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文档简介

问题 1:大球中有5个小球，如何证明它们都是 绿色的？ 问题 2: 完全归纳 法 不完全归 纳法 问题3：某人看到树上乌鸦是黑的，深 有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。 问题情境一 费马(Fermat) 曾经提出一个猜想： 形如Fn22 n+1(n=0,1,2)的数都是质数 100年后 问题情境二 ：由一系列有限的特殊事例得出 一般结论的推理方法 结论一定可靠结论不一定可靠 考察全体对象, 得到一般结论 的推理方法 考察部分对象,得 到一般结论的推 理方法 归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法 归纳法 多米诺骨牌课件演示 （2）验证前一问题与后一问题 有递推关系； （相当于前牌推倒后牌） 如何解决不完全归纳法存在的问题呢 ？ 如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才 能做到？ （1）处理第一个问题；（相当于 推倒第一块骨牌） 问题情境三 对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关自 然数的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们 的正确性： （1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题 成立;【归纳奠基】 （2）假设当n=k(kN* ,k n0)时命题成立 证明当n=k+1时命题也成立. 这种证明方法叫做 数学归纳法 数学归纳法 【归纳递推】 框图表示 例1.用数学归纳法证明 1.用数学归纳法证明等式 1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时， 当n1时，左边所得项是 ； 当n2时，左边所得项是 ； 1+2+3 1+2+3+4+5 A、1B、1+aC、1+a+a2D、1+a+a2+a3 C 课堂练习： 3.用数学归纳法证明：如果an是一个等差数列， 则an=a1+(n-1)d对于一切nN*都成立。 证明: (1)当n=1时,左边=a1,右边=a1 +（1-1）d=a1, 当n=1时，结论成立 (2)假设当n=k时结论成立， 即 ak=a1+(k-1)d 则当n=k+1时 a k+1 = ak+d = a1+(k-1)d+d = a1+(k+1)-1d 当n=k+1时，结论也成立。 由(1)和(2)知,等式对于任何nN*都成立。 凑假 设 结论 从n=k到 n=k+1有什 么变化 4.用数学归纳法证明1+3+5+(2n1)=n2 证明: (1) 当n=1时 左1，右121 n=1时，等式成立 (2) 假设n=k时，等式成立，即1+3+5+(2k1)=k2 那么，当n=k+1时 左1+3+5+(2k1)2(k+1)-1 =k2+2k+1 =(k+1)2=右 即n=k+1时命题成立 由(1)、(2)可知等式对任何nN*都成立 递推基础 递推依据 1.数学归纳法是一种证明与正整数有关的数 学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论: 【归纳奠基】 （1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时 结论正确 （2）假设n=k时结论正确，证明n=k+1时结
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