数学建模)生物种群模型.ppt

生 物 种 群 模 型 朱 建 青 （苏州科技学院信息与计算科学系） 生 物 种 群 模 型 一、两种群模型 二、种群的相互竞争模型 三、捕食者与被捕食者模型 四、三种群模型 一、两种群模型 设x（t）、y（t）分别表示两种群在t时刻的 数量或密度，建立模型时考虑各自的相对增长率 需要考虑到种内自身的发展规律和种间相互作用 的影响两个方面，故常用的形式为 或 伏特拉（V.Volterra）模型 其中， 分别为种群x、y的固有增长率，其正负 由它们各自的食物来源而确定，例如当x种群的食物 是y种群以外的自然资源时， ；而x种群仅以y 种群的生物为食时， 。 反映的是各种群 内部的密度制约因素，即种内竞争，故 。 1.相互竞争型：两种群或者互相残杀，或者竞争 同一种食物资源，各自的存在对对方不利，故 ； 2.互惠共存型：即两种群的存在，都对对方有利 ，对对方的数量起增长促进作用，则 。 3.捕食与被捕食型：即种群y以种群x为食物来源 ，这时种群x的存在对种群y的增长有利，而y对x不利 ，故 。 的正负要根据这两种群之间相互作用的 形式而定，一般分为以下三种情况。 二、种群的相互竞争模型 根据上面的分析，相互竞争模型的一般形式为 其中参数 全是正数， 具体分析： x、y遵从Logistic规律， 是它们的固有增 长率， 是它们的最大容量，于是 的意义：单位数量y（相对 而言）消耗的供 养x的食物量为单位数量x（相对 而言）消耗的 供养x的食物量的 倍。（竞争能力） 从而得相互竞争模型 类似地，可得 稳定性分析： 由微分方程的稳定性理论，方程组的平衡点 求解可得 平衡点稳定性的判断，结果如图所示 处于同一自然环境中的种群有一种有趣的生存 方式：种群甲靠丰富的天然资源生长，而种群乙则 靠掠食甲为生。如地中海里的食用鱼与鲨鱼，加拿 大森林中的美洲兔与山猫，阿尔卑斯山中的落叶松 与芽虫等都是这种生存方式的典型，生态学上称种 群甲为食饵（Prey），称种群乙为捕食者（ Predator），二者共处组成食饵-捕食者系统（简称 P-P系统）。20世纪初以来一些生态学家、数学家对 这个系统的数学模型和它的解的性质的研究，一直 保持着浓厚的兴趣。 三、捕食者与被捕食者模型 一次世界大战期间地中海某港口捕获鲨鱼的比例 历史背景 伏特拉模型 食饵x和捕食者y遵从Malthus规律 伏特拉模型 其中 反映捕食者掠取食饵的能力。 其中 反映食饵对捕食者的供养能力。 模型分析 平衡点 按照判断平衡点稳定性的方法，发现不能 判断平衡点R是否稳定，下面用分析相轨线的方 法来解决这个问题。 相轨线 积分得 是第一象限的正定函数，且 时 是包围点 的闭轨线。 改写成 记 其中 闭轨线对应着方程的周期解 ， 记周期为T，周期解增减性由闭轨线的方向决定 。 可以看出，食饵 的变化比捕食者 提前了 。 一周期T内的平均值作为食饵和捕食者数量 的近似度量，即 得 这表明食饵和捕食者在平衡点R的值正好代表了 它们的（平均）数量。 从x、y的值可以看到，食饵的数量取决于模 型的两个参数r2和2，而捕食者的数量取决于模 型的另两个参数r1和1。当食饵的自然增长率r1 下降时，捕食者的数量将减少，这就是说，在弱 肉强食情况下降低弱者的繁殖率可以使强者减少 ，而当捕食者掠取食饵的能力1提高时也会使捕 食者减少。另一方面，捕食者死亡率r2的下降， 或者食饵对捕食者供养能力2的提高，都将导致 食饵的减少。 模型解释 现回答开头提出问题，在上述结果的基础上考 虑人工捕获的影响。设表示捕获能力的系数为 ， 战争时期捕获能力的下降 得 x、y遵从Logistic规律 三种群相互作用的情况要比二种群作用的情 况复杂，但建立模型的规律基本上相同，既要考 虑种内的增长，也要考虑种间的相互作用。建立 模型时，考虑各种群的相对增长率，然后假设线 性的相互作用关系，就可得三种群相互作用的伏 特拉模型。设x（t）、y（t）、z（t）分别表示t 时刻三种群的数量，则一般形式的伏特拉模型 四、三种群模型 伏特拉模型 其中参数 的符号要根据所考察的种群的相互作 用关系而定，每两个种群之间相互作用的基本关系 有：捕食与被捕食者、寄生物与寄主、竞争及互惠 共存等。由于三种群的两两关系不同的各种组合， 就产生许多不同类型的数学模型。 为了叙述方便，用下列符号来表示种群之间的关系 。 例1 三种群