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07-08学年数值分析试卷 一、填空（本大题共8小题，每空2分，共20分） 1、设x1=857.900和x2=0.08421都是经过四舍五入得到的近似 值，则它们分别具有 位和 位有效数字。 64 2、求解常微分方程初值问题的显式欧拉格式具有 阶方法 。 1 3、设f(x)=x4，写出以1，0，2，4为节点的三次插值多项式 4、设f(x)=2x3+9，则差商f(1,2,3,4)=2 5、对于给定的a0，应用牛顿法导出求 而不使用开方运算与 除法运算的迭代公式 6、写出求积分 的辛普生公式 它具有 次代数精度。 3 7、设 ，则14 8、写出高斯消去法的回代公式 或者 二、（本大题共12分） 用改进欧拉方法求解下列常微分方程的初值问题： 要求（1）写出计算公式：（2）画出算法框图。 解：1）计算公式为： 预报： 校正： 取步长h0.2 或表示为平均公式： 三、（本大题共12 分） 利用变步长的梯形公式计算 （误差不超过 ） 要求：1）写出计算公式；2）画出算法框图。 解：1）计算公式 四、（本大题12分） 已知 ，要求： 1）以这3 个点作为求积节点，推导计算积分 的内插求积公式； 2）指明构造的求积公式所具有的代数精度，并说明原因； 3）用所求公式计算 。 解：1）由3 个求积节点所构造出的内插求积公式为 其中 即 ： 于是： 2）由于此公式为三节点的内插求积公式，所以代数精度至少 为2.再令 代入上述公式有 令 代入上述公式有 3 ） 五、讨论题（本大题共10分） 为用迭代法求方程 在区间 内的一个实 根，将方程改写成下列等式形式，并建立相应的迭代公式： ，迭代公式为 ，迭代公式为 试分析每种迭代公式的收敛性。 解：1）对于迭代公式 ,其迭代函数为 故当 时，有 此外成立 因此，迭代公式 对任意初值 均收敛。 2)对于迭代公式 其迭代函数为： 故当 时，有 因此，迭代公式 在区间 内发散。 六、证明题（本大题共6分） 列出函数 关于互异节点 的拉格朗日插值公式，并证明下列等式成立： 证明：1）由拉格朗日插值公式 2）依拉格朗日插值余项定理，当 时幂函数 关于n+1个节点 的插值多项式就是其本身，故上述 特别地，当k=0时， 令 时， 七、（本大题共12分） 用Gauss-Seidel迭代法解下列方程组： 要求：1）建立收敛的迭代格式；2）画出算法框图。 解：1）原线性方程组可化为下列严格对角占优方程组： 于是有下列收敛的迭代格式： 八、证明题（本大题共6分） 基于方程求根的迭代原理证明： 证明：首先建立
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