九年级上册数学竞赛试题及答案.pdf

者相中学者相中学 2016 年秋季年秋季九年级（上）数学九年级（上）数学竞赛竞赛试卷试卷 （考试时间：（考试时间：120 分钟分钟 满分满分 120 分）分） 姓名姓名班级班级得分得分 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 1下列车标图案中，是中心对称图形的是（） ABCD 2对于二次函数 y=（x1）2+2 的图象，下列说法正确的是（） A开口向下B对称轴是 x=1 C顶点坐标是（1，2）D与 x 轴有两个交点 3某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的 100 元降到了 64 元设平均每 次降价的百分率为 x，则下列方程中正确的是（） A100（1+x）2=64B64（1+x）2=100 C64（1x）2=100D100（1x）2=64 4 将抛物线 y=x2沿 y 轴向上平移一个单位后得到的新抛物线的解析式为 （） Ay=（x+1）2By=（x1）2Cy=x2+1 Dy=x21 5已知抛物线 y=x2x2 与 x 轴的一个交点为（m，0） ，则代数式 m2m+2016 的值为（） A2015B2016C2017D2018 6半径为 R 的圆内接正六边形的面积是（） AR2BR2CR2DR2 775的圆心角所对的弧长是 2.5cm，则此弧所在圆的半径是（）A6cm B7cmC8cmD9cm 8如图，在ABC 中，C=90，BAC=70，将ABC 绕点 A 顺时针旋转 70， B、 C 旋转后的对应点分别是 B和 C， 连接 BB， 则BBC的度数是 （） A35 B40 C45 D50 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 9 二次函数 y= （x1） 22 的顶点与 x 轴的交点所围成图形的的面积是_ 10如图，O 的直径 CD=10，AB 是O 的弦，ABCD 于 M，且 CM=2，则 AB 的长为_ 11已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象如图所示，则关于 x 的方程 x2+bx+c=0 的解 为 x1=_，x2=. 12如图，两圆圆心相同，大圆的弦 AB 与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分 的面积是_ （结果保留） 13 如图， 边长为 3 的正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转 30后得到正方形 EFCG，EF 交 AD 于点 H，那么 DH 的长是_ 三、解答题三、解答题 （共（共 6 小题，共小题，共 68 分）分） 14 （10 分）如图，将四边形 ABCD 绕原点 O 旋转 180得四边形 ABCD （1）画出旋转后的四边形 ABCD； （2）写出 A、B、C、D的坐标； （3）若每个小正方形的边长是 1，请直接写出四边形 ABCD 的面积 15(10 分)如图是二次函数 y=a（x+1）2+2 的图象的一部分，根据图象回答下列 问题 （1）抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是_，则抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标是_； （2）确定 a 的值； （3）设抛物线的顶点是 P，试求PAB 的面积 16 （10 分）如图所示，在梯形 ABCD 中，ABCD，O 为内切圆，E、F 为 切点 （1）试猜 DO 与 AO 的位置关系，并说明理由 （2）若 AO=4cm，DO=3cm，求O 的面积 17 （12 分）兴隆镇某养鸡专业户准备建造如图所示的矩形养鸡场，要求长与宽 的比为 2：1，在养鸡场内，沿前侧内墙保留 3m 宽的走道，其他三侧内墙各保留 1m 宽的走道，当矩形养鸡场长和宽各为多少时，鸡笼区域面积是 288m2？ 18 （12 分）如图，点 B、C、D 都在半径为 6 的O 上，过点 C 作 ACBD 交 OB 的延长线于点 A，连接 CD，已知CDB=OBD=30 （1）求证：AC 是O 的切线； （2）求弦 BD 的长； （3）求图中阴影部分的面积 19 （14 分）如图，ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，AB=AC，B（3，5） ， 抛物线 y= x2+bx+c 交 x 轴于点 C，D 两点，且经过点 B （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线上是否存在点 F，使得ACF 的面积等于 5，若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，说明理由； （3）点 M（4，k）在抛物线上，连接 CM，求出在坐标轴的点 P，使得PCM 是以PCM 为顶角以 CM 为腰的等腰三角形，请直接写出 P 点的坐标 者相中学者相中学九年级（上）数学九年级（上）数学竞赛试题竞赛试题试卷试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1下列车标图案中，是中心对称图形的是（） ABCD 【考点】中心对称图形 【分析】根据中心对称图形的概念求解即可 【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项错误； B、不是中心对称图形，本选项错误； C、是中心对称图形，本选项正确； D、不是中心对称图形，本选项错误 故选 C 2对于二次函数 y=（x1）2+2 的图象，下列说法正确的是（） A开口向下B对称轴是 x=1 C顶点坐标是（1，2）D与 x 轴有两个交点 【考点】二次函数的性质 【分析】根据抛物线的性质由 a=1 得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标 为（1，2） ，对称轴为直线 x=1，从而可判断抛物线与 x 轴没有公共点 【解答】解：二次函数 y=（x1）2+2 的图象开口向上，顶点坐标为（1，2） ， 对称轴为直线 x=1，抛物线与 x 轴没有公共点 故选：C 3某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的 100 元降到了 64 元设平均每 次降价的百分率为 x，则下列方程中正确的是（） A100（1+x）2=64B64（1+x）2=100 C64（1x）2=100D100（1x） 2=64 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【分析】设平均每次降价的百分率为 x，则等量关系为：原价（1x）2=现价， 据此列方程 【解答】解：设平均每次降价的百分率为 x， 由题意得，100（1x）2=64 故选 D 4 将抛物线 y=x2沿 y 轴向上平移一个单位后得到的新抛物线的解析式为 （） Ay=（x+1）2By=（x1）2Cy=x2+1 Dy=x21 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】直接根据平移规律作答即可 【解答】解：将抛物线 y=x2沿 y 轴向上平移一个单位后得到的新抛物线的解析 式为 y=x2+1， 故选 C 5已知抛物线 y=x2x2 与 x 轴的一个交点为（m，0） ，则代数式 m2m+2016 的值为（） A2015B2016C2017D2018 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析】直接利用抛物线上点的坐标性质进而得出 m2m=2，即可得出答案 【解答】解：抛物线 y=x2x2 与 x 轴的一个交点为（m，0） ， m2m2=0， m2m=2， m2m+2016=2+2016=2018 故选：D 6半径为 R 的圆内接正六边形的面积是（） AR2BR2CR2DR2 【考点】正多边形和圆 【分析】利用正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形 【解答】解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角 形的边长是 R， 因而面积是=， 因而正六边形的面积是 6=R2 故选：C 775的圆心角所对的弧长是 2.5cm，则此弧所在圆的半径是（） A6cmB7cmC8cmD9cm 【考点】弧长的计算 【分析】根据弧长公式 L=，将 n=75，L=2.5，代入即可求得半径长 【解答】解：75的圆心角所对的弧长是 2.5cm， 由 L=， 2.5=， 解得：r=6， 故选：A 8如图，在ABC 中，C=90，BAC=70，将ABC 绕点 A 顺时针旋转 70， B、 C 旋转后的对应点分别是 B和 C， 连接 BB， 则BBC的度数是 （） A35 B40 C45 D50 【考点】旋转的性质 【分析】首先在ABB中根据等边对等角，以及三角形内角和定理求得ABB 的度数，然后在直角BBC 中利用三角形内角和定理求解 【解答】解：AB=AB， ABB=ABB=55， 在直角BBC 中，BBC=9055=35 故选 A 二、填空题二、填空题 9二次函数 y=（x1）22 的顶点与 x 轴的交点所围成图形的面积是坐 4 10如图，O 的直径 CD=10，AB 是O 的弦，ABCD 于 M，且 CM=2，则 AB 的长为8 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】连接 OA，求得 OA 和 OM 的长，在直角OAM 中利用勾股定理求得 AM 的长，然后根据 AB=2AM 即可求解 【解答】解：连接 OA则 OA=OC= CD=5 则 OM=OCCM=53=3 在直角OAM 中，AM=4 ABCD 于 M， AB=2AM=8 故答案是：8 11已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象如图所示，则关于 x 的方程 x2+bx+c=0 的解 为 x1=1，x2=3 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析】抛物线与 x 轴的交点的横坐标就是 x 的值 【解答】解：关于 x 的方程 x2+bx+c=0 的解为 x1=1，x2=3 故答案是：1 12如图，两圆圆心相同，大圆的弦 AB 与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分 的面积是16 （结果保留） 【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理 【分析】设 AB 与小圆切于点 C，连结 OC，OB，利用垂径定理即可求得 BC 的 长，根据圆环（阴影）的面积=OB2OC2=（OB2OC2） ，以及勾股定理 即可求解 【解答】解：设 AB 与小圆切于点 C，连结 OC，OB AB 与小圆切于点 C， OCAB， BC=AC= AB=8=4 圆环（阴影）的面积=OB2OC2=（OB2OC2） 又直角OBC 中，OB2=OC2+BC2 圆环（阴影）的面积=OB2OC2=（OB2OC2）=BC2=16 故答案为：16 13 如图， 边长为 3 的正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转 30后得到正方形 EFCG，EF 交 AD 于点 H，那么 DH 的长是 【考点】正方形的性质；旋转的性质；解直角三角形 【分析】连接 CH，可知CFHCDH（HL） ，故可求DCH 的度数；根据三 角函数定义求解 【解答】解：连接 CH 四边形 ABCD，四边形 EFCG 都是正方形，且正方形 ABCD 绕点 C 旋转后得 到正方形 EFCG， F=D=90， CFH 与CDH 都是直角三角形， 在 RtCFH 与 RtCDH 中， ， CFHCDH（HL） DCH= DCF= （9030）=30 在 RtCDH 中，CD=3， DH=tanDCHCD= 故答案为： 三、解答题三、解答题 14如图，将四边形 ABCD 绕原点 O 旋转 180得四边形 ABCD （1）画出旋转后的四边形 ABCD； （2）写出 A、B、C、D的坐标； （3）若每个小正方形的边长是 1，请直接写出四边形 ABCD 的面积 【考点】作图-旋转变换 【分析】 （1）根据网格结构找出点 A、B、C、D 关于原点对称的点 A、B、C、 D的位置，然后顺次连接即可； （2）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可； （3）利用四边形所在的矩形的面积减去四周四个小直角三角形和一个小正方形 的面积，列式计算即可得解 【解答】解： （1）四边形 ABCD如图所示； （2）A（2，1） 、B（2，2） 、C（1，2） 、D（1，1） ； （3）S四边形ABCD=44 14 14 12 1211， =1622111， =167， =9 15如图是二次函数 y=a（x+1）2+2 的图象的一部分，根据图象回答下列问题 （1）抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是（3，0），则抛物线与 x 轴的另 一个交点 B 的坐标是（1，0）； （2）确定 a 的值； （3）设抛物线的顶点是 P，试求PAB 的面积 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析】 （1）由图象可求得 A 点的坐标，由解析式可求得抛物线的对称轴方程， 利用图象的对称性可求得 B 点坐标； （2）把 B 点坐标代入抛物线解析式可求得 a 的值； （3）由抛物线解析式可求得 P 点坐标，再结合 A、B 坐标可求得 AB 的值，则 可求得PAB 的面积 【解答】解： （1）由图象可知 A 点坐标为（3，0） ， y=a（x+1）2+2， 抛物线对称轴方程为 x=1， A、B 两点关于对称轴对称， B 的坐标为（1，0） ， 故答案为： （3，0） ； （1，0） ； （2）将（1，0）代入 y=a（x+1）2+2， 可得 0=4a+2，解得 a= ； （3）y=a（x+1）2+2， 抛物线的顶点坐标是（1，2） ， A（3，0） ，B（1，0） ， AB=XBXA=1（3）=4， SPAB= 42=4 16如图所示，在梯形 ABCD 中，ABCD，O 为内切圆，E、F 为切点 （1）试猜 DO 与 AO 的位置关系，并说明理由 （2）若 AO=4cm，DO=3cm，求O 的面积 【考点】切线的性质；梯形 【分析】 （1） 由O 是梯形 ABCD 的内切圆， 易得 DE 和 DF 是O 的两条切线， 即可得ADO+DAO=（ADC+DAB） ，又由 ABCD，可得ADO+ DAO=90，继而证得结论； （2）由 AO=4cm，DO=3cm，可求得 AD 的长，继而求得 EO 的长，则可求得答 案 【解答】解： （1）AODO 理由：O 是梯形 ABCD 的内切圆， DE 和 DF 是O 的两条切线， ADO=CDO= ADC 同理可得：DAO= DAB ADO+DAO=（ADC+DAB） ， ABCD， ADC+DAB=180， ADO+DAO=180=90， AOD=180（ADO+DAO）=90， AODO； （2）DO=3cmAO=4cm，AOD=90 AD=5 cm， 在 RtAOD 中，EOAD， ADEO=DOAO， 即 5 EO=34， 解得 EO=cm， SO=EO2= （）2= 17 兴隆镇某养鸡专业户准备建造如图所示的矩形养鸡场， 要求长与宽的比为 2： 1，在养鸡场内，沿前侧内墙保留 3m 宽的走道，其他三侧内墙各保留 1m 宽的走 道，当矩形养鸡场长和宽各为多少时，鸡笼区域面积是 288m2？ 【考点】一元二次方程的应用 【分析】等量关系为： （鸡场的长4） （鸡场的宽2）=288，把相关数值代入求 得合适的解即可 【解答】解：设鸡场的宽为 xm，则长为 2xm （2x4） （x2）=288， （x14） （x+10）=0， 解得 x=14，或 x=10（不合题意，舍去） 2x=28 答：鸡场的长为 28m，宽为 14m 18如图，点 B、C、D 都在半径为 6 的O 上，过点 C 作 ACBD 交 OB 的延 长线于点 A，连接 CD，已知CDB=OBD=30 （1）求证：AC 是O 的切线； （2）求弦 BD 的长； （3）求图中阴影部分的面积 【考点】切线的判定；垂径定理的应用；扇形面积的计算 【分析】 （1）连接 OC，OC 交 BD 于 E，由CDB=OBD 可知，CDAB，又 ACBD，四边形 ABDC 为平行四边形，则A=D=30，由圆周角定理可知 COB=2D=60，由内角和定理可求OCA=90，证明切线； （2）利用（1）中的切线的性质和垂径定理以及解直角三角形来求 BD 的长度； （3）证明OEBCED，将阴影部分面积问题转化为求扇形 OBC 的面积 【解答】 （1）证明：连接 OC，OC 交 BD 于 E， CDB=30， COB=2CDB=60， CDB=OBD， CDAB， 又ACBD， 四边形 ABDC 为平行四边形， A=D=30， OCA=180ACOB=90，即 OCAC 又OC 是O 的半径， AC 是O 的切线； （2）解：由（1）知，OCAC ACBD， OCBD， BE=DE， 在直角BEO 中，OBD=30，OB=6， BE=OBcos30=3， BD=2BE=6； （3）解：易证OEBCED， S阴影=S扇形BOC S阴影=6 答：阴影部分的面积是 6 19如图，ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，AB=AC，B（3，5） ，抛物 线 y= x2+bx+c 交 x 轴于点 C，D 两点，且经过点 B （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线上是否存在点 F，使得ACF 的面积等于 5，若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，说明理由； （3）点 M（4，k）在抛物线上，连接 CM，求出在坐标轴的点 P，使得PCM 是以PC