复变函数与积分变换复习重点及精选习题.pdf

1 复变函数与积分变换期末考试复习知识点复变函数与积分变换期末考试复习知识点 (一)复数的概念 1.1.复数复数的概念的概念：zxiy，, x y是实数, Re,Imxzyz. 2 1i . 注：两个复数不能比较大小. 2.2.复数的表示复数的表示 1 1）模：）模： 22 zxy； 2）幅角）幅角：在0z 时，矢量与x轴正向的夹角，记为 Arg z（多值函数） ；主值 arg z是位于(, 中的幅角。 3） arg z与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x argarctan y z x ； 当 0,argarctan 0, 0,argarctan y yz x x y yz x ； 4）三角表示三角表示：cossinzzi，其中 argz 2 ；注：中间一定是“+”号。 5）指数表示指数表示： i zz e ，其中argz。 (二) 复数的运算 1.1.加减法加减法：若 111222 ,zxiy zxiy，则 121212 zzxxi yy 2.2.乘除法乘除法： 1）若 111222 ,zxiy zxiy，则 1 212122112 z zx xy yi x yx y； 1122 11112121221 2222 22222222222 xi yxi yzxi yx xy yy xy x i zxi yxi yxi yxyxy 。 2）若 12 1122 , ii zz ezz e , 则 12 1 212 i z zzz e ； 12 1 1 22 i zz e zz 3.3.乘幂与方根乘幂与方根 若(cossin ) i zziz e ，则(cossin) nn nin zzninz e 。 若(cossin ) i zziz e ，则 3 1 22 cossin(0,1,21) n n kk zzikn nn （有n个相异的值） （三）复变函数 1 1复变函数：复变函数： wf z，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射. 2 2复复初等函数初等函数 1 1）指数函数：）指数函数：cossin zx eeyiy，在z平面处处可导，处处解析；且 zz ee 。 注： z e是以2 i为周期的周期函数。 （注意与实函数不同） 对数函数：对数函数： ln(arg2)Lnzzizk(0, 1, 2)k （多值函数） ； 主值：lnlnargzziz。 （单值函数） Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且 1 lnz z ； 注：负复数也有对数存在。 （与实函数不同） 3 3）乘幂与幂函数：）乘幂与幂函数：(0) bbLna aea；(0) bbLnz zez 注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且 1bb zbz 。 4 4）三角函数：）三角函数： sincos sin,cos,t, 22cossin iziziziz eeeezz zzgzctgz izz 4 sin ,coszz在z平面内解析，且sincos , cossinzzzz 注：有界性sin1, cos1zz不再成立； （与实函数不同） 双曲函数双曲函数 , 22 zzzz eeee shzchz ； shz奇函数，chz是偶函数。,shz chz在z平面内解析，且,shzchz chzshz 。 （四）解析函数的概念 1复变函数的导数复变函数的导数 1）点可导：）点可导： 0 fz= 00 0 lim z f zzf z z ； 2）区域可导区域可导： fz在区域内点点可导。 2解析函数解析函数的概念的概念 1）点解析： fz在 0 z及其 0 z的邻域内可导，称 fz在 0 z点解析； 2）区域解析： fz在区域内每一点解析，称 fz在区域内解析； 3）若( )f z在 0 z点不解析，称 0 z为 fz的奇点； 5 3解析函数的运算法则解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数； （五）函数可导与解析的充要条件 1 1函数可函数可导导的充要条件的充要条件： ,f zu x yiv x y在zxiy可导 ,u x y和,v x y在, x y可微，且在, x y 处满足CD条件：, uvuv xyyx 此时， 有 uv fzi xx 。 2函数解析的充要条件函数解析的充要条件： ,f zu x yiv x y在区域内解析 ,u x y和,v x y在, x y在D内可微，且满足CD条件：, uvuv xyyx ； 此时 uv fzi xx 。 注： 若,u x yv x y在区域D具有一阶连续偏导数，则,u x yv x y在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明, u v具有一阶连续偏 导且满足CR条件时，函数( )f zuiv一定是可导或解析的。 3 3函数可导与解析的判别方法函数可导与解析的判别方法 1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题 1） 2）利用充要条件 （函数以 ,f zu x yiv x y形式给出，如第二章习题 2） 6 3）利用可导或解析函数的四则运算定理。 （函数 fz是以z的形式给出，如第二章习题 3） （六）复变函数积分的概念与性质 复变函数积分复变函数积分的概念的概念： 1 lim n kk cn k f z dzfz ，c是光滑曲线。 注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。 复变函数积分的性质复变函数积分的性质 1 cc f z dzf z dz （ 1 c与c的方向相反） ； , , ccc f zg z dzf z dzg z dz 是常数； 3） 若曲线c由 1 c与 2 c连接而成，则 12 ccc f z dzf z dzf z dz 。 3 3复变函数积分的一般计算法复变函数积分的一般计算法 1）化为线积分： ccc f z dzudxvdyivdxudy ； （常用于理论证明） 2）参数方法：设曲线c： ()zz tt ，其中对应曲线c的起点，对应曲线c的终点，则 ( ) c f z dzf z tz t dt 。 （七）关于复变函数积分的重要定理与结论 1 1柯西柯西古萨基本定理古萨基本定理：设 fz在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线，则 0 c f z dz 7 2 2复合闭路定理复合闭路定理： 设 fz在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲线， 12 , n c cc是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以 12 , n c cc为 边界的区域全含于D内，则 c f z dz 1 , k n k c f z dz 其中c与 k c均取正向； 0f z dz ，其中由c及 1( 1,2,)ckn 所组成的复合闭路。 3 3闭路变形原理闭路变形原理 ： 一个在区域D内的解析函数 fz沿闭曲线c的积分，不因c在D内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使 fz不解析 的奇点。 4 4解析函数沿非闭曲线的积分解析函数沿非闭曲线的积分： 设 fz在单连域B内解析， G z为 fz在B内的一个原函数，则 2 1 2112 ( ,) z z f z dzG zG zz zB 说明：解析函数 fz沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。 5 5。 柯西积分公式柯西积分公式：设 fz在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，c的内部完全属于D， 0 z为c内任意一点，则 0 0 2 c f z dzif z zz 6 6高阶导数公式高阶导数公式：解析函数 fz的导数仍为解析函数，它的n阶导数为 0 1 0 2 (1,2) ()! n n c f zi dzfzn zzn 其中c为 fz的解析区域D内围绕 0 z的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D。 7重要结论：重要结论： 8 1 2,0 1 0,0()n c in dz nza 。 （c是包含a的任意正向简单闭曲线） 8 8复变函数积分的计算方法复变函数积分的计算方法 1）若 fz在区域D内处处不解析，用一般积分法 c f z dzf z tz t dt 2）设 fz在区域D内解析， c是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西古萨定理， 0 c f z dz c是D内的一条非闭曲线， 12 ,z z对应曲线c的起点和终点，则有 2 1 21 z cz f z dzf z dzF zF z 3）设 fz在区域D内不解析 曲线c内仅有一个奇点： 0 0 0 1 0 2 2 ()! c n n c f z dzi f z zz f zi dzfz zzn （( )f z在c内解析） 曲线c内有多于一个奇点： c f z dz 1 k n k c f z dz （ i c内只有一个奇点 k z） 或： 1 2Re ( ), n k k c f z dzis f z z （留数基本定理） 9 若被积函数不能表示成 1 ()n o f z zz ，则须改用第五章留数定理来计算。 （八）解析函数与调和函数的关系 1 1调和函数的概念调和函数的概念：若二元实函数( , )x y在D内有二阶连续偏导数且满足 22 22 0 xy ， ( , )x y为D内的调和函数。 2 2解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系 解析函数 f zuiv的实部u与虚部v都是调和函数，并称虚部v为实部u的共轭调和函数。 两个调和函数u与v构成的函数( )f zuiv不一定是解析函数；但是若, u v如果满足柯西 黎曼方程，则uiv一定是解析函数。 3 3已知解已知解析函数析函数 fz的实部或虚部，求解析函数的实部或虚部，求解析函数 f zuiv的方法。的方法。 1）偏微分法：若已知实部,uu x y，利用CR条件，得, vv xy ； 对 vu yx 两边积分，得 u vdyg x x （*） 再对（*）式两边对x求偏导，得 vudy gx xxx （*） 10 由CR条件， uv yx ，得 uudy gx yxx ，可求出 g x； 代入（*）式，可求得 虚部 u vdyg x x 。 2）线积分法：若已知实部,uu x y，利用CR条件可得 vvuu dvdxdydxdy xyyx ， 故虚部为 00 , , x y xy uu vdxdyc yx ； 由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中 00 ,xy与, x y 是解析区域中的两点。 3）不定积分法：若已知实部,uu x y，根据解析函数的导数公式和CR条件得知， uvuu fzii xyxy 将此式右端表示成z的函数 U z，由于 fz仍为解析函数，故 f zU z dzc （c为实常数） 注：若已知虚部v也可用类似方法求出实部. u （九）复数项级数 1 1复数列的极限复数列的极限 11 1）复数列 nnn aib（1,2n）收敛于复数abi的充要条件为 lim,lim nn nn aabb （同时成立） 2）复数列 n 收敛实数列 , nn ab同时收敛。 2 2复数项级数复数项级数 1）复数项级数 0 () nnnn n aib 收敛的充要条件是级数 0 n n a 与 0 n n b 同时收敛； 2）级数收敛的必要条件是lim0 n n 。 注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。 （十）幂级数的敛散性 1幂级数的概念幂级数的概念：表达式 0 0 ()n n n czz 或 0 n n n c z 为幂级数。 2 2幂级数的敛散性幂级数的敛散性 1 1）幂级数的收敛定理幂级数的收敛定理阿贝尔定理阿贝尔定理(Abel)(Abel)：如果幂级数 0 n n n c z 在 0 0z 处收敛，那么对满足 0 zz的一切z，该级数绝对收敛；如果在 0 z处发散，那么对满 足 0 zz的一切z，级数必发散。 2 2）幂级数的收敛域幂级数的收敛域圆域圆域 12 幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。 3 3）收敛半径的求法收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。 比值法 如果 1 lim0 n n n c c ，则收敛半径 1 R ； 根值法 lim0 n n c ，则收敛半径 1 R ； 如果0，则R ；说明在整个复平面上处处收敛； 如果，则0R ；说明仅在 0 zz或0z 点收敛； 注：若幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。 （如 2 0 n n n c z ） 3 3幂级数的性质幂级数的性质 1）代数性质代数性质：设 00 , nn nn nn a zb z 的收敛半径分别为 1 R与 2 R，记 12 min,RR R， 则当zR时，有 000 () nnn nnnn nnn ab za zb z （线性运算） 01 10 000 ()()() nnn nnnnn nnn a zb za baba b z （乘积运算） 13 2）复合性质复合性质：设当r时， 0 n n n fa ，当zR时， g z解析且 g zr， 则当zR时， 0 n n n f g za g z 。 分析运算性质分析运算性质：设幂级数 0 n n n a z 的收敛半径为0R ，则 其和函数 0 n n n f za z 是收敛圆内的解析函数； 在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且 1 0 n n n fzna z zR 在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变； 1 0 0 1 z n n n a f z dzz n zR （十一）幂函数的泰勒展开 1. 1. 泰勒展开：泰勒展开：设函数 fz在圆域 0 zzR内解析，则在此圆域内 fz可以展开成幂级数 0 0 0 ! n n n fz f zzz n ；并且此展开式是唯一的。 注：若 fz在 0 z解析，则 fz在 0 z的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径 0 Rza； 其中R为从 0 z到 fz的距 0 z最近一个奇点a之间的距离。 2 2常用常用函数在函数在 0 0z 的泰勒展开式的泰勒展开式 14 1） 23 0 1 1 !2!3! n zn n zzz ezz nn z 2） 2 0 1 1 1 nn n zzzz z 1z 3） 35 2121 0 ( 1)( 1) sin (21)!3!5!(21)! nn nn n zz zzzz nn z 4） 24 22 0 ( 1)( 1) cos1 (2 )!2!4!(2 )! nn nn n zz zzz nn z 3 3解析函数展开成泰勒级数的方法解析函数展开成泰勒级数的方法 1）直接法：直接求出 0 1 ! n n cfz n ，于是 0 0 n n n f zczz 。 2）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。 （十二）幂函数的洛朗展开 1. 1. 洛朗级数的概念洛朗级数的概念： 0 n n n czz ，含正幂项和负幂项。 2 2洛朗展开定理洛朗展开定理：设函数 fz在圆环域 102 RzzR内处处解析，c为圆环域内绕 0 z的任意一条正向简单闭曲线，则在此在圆环域内，有 0 n n n fzczz ，且展开式唯一。 15 3 3解析函数的洛朗展开法解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。 * *4 4利用洛朗级数求利用洛朗级数求围线积分围线积分：设：设 fz在 0 rzzR内解析，c为 0 rzzR内的任何一条正向简单闭曲线，则 1 2 c f z dzic 。其中 1 c为( )f z在 0 rzzR内洛朗展开式中 0 1 zz 的系数。 说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中 1 0 ()zz 的系数。 （十三）孤立奇点的概念与分类 1 1。 孤立奇点的孤立奇点的定义定义 ： fz在 0 z点不解析,但在 0 z的 0 0zz内解析。 2 2。孤立奇点的类型孤立奇点的类型： 1）可去奇点：展开式中不含 0 zz的负幂项； 2 01020 f zcczzczz 2）极点：展开式中含有限项 0 zz的负幂项； (1)2 1 01020 1 000 ()() ()()() m m mm c cc f zcc zzc zz zzzzzz 0 , ()m g z zz 其中 1 (1)01000 ()()() mm mm g zcczzczzc zz 在 0 z解析， 且 0 0,1,0 m g zmc； 3）本性奇点：展开式中含无穷多项 0 zz的负幂项； 16 1 0100 00 ()() ()() m m m m cc f zcc zzczz zzzz （十四）孤立奇点的判别方法 1可去奇点： 0 0 lim zz f zc 常数； 2极点： 0 lim zz f z 3本性奇点： 0 lim zz f z 不存在且不为。 4零点与极点的关系 1）零点的概念：不恒为零的解析函数 fz，如果能表示成 0 ()mf zzzz， 其中 z在 0 z解析， 0 0,zm为正整数，称 0 z为 fz的m级零点； 2）零点级数判别的充要条件 0 z是 fz的m级零点 0 0 0,(1,2,1) 0 n m fznm fz 3）零点与极点的关系： 0 z是 fz的m级零点 0 z是 1 f z 的m级极点； 4）重要结论 若za分别是 z与 z的m级与n级零点，则 17 za是 z z的mn级零点； 当mn时，za是 z z 的mn级零点； 当mn时，za是 z z 的nm级极点； 当mn时，za是 z z 的可去奇点； 当mn时，za是 zz的l级零点，min( , )lm n 当mn时，za是 zz的l级零点，其中( )lm n （十五）留数的概念 1 1留数的定义留数的定义：设 0 z为 fz的孤立奇点， fz在 0 z的去心邻域 0 0zz内解析，c为该域内包含 0 z的任一正向简单闭曲线，则称积分 1 2 c f z dz i 为 fz在 0 z的留数（或残留） ，记作 0 Re ,s f zz 1 2 c f z dz i 2 2留数的计算方法留数的计算方法 若 0 z是 fz的孤立奇点，则 0 Re ,s f zz 1 c，其中 1 c为 fz在 0 z的去心邻域内洛朗展开式中 1 0 ()zz 的系数。 1 1）可去奇点处的留数可去奇点处的留数：若 0 z是 fz的可去奇点，则 0 Re ,s f zz0 18 2 2）m级极点处的留数级极点处的留数 法则法则 I I 若 0 z是 fz的m级极点，则 0 Re ,s f zz 0 1 0 1 1 lim() (1)! m m m zz d zzf z mdz 特别地，若 0 z是 fz的一级极点，则 0 Re ,s f zz 0 0 lim() zz zzf z 注注：如果极点的实际级数比m低，上述规则仍然有效。 法则法则 IIII 设 P z f z Q z ， ,P zQ z在 0 z解析， 0 0,P z 00 0,0Q zQz，则 0 0 0 Re , P zP z sz Q zQ z （十六）留数基本定理 设 fz在区域D内除有限个孤立奇点 12 , n z zz外处处解析，c为D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则 1 2Re , n c n f z dzis f zz 说明：说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数 fz在c内各孤立奇点处留数的局部问题。 19 积分变换复习提纲 一、傅里叶变换的概念 ( )( )( ) jwt F f tf t edtF w 1 1 ( )( )( ) 2 j t FFFedf t 二、几个常用函数的傅里叶变换 1 ( )F e t j 1 ( )( )F u t j ( )1Ft 12( )F 三、傅里叶变换的性质 位移性位移性（时域）（时域） ： 0 0 () jwt F f tte ( )F f t 位移性位移性（频域）（频域） ： 0 0 0 ( )( )() jw t w w w F ef tF wF ww 位移性推论：位移性推论： 000 1 sin( ) ()() 2 Fw t f tF wwF ww j 20 位移性推论：位移性推论： 000 1 cos( ) ()() 2 Fw t f tF wwF ww 微分性微分性（时（时域）域） ：( )() ( )F f tjw F w （,( )0tf t ） ， ( ) ( )()( ) nn F ftjw F w， (1) ,( )0 n tft 微分性微分性（频域）（频域） ： ( ) (),()( )( ) nn Fjt f tFwFjtf tFw 相似性：相似性： 1 ()() w F f atF aa (0)a 四、拉普拉斯变换的概念 0 ( )( )( ) st L f tf t edtF s 五、几个常用函数的拉普拉斯变换 1 kt L e sk ； 11 (1)! ( m mm mm L tm ss 是自然数是自然数)； （ 1 (1)1, ( ), (1)( ) 2 mmm） 1 ( )1L u tL s ； ( )1Lt 2222 sin,cos ks LktLkt sksk 2222 s, ks LhktL chkt sksk 21 设()( )f tTf t，则 0 1 ( )( ) 1 T Ts L f tf t dt e 。 （( )f t是以T为周期的周期函数） 六、拉普拉斯变换的性质 微分性（时域）微分性（时域） ： 2 0 , ( )( )(0)(0)L ftsF sfL fts F ssff 微分性（频域微分性（频域） ： ( )L tf tF s， ( ) () nn Ltf tFs 积分性（时域积分性（时域） ： 0 tF s Lf t dt s 积分性（频域积分性（频域） ： s f t LF s ds t （收敛） 位移性（时域位移性（时域） ： at L ef tF sa 位移性（频域位移性（频域） ： s L f teF s （0,0, ( )0tf t） 相似性：相似性： 1 ()( ) s L f atF aa (0)a 七、卷积及卷积定理 1212 ( )*( )( )()f tf tff td 1212 ( )( )( )( )F f tf tF w F w 1212 1 ( )( )( )( ) 2 F f tf tF wF w 22 1212 ( )( )( )( )L f tf tF sF s 八、几个积分公式 ( ) ( )(0)f tt dtf 00 ( ) ()( )f ttt dtf t 000 ( ) ( )( ) f t dtL f t dsF s ds t 0 ( ) ( ) kt s k f t edtL f t 复变函数与积分变换期末试题复变函数与积分变换期末试题 一填空题（每小题 3 分，共计 15 分） 1 2 31i 的幅角是（2, 1, 0,2 3 kk ） ；2.)1(iLn的主值是（ i 4 3 2ln 2 1 ） ；3. 2 1 1 )( z zf ，)0( )5( f （ 0 ） ， 23 40z是 4 sin z zz 的（ 一级一级 ）极点；5 z zf 1 )( ，),(Rezfs（- -1 1 ） ； 二选择题（每题二选择题（每题 3 分，共分，共 15 分）分） 1解析函数),(),()(yxivyxuzf的导函数为（ ） ； （A） yx iuuzf)( ； （B） yx iuuzf ) ( ； （C） yx ivuzf ) ( ； （D） xy ivuzf)( . 2C 是正向圆周3z，如果函数)(zf（ ） ，则0d)( C zzf （A） 2 3 z ； （B） 2 ) 1(3 z z ； （C） 2 )2( ) 1(3 z z ； （D） 2 )2( 3 z . 3如果级数 1n n nz c 在2z点收敛，则级数在 24 （A）2z点条件收敛 ； （B）iz2点绝对收敛； （C）iz1点绝对收敛； （D）iz21点一定发散 下列结论正确的是( ) （A）如果函数)(zf在 0 z点可导，则)(zf在 0 z点一定解析； (B) 如果)(zf在 C 所围成的区域内解析，则 0)( C dzzf （C）如果 0)( C dzzf ，则函数)(zf在 C 所围成的区域内一定解析； （D）函数),(),()(yxivyxuzf在区域内解析的充分必要条件是),(yxu、),(yxv在该区域内均为调和函数 5下列结论不正确的是（ ） (A) 的可去奇点；为 z 1 sin (B) 的本性奇点；为zsin 25 (C) ; 1 sin 1 的孤立奇点为 z (D) . sin 1 的孤立奇点为 z 三按要求完成下列各题（每小题 10 分，共 40 分） （1） 设)()( 2222 ydxycxibyaxyxzf是解析函数，求.,dcba 解：因为)(zf解析，由 C-R 条件 y v x u x v y u ydxayx22,22dycxbyax , 2, 2da，,2 ,2dbca, 1, 1bc 给出给出 C C- -R R 条件条件 6 6 分，正确求导给分，正确求导给 2 2 分，结果正确分，结果正确 2 2 分。分。 26 （2） 计算 C z z zz e d ) 1( 2 其中 C 是正向圆周： 解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程 因为函数 zz e zf z 2 ) 1( )( 在复平面内只有两个奇点1, 0 21 zz ，分别以 21,z z 为圆心画互不相交互不包含的小圆 21,c c 且位于 c 内 21 d ) 1( d ) 1( d ) 1( 2 2 2 C z C z C z z z z e z z z e z zz e i z e i z e i z z z z 2 ) 1( 2)(2 0 2 1 无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。 （3） 3 3422 15 d )2()1 ( z z zz z 解：设)(zf在有限复平面内所有奇点均在：3z内，由留数定理 27 ),(Re2d )2()1 ( 3 3422 15 zfsiz zz z z -（5 分） 1 ) 1 (Re2 2 zz fsi -（8 分） 2 342 2 15 2 1 ) 1 (2() 1 1 ( ) 1 ( 1 ) 1 ( z zz z zz f 0,z ) 12()1 ( 11 ) 1 ( 34222 有唯一的孤立奇点 zzzzz f 1 ) 12()1 ( 11 ) 1 (0 , 1 ) 1 (Re 3422 0 2 0 2limlim zzzz zf zz fs zz 3 3422 15 2d )2()1 ( z iz zz z -（10 分） （4）函数 2 3 32 ) 3( )(sin )2)(1( )( z z zzz zf 在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级. 28 解 ： ，的奇点为, 3, 2, 1, 0, )(sin )3()2)(1( )( 3 232 kkz z zzzz zf （1） 的三级零点，的三级零点，）为（为（03210 3 zkkz sin, （2）的可去奇点，的可去奇点，是是的二级极点，的二级极点，为为，)()(,zfzzfzz210 （3）的一级极点，为)(3zfz （4）的三级极点；，为)(4, 3, 2zfz （5）的非孤立奇点。的非孤立奇点。为为)(zf 备注：给出全部奇点给 5 分 ，其他酌情给分。 四、 （本题 14 分）将函数 ) 1( 1 )( 2 zz zf在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110 z， （2）10 z， （3） z1 29 解： （1）当110 z ) 11( 1 ) 1( 1 ) 1( 1 )( 2 zzzz zf 而 ) 1() 1( ) 11( 1 0 n nn z z 0 1 ) 1() 1( n nn zn 0 21 ) 1() 1()( n nn znzf -6 分 （2）当10 z )1 ( 1 ) 1( 1 )( 22 zzzz zf = 0 2 1 n n z z 30 0 2 n n z -10 分 （3）当 z1 ) 1 1 ( 1 ) 1( 1 )( 3 2 z z zz zf 0 3 0 3 1 ) 1 ( 1 )( n n n n zzz zf -14 分 每步可以酌情给分。 五 （本题 10 分）用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题： 1)0(1)0( )(4)(5)( yy exyxyxy x 解：对)(xy的Laplace 变换记做)(sL，依据Laplace 变换性质有 31 1 1 )(4) 1)(51)( 2 s sLssLssLs （5 分） 整理得 )4(15 1 ) 1(6 5 ) 1(10 1 1 1 )4(15 1 ) 1(6 1 ) 1(10 1 1 1 )4)(1)(1( 1 )( sss ssss ssss sL （7 分） xxx eeexy 4 15 1 6 5 10 1 )( （10 分） 六、 （6 分）求)()(0 t etf 的傅立叶变换，并由此证明： t ed t 2 0 22 cos 解： )()(0 dteeF t ti -3 分 32 )()(0 0 0 dteedteeF ttitti )( )()( 0 0 0 dtedte titi )( )()( 0 0 0 i e i e titi )()(0 211 22 ii F -4 分 )()()(0 2 1 dFetf ti - -5 分 )(0 2 2 1 22 de ti )()sin(cos0 1 22 dtit 33 得分 得分 得分 )( sincos 0 2 22 0 22 d ti d t )( cos )(0 2 0 22 d t tf， -6 分 t ed t 2 0 22 cos 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 期末试题简答及评分标准（期末试题简答及评分标准（B） 一 填空题（每小题 3 分，共计 15 分） 1 2 1 i 的幅角是 （的幅角是 （ , 2, 10,2 4 kk ） ；） ； 2.2.)1(iLn的主值是 （的主值是 （ 4 2ln 2 1 i ） ；） ； 3.3. 2 1 1 )( z zf ，)0( )7( f （ 0 0 ） ；） ； 4 4 3 sin )( z zz zf ，0),(Rezfs（ 0 0 ） ；5 5 2 1 )( z zf ，),(Rezfs（ 0 0 ）；）； 二选择题（每小题二选择题（每小题 3 分，共计分，共计 15 分）分） 1解析函数 ),(),()(yxivyxuzf 的导函数为（ ） ； 34 （A） xy ivuzf)( ； （B） yx iuuzf ) ( ； （C） yx ivuzf ) ( ； （D） yx iuuzf)( . 2C 是正向圆周2z，如果函数)(zf（ ） ，则0d)( C zzf （A） 1 3 z ； （B） 1 3 z z ； （C） 2 ) 1( 3 z z ； （D） 2 ) 1( 3 z . 3如果级数 1n n nz c在iz2点收敛，则级数在 （A）2z点条件收敛 ； （B）iz2点绝对收敛； （C）iz1点绝对收敛； （D）iz21点一定发散 下列结论正确的是( ) （A）如果函数)(zf在 0 z点可导，则)(zf在 0 z点一定解析； (B) 如果0)( C dzzf,其中 C 复平面内正向封闭曲线, 则)(zf在 C 所围成的区域内一定解析； 35 （C）函数)(zf在 0 z点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为 0 zz 的幂级数，而且展开式是唯一的； （D）函数),(),()(yxivyxuzf在区域内解析的充分必要条件是),(yxu、),(yxv在该区域内均为调和函数 5下列结论不正确的是（ ） （A） 、l n z是复平面上的多值函数； cosz)B(、是无界函数； zsin)C(、 是复平面上的有界函数； （D） 、 z e是周期函数 三按要求完成下列各题（每小题三按要求完成下列各题（每小题 10 分，共计分，共计 40 分）分） （1）求 dcba, 使)()( 2222 ydxycxibyaxyxzf是解析函数， 解：因为)(zf解析，由 C-R 条件 y v x u x v y u 得分 36 ydxayx22,22dycxbyax , 2, 2da，,2 ,2dbca, 1, 1bc 给出给出 C C- -R R 条件条件 6 6 分，正确求导给分，正确求导给 2 2 分，结果正确分，结果正确 2 2 分。分。 （2） C z zz d ) 1( 1 2其中 C 是正向圆周2z； 解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程 因为函数 zz zf 2 ) 1( 1 )( 在复平面内只有两个奇点1, 0 21 zz ，分别以 21,