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第一节 实二次型及其标准形 一、二次型及其标准形的概念 称为二次型. 先看书上实例1. 1用和号表示 对二次型 二、二次型的表示方法 2用矩阵表示 解 例 见书上例2、例3. 只含有平方项的二次型 称为二次型的标准形（或法式） 例如 都为二次型； 为二次型的标准形. 设 三、化二次型为标准形 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形 这样问题就演变为如何找出n阶可逆矩阵C使得 为对角矩阵。 注意等价、相似和合同的区别。 定义：如果对于n阶方阵A和B，存在n阶可逆矩阵P，使 得 ，则称A与B合同，记为 方阵合同的性质： （1）反身性 （2）对称性 若 ，则 （3）传递性 若 ，则 说明：两个相似的方阵必等价，两个合同的方阵也必等 价。反之都不成立。等价的方阵未必相似，也未必合同 。两个正交相似的方阵必正交合同。反之，两个正交合 同的方阵也必正交相似。因此，两个方阵正交相似与正 交合同是一回事。然而，两个同阶方阵既相似又合同时 ，它们未必是正交相似的，也未必正交合同。 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 解1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 例2 从而得特征值 2求特征向量 3将特征向量正交化 得正交向量组 4将正交向量组单位化，得正交矩阵 于是所求正交变换为 解 例3 用配方法化二次型为标准形 1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形; 配方法的步骤 2. 若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方. 解 例1 含有平方项 去掉配方后多出来的项 所用变换矩阵为 解 例2 由于所给二次型中无平方项，所以 再配方，得 所用变换矩阵为 见书上例6、例7. 四、二次型的规范形 前面我们介绍了两种将二次型变换成标准形的方法，不 管是通过哪一种方法得到的标准形，都可以进一步化简 。 见书上例8. 定义：所有平方项的系数均为1，-1或0的标准二次型称为 规范二次型。 定义： 规范形中的 k 称为二次型 （或对称矩阵A ）的正惯性指数，称 r-k 为二次型 （或对称矩阵 A）的负惯性指数， 称为它们的符号差. 定理：对称矩阵A与B合同当且仅当它们有相同的秩和相 同的正惯性指数。 证明见书上P171. 看书上例9. 五、小结 1. 实二次型的化简问题，在理论和实际中 经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一 一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩 阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请 同学们注意这种研究问题的思想方法 2. 实二次型的化简，并不局限于使用正交 矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种
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