高二数学选修2-21.1.3导数的概念.ppt

1.1.3导数的概念2 苏教高中数学选修2-2 * 3y=f(x)在点P(x0, y0)处的切线的斜率 复习提问 注意： 1.导数的概念 定义：设函数y=f (x)在点x0处及其附近有定义,当 自变量x在点x0处有改变量x时函数有相应的改变量 y=f(x0+ x)- f(x0).如果当x0 时,y/x的极限 存在,这个极限就叫做函数f (x)在点x0处的导数(或变化 率)记作 即: 数学理论梳理 如瞬时速度就是位移函数s (t)对时间t的导数. 是函数f (x)在以x0与x0+x 为端点的区间x0,x0+x(或x0+x,x0)上的平均变化 率,而导数则是函数f (x)在点x0 处的变化率,它反映了函 数随自变量变化而变化的快慢程度 如果函数y=f (x)在点x=x0存在导数,就说函数y= f (x) 在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数 f (x)在点x0处 不可导. 由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基 本方法是: 2、函数在一区间上的导数： 如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导,就说f(x) 在开区间 (a,b)内可导.这时,对于开区间 (a,b)内每一个确 定的值 x0,都对应着一个确定的导数 f /(x0),这样就在开区 间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，记作 即 f (x0)与f (x)之间的关系： 1、y=f (x)是y=f(x)的导函数 注意： 2、f (x0)是y=f(x)在点x0处的导数值 也即f (x)在点x0处的函数值 （是一个函数） （是一个常数） 切线方程为 4.导数的几何意义 巩3设f(x)为可导函数,且满足条件 , 求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率. 故所求的斜率为-2. 巩固4 对于导数定义以及几何意义的说明： 注意(1)函数应在点 的附近有定义，否则导数不存在; (2)在定义导数的极限式中， 趋近于0且可正、可负,但不为 0，而 可能为0; (3) 是函数对自变量在某范围内的平均变化率,其几何意义 是过曲线上点( )及点( )的割线斜率; (4)导数 是函数 在点 处瞬时变化率,它反映函数 在点 处变化快慢程度. 它的几何意义是曲线 上点（ ）处的切线的 斜率.如果 在点 可导,则曲线 在点（ ）处的切线方程为 (5)导数是一个局部概念，它只与函数 在 及其 附近的函数值有关，与 无关. (6)在定义式中,设 ,则 ,当 趋近于 0时， 趋近于 ，因此，导数的定义式可写成 (7)若极限 不存在，则称函 数 在点 处不可导; (8)若 在 可导，则曲线 在点 （ ）有切线存在，反之不然， 若曲线 在点（ ）有切线， 函数 在( )不一定可导,并且,若函数在 不可导，曲线在点( )也可能有切线. Ex4判断下列各命题的真假: (1)已知函数y=f (x)的图象上的点列P0,P1,P2,P3,Pn, 则过P0与Pn两点的直线的 斜率就是函数在点P0处的导数. 答:由函数在点P0处的导数的几何意义知:函数在点 P0处的导数是过P0点曲线(即函数y=f (x)的图象) 的切线的斜率,而不是割线P0Pn的斜率,故它是一 个假命题. (2)若物体的运动规律是S=f (t),则物体在时刻t0的瞬 时速度V等于 答:由于它完全符合瞬时速度的定义,故它是一个真 命题. 答:它是一个假命题.例如,函数 在x=0处连续,但 它在x=0处的导数不存在. (4)设 是函数y=f(x)的图象上的三点,且函数在P1,P2,P3 三点处的导数均存在.若 ,则必有 答: ,由于f (x)的导函 数 未必是单调增函数.因此, 不一定成立,例如f (x)=x3,则 显然有 故是假命题. (3)若函数y=f(x)的定义域为A,则对任一 只要 函数在x0处连续,则 就必存在. 二、函数的可导与连续 2、如图： 即：可导一定连续，连续不一定可导. D D C C 练习1 (3)函数y=f(x)在x=x0处可导是它在x=x0处连续的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A A 例1 判断函数y=|3x-1|在x=1/3处是否可导. 从而函数y=|3x-1|在x=1/3处不可导. 注:这是一个函数在某点连续但不可导的例子. 例题选讲 Ex2:函数f (x)=|x|(1+x)在点x0=0处是否有导数?若有, 求出来,若没有,说明理由. 故函数f(x)=|x|(1+x)在点x0=0处没有导数,即不可导. 例2 证明:(1)可导的偶函数的导函数为奇函数; (2)可导的奇函数的导函数为偶函数. 证:(1)设偶函数f (x),则有f (-x)=f (x). (2)仿(1)可证命题成立,在此略去,供课后练习用. 例题选讲 练习2 课堂小结 a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数学表达式 的一个重要概念，要从它的几何意义和物理意义认识这一概念 的实质，学会用事物在全过程中的发展变化规律来确定它在某 一时刻的状态。 b.要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增量；（2） 算平均变化率；（3）找极限,得导数。 c.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的 区别与联系。 （1）函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改变量与自 变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数。 （2）函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的,就是函数 f(x)的导函数 。 （3）如果函数yf (x)在开区间(a ,b)内每一点都可导, 就说函 数yf (x)在开区间(a ,b)内可导，这时,对于开区间内每一个 确定的值x0，都对应着一个确定的导数 ,这样就在开区间 (a ,b)内 可构成一个新的函数,称作f (x)的导函数。 (4)函数f (x)在点x0处的导数 就是导函数 在x=x0处的函数值，即 ,这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。 d.函数f (x)在点x0处有导数，则在该点处函数f (x)的曲 线必有切线，且导数值是该切线的斜率;但函数f (x) 的曲线在点x0处有切线，而函数f (x)在该点处不一定 可导。如函数 在x=0处有切线