希望杯八年级数学竞赛试题B第11届至第24届含答案.pdf

全国“希望杯”八年级数学竞赛试题集 全国“希望杯”八年级数学竞赛试题集 B 部分 第十一届（2000 年）至第二十四届（2013 年） B 部分 第十一届（2000 年）至第二十四届（2013 年） 试题及答案，初赛及决赛 试题及答案，初赛及决赛 - 2 - 第十一届“希望杯”数学竞赛初二第一试第十一届“希望杯”数学竞赛初二第一试 一、选择题： 一、选择题： 1与的关系是（ ）。 （A）互为倒数 （B）互为相反数 （C）互为负倒数 （D）相等 2已知 x0，则的值是（ ）。 （A）0 （B）-2 （C）0 或-2 （D）0 或 2 3适合|2a7|2a-1|8 的整数 a 的值的个数有（ ）。 （A）5 个 （B）4 个 （C）3 个 （D）2 个 4如图 1，四边形 ABCD 中，AB/CD，D2B，若 ADa，ABb，则 CD 的长等于（ ）。 （A）b-a （B）b- （C）(b-a) （D）2(b-a) 5有四条线段，a14，b13，c9，d7，用 a、c 分别作一个梯形的下、上两底，用 b、 d 分别作这个梯形的两腰(作出的全等的梯形算一种)，那么这样的梯形（ ）。 （A）只能作一种 （B）可以作两种 （C）可以作无数种 （D）一种也作不出 6当 1x2 时，代数式可以化简为（ ）。 （A）0 （B）2 （C）2 （D）-2 7已知a, b，则用 a、b 表示为（ ）。 （A） （B） （C） （D） 8互不相等的三个正数 a、b、c 恰为一个三角形的三条边长，则以下列三个数为长度的线 段一定能作成三角形的是（ ）。 （A）, , （B）a 2, b2, c2 （C）, , （D）|a-b|, |b-c|, |c-a| 9在一个凸八边形中，每三个顶点形成三个角(如又 A、B、C 三个顶点形成ABC、BAC、 ACB)，一共可以作出 168 个角，那么这些角中最小的一个一定（ ）。 （A）小于或等于 20 （B）小于或等于 22. .5 （C）小于或等于 25 （D）小于或等于 27. .5 10设 a、b、c 均为正数，若，则 a、b、c 三个数的大小关系是（ ）。 （A）c0，则 |c ba b ac a cb+ + + + + 的值是( ) （A）3 （B）1 （C）3 或1 （D）3 或 1 5设实数 a、b、c 满足 aAC，AD、AE 分别是 BC 边上的中线和A 的平分线，则 AD 和 AE 的大小关系是 AD AE。(填“”、“ 122 5 题号 16 17 18 19 20 答案 25 11 8 3 32 2 601 三解答题： 21|ab| a b b， a-b= a b , a2ab=b, 解得 b= 1a a 2 + , ( a 1 b 1 ) 2 ) 1ba (=)ba (1 ab ab = ab a b (1 a b ) = 2 a 1 a ba = 4 a b = ) 1a (a 1 2 + . 若 a、b 同为负数，由 a b a， a-b= a b , a2ab=b, 解得 b= 1a a 2 , ( a 1 b 1 ) 2 ) 1ba (=)ba (1 ab ab = ab a b (1 a b ) 3 a ba+ = 3 2 a 1a a a + = ) 1a (a 1a2 2 . - 9 - A B C D E F 图6 G 综上所述，当 a、b 同为正数时，原式的结果为 ) 1a (a 1 2 + ；当 a、b 同为负数时， 原式的结果为 ) 1a (a 1a2 2 22将ADF 绕 A 点顺时针方向旋转 90到ABG 的位置， AGAF，GABFAD15， GAE153045， EAF90(3015) 45， GAEFAE，又 AEAE， AEFAEG， EFEG， AEFAEG60， 在 RtABE 中，AB3，BAE30， AEB60，BE1， 在 RtEFC 中，FEC180(6060)60， ECBCBE31，EF2(31)， EG2(31)，SAEG 2 1 EGAB33， SAEFSAEG33. 23 将第一个球先放入，有 5 种不同的的方法，再放第二个球，这时以 4 种不 同的放法，依此类推，放入第三、四、五个球，分别有 3、2、1 种放法，所以总共有 5 4321120 种不同的放法。 将 1 号球放在 1 号盒子中，其余的四个球随意放，它们依次有 4、3、2、1 种不 同的放法，这样共有 432124 种不同的放法。 (解法一) 在这 120 种放法中， 排除掉全部不对号的放法， 剩下的就是至少有一个球放入了同 号的盒子中的放法种数。 为研究全部不对号的放法种数的计算法，设 A1为只有一个球放入一个盒子，且不 对号的放法种数，显然 A10，A2为只有二个球放入二个盒子，且不对号的放法种数， A21，A3为只有三个球放入三个盒子，且都不对号的放法种数，A32，A n 为有 n 个球放入 n 个盒子，且都不对号的放法种数。 下面我们研究 A n+1的计算方法，考虑它与 A n及 A n1的关系， 如果现在有 n 个球已经按全部不对号的方法放好， 种数为 A n。 取其中的任意一种， 将第 n1 个球和第 n1 个盒子拿来，将前面 n 个盒子中的任一盒子(如第 m 个盒子) 中的球(肯定不是编号为 m 的球)放入第 n1 个盒子， 将第 n1 个球放入刚才空出来的 盒子，这样的放法都是合理的。共有 n A n种不同的放法。 但是，在刚才的操作中，忽略了编号为 m 的球放入第 n1 个盒子中的情况，即还 有这样一种情况，编号为 m 的球放入第 n1 个盒子中，且编号为 n1 的球放入第 m 个盒子中，其余的 n1 个球也都不对号。于是又有了 nA n1种情况是合理的。 综上所述得 A n1nA nnA n1n(A nA n1). - 10 - 由 A1=0, A2=1, 得 A3=2(10)=2, A43(21)=9, A54(92)=44. 所以至少有一个球放入了同号的盒子中的放法种数为全部放法的种数减去五个球 都不对号的放法种数，即 1204476 种。 (解法二) 从五个球中选定一个球，有 5 种选法，将它放入同号的盒子中 (如将 1 号球放入 1 号盒子)，其余的四个球随意放，有 24 种放法，这样共有 524120 种放法。 但这些放法中有许多种放法是重复的，如将两个球放入同号的盒子中(例如 1 号球 和 2 号球分别放入 1 号盒子、2 号盒子中)的放法就计算了两次，这样从总数中应减去 两个球放入同号的盒子中的情况，得 120 2 5 C 3 3 P12060(种)。 很明显，这样的计算中，又使得将三个球放入同号的盒子中(例如 1 号球、2 号球 和 3 号球分别放入 1 号盒子、2 号盒子和 3 号盒子中)的放法少计算了一次，于是前面 的式子中又要加入 3 5 C 2 2 P20 种， 再计算四个球、 五个球放入同号盒子的情况， 于是再减去四个球放入同号盒子中的 情况 1 1 4 5P C，最后加上五个球放入同号中的情况 5 5 C。 整个式子为 120 2 5 C 3 3 P 3 5 C 2 2 P 1 1 4 5P C 5 5 C12060205176(种)。 - 11 - 希望杯第十二届（希望杯第十二届（2001 年）初中二年级第一试试题年）初中二年级第一试试题 一、选择题(第小题 5 分共 50 分) 1设 x=20002001,y=19992000 则 xy 的大小关系是( ) Axy Bx=y CxA，且(C) 2=(A)2+(B)2，则ABC 的形状是( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D直角或钝角三角形 7凸 n 边形中有且仅有两个内角为钝角，则 n 的最大值是( ) A4 B5 C6 D7 8 如图， 四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形， 正方形 EFGH 内接于正方形 ABCD， AE=a， AF=b 若 s 正方形 EFGH= 3 2 ，则|ba|等于( ) A 2 2 B 3 2 C 2 3 D 3 3 9 某工厂生产的灯泡中有 5 1 是次品， 实际检查时， 只发现其中次品的 5 4 被剔除， 另有 20 1 的 正品也被误以为是次品而剔除， 其余的灯泡全部上市出售， 那么该工厂出售的灯泡中次品所 占的百分率是( ) A4% B5 C625 D725% lO在正常情况下，一个司机每天驾车行驶 t h，且平均速度为 v kmh，若他一天内多行 驶 1 h，平均速度比平时快 5 kmh，则比平时多行驶 70 km，若他一天内少行驶 1 h，平均 速度比平时慢 5 kmh，他将比平时少行驶 ( ) A60 km B70 km C75 km D80 km - 12 - 二、A 组填空题(每小题 5 分，共 50 分) 11计算：200120002000200020012001= 12已知关于 x 的不等式 2 1-4mx 3 x2m + 的解是 x 4 3 ，那么 m 的值是 13Root of the equation2 6335153 =+ xxxx is (英汉小字典：root 根；equation 方程) 14已知 x 2+2x+5 是 x4+ax2+b 的一个因式，那么 a+b 的值是 l5若三角形的三个外角的比是 2：3：4，则它的三个内角的比是 16若A 的补角的余角大于 30， 2 1 B 的余角的补角小于 150，那么A 与B 的大 小关系是 17如图，ABC 中，A=30，CD 是BCA 的平分线，ED 是CDA 的 平分线，EF 是DEA 的平分线，DF=FE，那么B 的大小是 18如图，在菱形 ABCD 中，DAB=120，点 E 平分 DC，点 P 在 BD 上， 且 PE+PC=1，那么边长 AB 的最大值是 19已知 x，y, z 为实数，且满足 =+ =+ 32zy-x 6 z-2yx 那么 x 2+y2+z2的最 小值是 20。已知 n 是正整数，且 n 416n2+100 是质数，那么 n= 三、B 组填空题(每小题 10 分，共 50 分) 21设 A=|2x+1|12x|，则当 x 2 1 时A= 22Suppose both a and b are integerAs(a2b)(8a)=1，then a+b= or (英汉小字典：integer 整数) 23如图，延长凸五边形 AlA2A3A4A5的各边相交得到五个角B1、B2、B3、 B4、B5，它们的和等于 ；若延长凸 n 边形(n5)的各边相交， 则得到的 n 个角的和等于 24我国在使用公元纪年的同时，也一直沿用我国古代创立的干支纪年法， 如甲午战争中的甲午，辛亥革命中的辛亥就是年份的名称干支中的干是天 干的简称，是指甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；支是地支的简称，是指子、丑、 寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥在纪年时，同时分别从甲子开始，不改变各自 的顺序，循环往复下去已知公元 2001 年是辛巳年，那么公元 1999 年是 年，上一 个辛巳年是公元 年 25若 a d d c c b b a =,则 dcba dcba + + 的值是 或 - 13 - 初中二年级 第 1 试答案 一、1C、 2B 3C 4 D 5C 6A 7B 8D 9B l0A 二、1 10 12.9/10 l3. 9/2 14 3 1 1 55：3：1 l6AB 17501823 /3 1 9 14 20 3 三、21-2，2 2210 或 14 23(1)180，(n-4)180 24己卯；1941 250，2 提示： - 14 - - 15 - 希望杯第希望杯第 12 届八年级第届八年级第 2 试试题试试题 一、选择题一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的，请将表 示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内。 1化简代数式32 232 2+的结果是（ ） A. 3 B. 12+ C. 22+ D. 2 2 2已知多项式axbxcxd 32 +除以x1时，所得的余数是 1，除以x 2时所得的余 数是 3，那么多项式axbxcxd 32 +除以()()xx12时，所得的余式是（ ） A21x B. 21x+ C. x+1 D. x1 3已知a 0 C. ab 0 D. ab+ C. SSS 132 5若一个三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一条边，则此三角形肯定是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 6. 若ABC的三边长是 a、b、c，且满足abcb c 44422 =+，bcaa c 44422 =+， caba b 44422 =+，则ABC是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 7. 平面内有 n 条直线（n 2） ，这 n 条直线两两相交，最多可以得到 a 个交点，最少可以 得到 b 个交点，则ab+的值是（ ） A. n n()1 B. nn 2 1+ C. nn 2 2 D. nn 2 2 2 + - 16 - 8In fig. 1, let ABC be an equilateral triangle, D and E be points on edges AB and AC respectively, F be intersection of segments BE and CD, and =BFC120, then the magnitude relation between Ad and CE is （ ） A. ADCE B. ADCE 3，满足p qpppqq 22 1212344+，那么 p q 2 3 的 值等于_。 13. 无理数()12 4 +的整数部分是_。 14. 设 a、b、c 均为不小于 3 的实数，则abc+ + 21 11|的最小值是_。 15. 如图 2，直线ABCDEFAFGHHMN/ /，=309030 ， =CNP50，则GHM的大小是_。 - 17 - AB D E C 图 2 F G N M H P 30 90 x 30 50 16. 代数式xx 22 4129+()的最小值是_。 17. 有大小两个杯子，大杯中盛满 48 升纯酒精，第一次倒出一小杯纯酒精后，用水加满大 杯，第二次又倒出一小杯混合溶液，再用水加满大杯，这时大杯中还剩余 27 升纯酒精， 那么小杯的容积是_。 18. If p and q are unequal primes, m and n are unequal positive integers satisfying mpmq 2 0+= and npnq 2 0+=, then the value of pq+is _。（英汉词典： prime 质数） 19. 如图 3，Rt ABC中，=CA9030 ， 点 D、 E 分别在 AB、 AC 上， 且DE AB， 若 DE 将ABC分成面积相等的两部分，那么线段 CE 与 AE 的长度的比是_。 20. 如图 4，将矩形 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形 EFGH，若EHEF=34，那么线段 AD 与 AB 的比等于_。 A B D E C 图 4 H G F M N 三、解答题三、解答题（21、22 题各 13 分，23 题 14 分，共 40 分）要求：写出推算过程 21六个排球队参加小组循环赛，取前 4 名参加第二阶段比赛，每赛一场，胜队得一分，负 - 18 - 队不得分，且没有平局，结果有 3 个队并列第一名，一个队得第四名，他们得到了小组出 线权，请写出各队得分的情况，并说明理由。 22. 从甲站到乙站共有 800 千米，开始 400 千米是平路，接着 300 千米是上坡路，余下的是 下坡路，已知火车在上坡路、平路、下坡路上的速度的比是 3:4:5， （1）若火车在平路上的速度是 80 千米/小时，那么它从甲站到乙站所用的时间比从乙站 到甲站所用的时间多多少小时？ （2）若要求火车来回所用的时间相同，那么火车从甲站到乙站在平路上的速度与乙站到 甲站在平路上的速度的比是多少？ 23. 如图 5，等边ABC的边长a =+2512 3，点 P 是ABC内的一点，且 PAPBPC 222 +=，若PC = 5，求 PA、PB 的长。 A B C 图 5 P - 19 - 答案答案 一. 选择题（本大题共 50 分。对于每个小题，答对，得 5 分；答错或不答，不给分） 1. D 2. A 3. B 4. A 5. C 6. D 7. D 8. C 9. B 10. B 二. 填空题： 11. 6 12 12. 0 13. 33 14. 22+ 15. 40 16. 13 17. 12 升 18. 5 19. 62 2 20. 25 24 三. 解答题： 21. 设各队得分分别是xxxyzw， ， ， ， ， 且xyzw 0 因为六个队之间共比赛 65 2 15 =场， 所以315xyzw+= 首先，最后两名之间也有一场比赛，所以zw与不可能都得 0， 因而z1，y 2， 即yzw+ 3 当yzw+= 3时，315312x= 所以xyzw=4210， 当yzw+ 3时，yzwx+=153， 则yzw+可以被 3 整除， 因此yzw+ 6， 所以393xx， 因为xy，所以y 2， 此时yzw+ 3时无解， 因此 6 个队得分分别是 4，4，4，2，1，0。 22. （1）甲乙两地之间的距离是 800 千米，开始 400 千米是平路，接着 300 千米是上坡 路，所以下坡路是 100 千米，火车在平路上的速度是 800 千米/小时，所以火车在上坡路上 的速度是 600 千米/小时，在下坡路上的速度是 100 千米/小时，所以 从甲地到乙地用的时间为 400 80 300 60 100 100 11+=小时， 从乙地到甲地用的时间为 400 80 300 100 100 60 9 2 3 +=小时， 所以从甲地到乙地用的时间比从乙地到甲地用的时间多 4 3 小时。 （2）设火车从甲地到乙地在平路上的速度是4 1 V千米/小时，则它在上坡路上的速度是 3 1 V千米/小时，在下坡路上的速度是5 1 V千米/小时， 所以火车从甲地到乙地用的时间是 400 4 300 3 100 5 220 1111 VVVV +=小时 同样，设火车从乙地到甲地在平路上的速度是4 2 V千米/小时，则它在上坡路上的速度 是3 2 V千米/小时，在下坡路上的速度是5 2 V千米/小时，所以火车从乙地到甲地用的时间是 400 4 300 5 100 3 580 3 2222 VVVV +=小时 依题意有 220580 3 12 VV =， 所以 V V 1 2 33 29 = 23. 设ABCPABPBCPAC、的面积分别是SSSS、 123，线段 PA、PB、 PC 的长分别是 x、y、z，如图， A B P C P S1 S2 S3 把APC绕点 A 顺时针旋转60，得AP B，连接PP，则APP是等边三角形且 - 21 - 边长APx=，因为 PCPAPB 222 =+， 即zxy 222 =+， 及P BPCzPPx=， 所以在PP B中，满足P BPPPB 222 =+ 则PP B是直角三角形 于是SSSSS APBPP APP PB四边形 =+=+ 13 ， 即SSxxy 13 2 3 4 1 2 1+=+( ) 将APB绕 B 顺时针旋转60，将APC绕 C 逆时针转60，可分别得 SSyxy SSzxy 12 2 32 2 3 4 1 2 2 3 4 1 2 3 +=+ +=+ ( ) ( ) ( )( )( )123+得 SSSS xyzxy zxy =+ =+ =+ 123 222 2 1 2 3 4 3 2 3 4 3 4 () 又Sa= 3 4 2 ，所以 3 4 3 4 3 4 22 azxy=+， 即34 22 xyaz=( ) 又由已知和(4)得 xy xy 22 2 25 32512 325 += =+ () 所以 xy xy 22 255 126 += = ，( ) ( ) 因为xy00， 解方程得 x y x y = = = = 4 3 3 4 或 所以PAPBPAPB=4334，或， - 22 - 第十三届“希望杯”全国数学邀请赛初二年级第十三届“希望杯”全国数学邀请赛初二年级 第一试 一、选择题 以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填 在每题后面的圆括号内. 1. 使分式 xx xx + 2 的值为零的 x 的一个值是 ( ) (A) 0 (B) 1 (C)1 (D) 2 2. 下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是（ ） (A)27279 23 +xxx (B)2727 23 +xxx (C)2727 34 +xxx (D) 2793 23 +xxx 3. 2001 年 7 月 13 日，北京市获得了第 29 届奥运会的主办权，这一天是星期五，那么第 29 届奥运会在北京市举办的那一年的 7 月 13 日是（ ） (A) 星期四 (B) 星期五 (C)星期六 (D) 星期日 4. 设 P 是等边ABC 内任意一点，从点 P 作三边的垂线 PD、PE、PF，点 D、E、F 是垂足， 则 CABCAB PFPEPD + + 等于（ ） (A) 2 3 (B) 6 3 (C) 2 32 (D) 2 1 5. 若三角形的三个内角 A、B、C 的关系满足 A3B，C2B，那么这个三角形是（ ） (A) 钝角三角形 (B) 直角三角形 (C) 等边三角形 (D) 不等边的锐角三角形 6. 已知 3 4x m =， 4 3+ = x n， 5 32x p =，且 mnp，那么 x 的取值范围是（ ） (A) x1 (B) 5 14 x1 (C) 17 7 x1 (D) 5 14 x 17 7 7. If ab0, then the following inequality must be hold (英语小词典：following：下面的； inequality：不等式) (A) a 1 b 1 (B) a 1 b 1 (C) ba 1 a 1 (D) 2 1 + a b 2 1 + b a 8. 已知 b0，0abc，且ac c b c ab = 2 ，则 a、b、c 的大小顺序是（ ） (A) abc (B) cba (C) bac (D) bca 9. 在凸四边形 ABCD 中，ABCD，且 AB+BC=CD+DA，则（ ） (A) ADBC (B) ADBC (C) AD=BC (D) AD 与 BC 的大小关系不能确定 - 23 - 10. 如图 1，在直角ABC 中，C=90 0，AC=3，以 AB 为一边向三 角形外作正方形 ABEF，正方形的中心为 O，且 OC=24，那么 BC 的长等于（ ） (A) 23 (B) 5 (C) 52 (D) 2 9 二、A 组填空题 11. 若对于一切实数 X，等式()()21 2 +=+xxqpxx均 成立，则qp4 2 的值是 . 12. 2001 年北京市的气候条件较好又无病虫害，这一年北京市海淀区的冬储大白菜的种植 面积约为 2000 亩，与一一年相比，面积持平而亩产量达 5000 公斤，比上一年的亩产量增加 了 25%，但平均价格低于上一年，2001 年在地头批发的平均价格为每公斤 0.20 元，假设所 有的大白菜都在地头批发， 且两年收入相同， 则上一年在地头批发大白菜的平均价格约为每 公斤 元. 13.若 mn a +2 3和 mn a 2 4 都是 5 2a的同类项，则()() 35 2 53 2 1 2nmmnmn 的值是 14. 若01 2 =xx，则20022 3 +xx 的值等于 . 15. 若ba,均为正数,且 222222 4,4,bababa+是一个三角形的三条边的长,那 么这个三角形的面积等于 . 16. In Fig.2,In the RtABC，ACB=90 0，A=300，CD is the bisector to ACB，MD is the perpendicular to BA and MD through the midpoint of segment AB，thrn CDM= . (英语小词典：bisector：平分线；perpendicular：垂线； midpoint：中点) 17. 边长为整数且面积为 2002 的长方形共有 种. （对应边长相等的长方形算作同 一种） 18. 一个凸 n 边形的最小内角为 95 0，其他内角依次增加 100，则 n 的值等于 19. 如图 3，D、E 分别在ABC 的边 AC，AB 上，BD 与 CE 相交于 F， 若2= EB AE ， 2 1 = DC AD ，ABC 的面积 SABC=21，那么四边形 AEFD 的 面积等于 . 20. 在数轴上，A 和 B 是两个定点，坐标分别是3 和 2，点 P 到点 A， B 的距离的和等于 6，那么点的坐标是 . 三、B 组填空题 21. 方程0155 2 =+yxxyx的整数解是 或 . F E O A C B 图 1 A B C M D E 图 2 A D E C B 图 3 F - 24 - 22. 两个凸多边形,它们的边长之和为 12， 对角线的条数之和为 19， 那么这两个多边形的边 数分别是 和 . 23. 方程0185=+yyx的解是 或 . 24. 在一个三位数的百位和十们之间插入:0，1，2，9 中的一个数码得到的四位数恰是 原三位数的 9 倍，那么这样的三位数中最小的是 ，最大的是 . 25. 已知 n 是自然数,且7317 2 +nn是完全平方数,那么 n 的值是 或 . - 25 - 答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D B A C D B C B 二、A 组填空题 题号 11 12 13 14 15 16 17 1819 20 答案 9 0.25 36 2001ab 2 3 15 0 8 66 2 5 2 7 或 三、B 组填空题 题 号 21 22 23 24 25 答 案 = = = = 5 6 5 4 y x y x 或 5 和 7 = = = = 18 23 18 13 y x y x 或125；675 8 或 9 - 26 - 2002 年度初二第二试“希望杯”全国数学邀请赛年度初二第二试“希望杯”全国数学邀请赛 一、选择题一、选择题:(每小题5分,共50分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确 答案的英文字母填在每题后面的圆括号内. 1.若ab,a,b,ab都是有理数,那么ab和 ( ). (A)都是有理数. (B)一个是有理数,另一个是无理数. (C)都是无理数. (D)是有理数还是无理数不能确定. 2.已知abc,M=a 2b+b2c+c2a,N=ab2+bc2+ca2,则M与N的大小关系是( ). (A)MN (C)M=N (D)不确定的 3.上午九点钟的时候,时针与分针成直角,那么下一次时针与分针成直角的时间是( ). (A)9时30分 (B)10时5分; (C)10时5 5 11 分 (D)9时32 8 11 分 4.有理数a、b、c满足下列条件:a+b+c=0且abc0,那么a,b,c的大小关系是( ). (A)abc (B)cab; (C)acb (D)bca 6.已知ABC中,A=60,BC=a,AC=b,AB=c,AP是BC边上的中线,则AP 的长是( ). (A) 22 1 2 abab+;(B) 22 1 2 bcbc+;(C) 22 1 2 acac+;(D) 22 1 2 bcbc+ 7.(Figure 1) In the parallelogram ABCD,AD=2AB,a point M is mid- point of segment AD,CEAB,ifCEM=40,then the value ofDME it( ). (A)150 (B)140 (C)135 (D)130 8.如图,在四边形ABCD中,E、 F分别是两组对边延长线的交点,EG、 FG 分别平分BEC、 DFC, 若ADC=60,ABC=80,则EGF的大小是( ). (A)140 (B)130 (C)120 (D)110 40 E M D C B A 80 60 G F E D C B A 9.设ai=1989+i,当i取1,2,3,100时,得到100个分式 i i a (如i=5,则 i i a = 55 198951994 = + ), 在这100个分式中,最简分式的个数是( ). (A)50 (B)58 (C)63 (D)65 - 27 - 10.一个长方体的棱长都是正整数,体积是2002, 若对应棱长相等的长方体算作同一种长方 体,那么这样的长方体( ) (A)有6种 (B)有12种 (C)有14种 (D)多于16种 二、填空题二、填空题:(每小题6分,共60分) 11.某储蓄所每年工资支出10万元,其他固定支出每年17万元. 对于吸收的存款每年应付 2.25%的利息,吸收来的存款全部存到上级银行,可得年利率4.05%的内部核算收入,那么该 储蓄所为使内部核算没有亏损, 每年至少应吸收存款_万 元. 12.化简 35 361015 + + ,最后得_. 13.设x,y都是有理数,且满足方程 11 40 2332 xy += ,那么x-y的值是 _. 14. 15 16与3313的大小关系是1516_3313 . (填“”,“90,那么上述结论是否成立? 请按钝角三角形改 写原题,画出相应的图形,并给予必要的说明. P Q F E DC B A 22.已知在等式 axb s cxd + = + 中,a,b,c,d都是有理数,x是无理数,解答: (1)当a,b,c,d满足什么条件时,s是有理数; (2)当a,b,c,d满足什么条件时,s是无理数. 23.在线段AB上,先在A点标注0,在B点标注2002,这称为第一次操作; 然后在AB的中点C 处标注 02002 2 + =1001,称为第二次操作;又分别在得到的线段AC、BC的中点D、E处标注对 应线段两端所标注的数字和的一半,即 0 1001 2 + 与 10012002 2 + ,称为第三次操作;照此 下去,那么经过11次操作之后,在线段AB上所有标注的数字的和是多少? - 29 - 2002年度初二第二试“希望杯”全国数学邀请赛答案： 2002年度初二第二试“希望杯”全国数学邀请赛答案： 一、 1.当两数不等时,两数的差为有理数,说明这两数都是有理数,所以、ab是有理数,选 (A). 2.M-N=(a 2b+b2c+c2a)-(ab2+bc2+ca2)= a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b) abc b-c0,c-a0 a 2(b-c)0,b2(c-a)0,c2(a-b) 0 a 2(b-c)+c2(a-b) b2(c-a) M-N0.选(B). 3.把时针转动速度以“度/分钟”为单位, 3601 12 602 = (度/分钟) 分针转动速度是 360 60 =6(度/分钟) 再成直角所用时间为 18 180(6)32 211 =(分钟) 所以下一次时针与分针成直角时间是 8 3211分,选(D). 4.由abc，选(A) 5. 3 3 3( 3) 1 2( 2) am bm + =b; 3 3 ( 2)( 2) 1 ( 3)( 3) bmm cmm + =b 3 3 3( 2) 1 2( 3) am cm + = + ,ac acb.选(C). 6.如图延长中线AP到E,使PE=AP,连接EB,可得ABCAPC,E=PAC, BE=AC=b. PAB+E=CAB=60 ABE=120; 作EFAB延长线于F,EBF=180-120=60 BEF=30 0 BF=1 2 BE= 1 2 b. 在RtBEF中,根据勾股定理:EF 2=b2+ 2 2 3 24 bb = . P F E C B A - 30 - 在RtAEF中,根据勾股定理:AE= 2 2 22 3 24 bb ccbcb +=+ . PA= 1 2 AE= 1 2 22 cbcb+. 选(B) 7.如图,连接CM,作MNEC于N. ABCE MNAB,且MNCD,从N为梯形AECD的中位数. 由MNCE,MN是EC边中线,EMC为等腰, ECM=MEC=40 EMC=180-240=100 ECD=AEC=90,MCD=90-40=50, 又 DC= 1 2 AD=DM,MCD=DMC=50, EMD=EMC+CMD=100+50=150.选(A) 8. 24=360-(60-E)-(180-F) =220+E+F 4=110+ 1 2 E+ 1 2 F, 00 11 260,380 22 EF = =, C=360 0-(4+2+3)=3600-1100-1 2 E- 1 2 F-60 0+1 2 E-80 0+1 2 F =360-110-60-80=110 选(D). 9.当i=3n(n33);i=13n(n7);i=17n(n5)这些数时; i i a 不是质数, 这样的数共有: 33+7+5=45(个) 其中i=133=39,i=136=78与i=173=51时,与i=3n中的39,78,51重复, 所以不是质 数的数共有 45-3=42个. 所以100个分式中最简分式的个数是100-42=58个. 选(B). 10. x 3=2002=1271113,把1、2、7、11、13组成三数的乘积. 有如下14种: 112002 121001 17286 111182 113154 114143 12291 12677 27143 71126 11291 13277 141113 22713 选(C). 二、 11.设每年至少应吸收存款x万元, 4.052.25 10 17 100100 xx=+ x=1500万元 应填1500. 4 3 2 1 80 60 G F E D C B A - 31 - 12.原式= 35 33322535 + + = 35 ( 3335)( 2325) + + = 35 3( 35)2( 35) + + = 35 ( 35)( 32) + + = 35 32 32 + =+ . 13. 11 4 2332 xxyy +=+, 3223246xxyy+=+ (32 )(23 )246xyxy+=+ 3224 236 xy xy += += ,得 12 6 x yy = = x-y=18. 14.15 16-3313=316516-3131113=313(3556-1113)=313(3353513-1113)=313(15353-1113) 显然,15 3513-111390. 原题改写为:如右图,在钝角ABC中,AD、 CE分别是BC、 AB边上的高,DA 与CE的延长线交 于点F,BF的中点为P,AC的中点为Q,连接PQ、DE. 求证:直线PQ垂直且平分线段DE. 证明 连接PD,PE,QD,QE,则PD、PE分别是RtBDF和RtBEF的中线, 所以 PD= 1 2 BF, PE= 1 2 BF, 所以 PD=PE, 点P在线段DE的垂直平分线上. 同理可证 QD=QE, 所以 点Q在线段DE的垂直平分线上. 所以 直线PQ垂直平分线段DE. 22.(1)当a=c=0,d0时, s= b d 是有理数. 当c0时,s= () aadad cxdbb axba ccc cxdcxdccxd + + =+ + , 其中: a c 是有理数,cx+d是无理数, ad b c 是有理数. 要使s为有理数,只有 ad b c =0,即 bc=ad. 综上知,当a=c=0且d0或c0且ac=bd时,s是有理数. (2)当c=0,d0,且a0时,s是无理数. 当c0时,s= () aadad cxdbb axba ccc cxdcxdccxd + + =+ + 其中: a c 是有理数,cx+d是无理数, ad b c 是有理数. 所以 当 ad b c 0,即bcad,s为无理数. 综上知,当c=0,a0,d0或c0,acbd时,s是无理数. 23.设第n次操作后,线段AB上所标注的数字和是an ,那么第n+1次操作后,使得除A、B两点外, 其他的数字都再加上一次(两边各加上一半),而A、B两点的数字, 则再加上它们的一半,即 1 02002 (2002)21001(1) 22 nnnn aaaan + =+= P Q F E DC B A - 34 - 又因为 a1=2002+0=2002 所以 a2=2a1-1001=3003 所以 a11=2a10-1001=2(2a9-1001)-1001=2 2a 9-(2+1)1001= =2 10a 1-(2 9+28+27+2+1)1001 =1024.2002-(1024-1).1001 =1026025. 答:经过11次操作后,在线段AB上标注的所有数字的和为1026025. - 35 - 第十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第 1 试 2003 年 3 月 23 日 上午 8：30 至 10：00 校名_班_姓名_辅导老师_成绩_ 一、选择题（每小题 5 分，共 50 分） 1已知 x 是实数，则xx 1x 的值是（ ） （A）1 1 （B）1 1 （C） 1 1 （D）无法确定的 2若 xy1，则 x45x3yx2y8x2y2xy25xy3y4的值等于（ ） （A）0 （B）1 （C）1 （D）3 3 设 a 表示不超过 a 的最大整数， 如 4.3 4， 4.3 5， 则下列各式中正确的是 （ ） （A） aa （B） aa1 （C） aa （D） aa1 4a，b，c 为三角形的三边长，化简abcabcabcabc， 结果是（ ） （A）0 （B）2a2b2c （C）4a （D）2b2c 5下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（ ） （A）两个锐角对应相等 （B）两条边对应相等 （C）一条边与一个锐角对应相等 （D）斜边与一个锐角对应相等 6如图1，在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，130，DCB60，则图中的等腰三角形 有（ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 7如图2，ABCAEF，ABAE，BE，则下列结论中不一定成立的是（ ） （A）ACAF （B）FABEAB （C）EFBC （D） EABFAC 8 如图3， ABC 中， C90，