高二数学归纳推理和类比推理.ppt

归纳推理归纳推理 哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想 世界近代三大数学难题之一世界近代三大数学难题之一 17421742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于 6 6的偶数都是两个素数（只能被的偶数都是两个素数（只能被1 1和它本身整除的数和它本身整除的数 ）之和。如）之和。如6 63 33 3，12125 57 7等等。等等。猜想 ( (a a) ) 任何一个任何一个 6 6之偶数，都可以表示成两个奇之偶数，都可以表示成两个奇 质数之和。质数之和。 ( (b b) ) 任何一个任何一个 9 9之奇数，都可以表示成三个奇之奇数，都可以表示成三个奇 质数之和。质数之和。更多资源更多资源 有人对33108以内且大过6之偶数一一进行验 算，哥德巴赫猜想(a)都成立。 目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966 年证明的，称为陈氏定理(Chens Theorem).“任何 充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和， 而后者仅仅是两个质数的乘积”,通常都简称这个 结果为大偶数可表示为 “1+2”的形式。 1920年，挪威的布朗证明了“9+9”。 1924年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。 1932年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。 200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想 由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。 到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。 1637年，法国数学家费马提出： “将一个立方 数分为两个立方数的和，一个四次幂分为两个四 次幂的和，或者一般地将一个高于二次的幂分为 两个同次的幂的和，这是不可能的.” 费马猜想费马猜想 数论中最著名的世界难题之一数论中最著名的世界难题之一 300多年来，这个问题吸引了很多优秀数学家， 法国科学院曾于1816年和1850年两次悬赏征解，德 国也于1908年悬赏十万马克征解。 经过三百多年来历代数学家的不断努力，剑桥大 学怀尔斯终于1995年正式彻底解决这一大难题. 1852年，弗南西斯格思里搞地图着色工作时， 发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以 用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同 的颜色。” 世界近代三大数学难题之一世界近代三大数学难题之一 四色猜想四色猜想 1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利 诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个 小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证 明。 不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他 们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。 这种由某类事物的部分部分对象具有某些特征，推 出该类事物的全部全部对象都具有这些特征的推理，或 者由个别个别事实概括出一般一般结论的推理，称为归纳推 归纳推 理理（简称归纳归纳）. 归纳推理归纳推理 部分 整体 个别 一般 不完全归纳推理得到的结论是否正确还有待严不完全归纳推理得到的结论是否正确还有待严 格的证明格的证明, ,但它可以为我们的研究但它可以为我们的研究提供一种方向提供一种方向. . 归纳法又分为归纳法又分为不完全归纳法不完全归纳法和和完全归纳法完全归纳法. . 例1.已知数列an的第1项a1=1，且 （n=1 , 2 , ),试归纳出这个数列的通项公式. 分别把n=1,2,3,4代入 得: 归纳: 可用数学归纳法数学归纳法证明 这个猜想是正确的. 取倒数得： 解法解法2 2、构造法、构造法 例2.如图,在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两 条线段,彼此最多分割成4条线段,同时将圆分割成4 部分;画三条线段,彼此最多分割成9条线段,同时将 圆分割成7部分.那么 (1)在圆内画四条线段,彼此最多分割成 条线段? 同时将圆分割成 部分? (2)猜想:圆内两两相交的n(n2)条线段,彼此最多分 割成 条线段?同时将圆分割成 部分 ? 累加得: 例3.有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下 列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动一个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面. 试推测:把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要 移动多少次? n=1时, n=2时, n=1时, n=3时, n=2时, n=1时, n=2时, n=1时, n=3时, n=4时, n=3时, n=2时, n=1时, n=4时, n=3时, n=2时, n=1时, 归纳: 例、数列an满足a1=1， an+1 =2an+1 ，求 通项公式an . a a n+1n+1 +1=2 +1=2（a a n n +1+1） 数列 a a n n +1+1是首项为2公比为2 2的等比数列等比数列 构造法构造法 (2004春季上海)根据图中5个图形及相应点的个数 的变化规律,试猜测第n个图形中有 个点 . (1) (2)(3)(4) (5) 练习练习 (2005年广东)设平面内有n条直线(n3),其中有且仅 有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若 用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)= ,当 n4时,f(n)= .(用n表示) 累加得: ( (20012001年上海年上海) )已知两个圆已知两个圆x x 2 2 + +y y 2 2 =1:=1:与与x x 2 2 +(+(y y- - 3 3 )2)2=1 =1 , , 则由则由式减去式减去式可得上述两圆的对称轴方式可得上述两圆的对称轴方 程程. .将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广 , ,即要求得到一个更一般的命题即要求得到一个更一般的命题, ,而已知命题应成而已知命题应成 为所推广命题的一个特例为所推广命题的一个特例, ,推广的命题为：推广的命题为： 设圆的方程为设圆的方程为( (x x- -a a) ) 2 2 +(+(y y- -b b) ) 2 2 = =r r 2 2 与与 ( (x x- -c c) ) 2 2 +(+(y y- -d d) ) 2 2 = =r r 2 2 （a a c c或或b b d d), ), 则由则由式减去式减去式可得上述两圆的对称轴式可得上述两圆的对称轴 方程方程. . 小结小结 2.归纳推理的一般步骤: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的 一般性命题(猜想). 1. 1.什么是归纳推理什么是归纳推理（简称归纳归纳）? 部分 整体 个别 一般 练习练习 1.已知数列an的前n项和Sn , 且 计算S1 , S2 , S3 , S4 , 并猜想Sn的表达式. 猜想: 计算得: 复习复习 2.归纳推理的一般步骤: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的 一般性命题(猜想). 1. 1.什么是归纳推理什么是归纳推理? 部分 整体 特殊 一般 1.1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿, ,发明发明 了锯了锯 2.2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理, ,发发 明了潜水艇明了潜水艇. . 3.3.科学家对火星进行研究科学家对火星进行研究, ,发现火星与地球有许发现火星与地球有许 多类似的特征多类似的特征: : 1) 1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星; ; 2) 2)有大气层有大气层, ,在一年中也有季节变更在一年中也有季节变更; ; 3) 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些火星上大部分时间的温度适合地球上某些 已知生物的生存已知生物的生存, ,等等等等. . 科学家科学家猜想猜想; ;火星上也可能有生命存在火星上也可能有生命存在. . 4.4.利用平面向量的基本定理类比利用平面向量的基本定理类比得到得到空间向量空间向量 的基本定理的基本定理. . 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对由两类对象具有某些类似特征和其中一类对 象的某些已知特征象的某些已知特征, ,推出另一类对象也具有推出另一类对象也具有 这些特征的推理称为这些特征的推理称为类比推理类比推理.(.(简称简称: :类比类比) ) 类比推理的几个特点类比推理的几个特点 1.1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性类比是从人们已经掌握了的事物的属性, ,推测推测 正在研究的事物的属性正在研究的事物的属性, ,是以是以旧旧有的认识为基础有的认识为基础, , 类比出类比出新新的结果的结果. . 2.2.类比是从一种事物的类比是从一种事物的特殊特殊属性推测另一种事物属性推测另一种事物 的的特殊特殊属性属性. . 3.3.类比的结果是猜测性的类比的结果是猜测性的不一定可靠不一定可靠, ,但它却有但它却有 发现的功能发现的功能. . 类比推理类比推理 圆的概念和性质球的概念和性质 与圆心距离相等的两弦相等 与圆心距离不相等的两弦不相 等,距圆心较近的弦较长 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2 = r2 圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面 与球心距离相等的两截面面积相等 与球心距离不相等的两截面面积不 相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(y- y0)2+(z-z0)2 = r2 利用圆的性质类比得出球的性质 球的体积 球的表面积圆的周长 圆的面积 平面向量空间间向量 若 ， 则 若 ， 则 利用利用平面向量平面向量的性质类比得的性质类比得空间向量空间向量的性质的性质 等差数列等比数列 定义义 通项项公 式 前n项项和 利用等差数列性质类比等比数列性质利用等差数列性质类比等比数列性质 等差数列等比数列 中项项 性质质 n n+ +mm= =p p+ +q q时时, , a a mm + +a a n n = = a a p p + +a a q q n n+ +mm= =p p+ +q q时时, , a a mm a an n = = a a p pa aq q 任意实数a、b都有等 差中项 ，为 当且仅当a、b同号时才 有等比中项 ，为 成等差数列成等比数列 下标等差,项等差下标等差,项等比 例例1.(20031.(2003年新课程年新课程) )在平面几何里在平面几何里, ,有勾股定理有勾股定理: : “ “设设ABCABC的两边的两边ABAB、ACAC互相垂直，则互相垂直，则 ABAB 2 2 +AC+AC 2 2 =BC=BC 2 2 .” .”拓展到空间，类比平面几何的勾拓展到空间，类比平面几何的勾 股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关 系，可以得出的正确结论是系，可以得出的正确结论是“ “设三棱锥设三棱锥A-BCDA-BCD的的 三个侧面三个侧面ABCABC、ACDACD、ADBADB两两互相垂直，则两两互相垂直，则 . . D A B C （2004广东，15） 由图(1)有面积关系: 则由图(2)有体积关系: 图(1)图(2) 平面与空间中的余弦定理平面与空间中的余弦定理 平面：平面：三角形ABC中， 空间：四面体A-BCD中， 设二面角B-AC-D，C-AD-B， D-AB-C的大小依次为 例2：(2005年全国)计算机中常用的十六进位制 是逢16进1的计算制，采用数字0-9和字母A-F共 16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关 系如下表； 十六进进位 十进进位 例如用例如用