zz z z z z z zzC； )46365. 0sin(2)46365. 0cos(1)( 8047. 0 nnenTc n 。 题 7-18 系统的闭环脉冲传递函数及输出Z变换为 9095. 0