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文档简介

通过上一章的学习我们知道,时域的周期信号可以由成谐 波关系的复指数信号来线性表示。时域的波形与频域的频谱是 一一对应的。从而LTI系统对周期信号的响应变得极其简便。 在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号,对非周期信号 应该如何进行分解,如何建立是非周期信号的频谱表示,就是 这一章要解决的问题。 在时域可以看到,如果一个周期信号的周期趋于无穷 ,则周期信号将演变成一个非周期信号;反过来,任何非周期 信号如果进行周期性延拓,就一定能形成一个周期信号。 我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷时的极限, 从而考查连续时间傅里叶级数在T趋于无穷时的变化,就应该 能够得到对非周期信号的频域表示方法.这正是我们开展对非 周期信号进行频域分析的基本出发点。 第四章 连续时间傅里叶变换 4.1 非周期信号的表示连续时间傅里叶变换 一、从傅里叶级数到傅里叶变换 首先让我们考察一下周期矩形脉冲信号,其时域与频域波形 如这里动画4-1所示 。 当 增大的时候,频谱的幅度随 的增大而下降;谱线间隔 随 增大而减小;而频谱的包络不变。当 时,周期性 矩形脉冲信号将演变成为非周期的单个矩形脉冲信号。 当 时, , 由于 也随 增大而减小并最终趋于0。 考查 的变化,它在 时应该是有限的。 于是,我们推断出:当 时,离散的频谱将演变为连续 的频谱。 由 如果令 ,则有 与周期信号的傅里叶级数相比较有: ; 这表明:周期信号的频谱就是与它相对应的非周期信号频谱的样本。 根据傅里叶级数表示: 当 时 , , , , 于是有: 此式表明,非周期信号可以分解成无数多个频率连续分布的 振幅为 的复指数信号之和。 由于 具有频谱随频率分布的物理含义,因 而称 为频谱密度函数。 与 就构成了一对傅里叶变换式。 二、从物理意义来讨论FT 是一个密度函数的概念; 是一个连续谱; 包含了f(t)的所有频率分量; 傅里叶变换一般为复数。 三、傅里叶变换的收敛 既然傅里叶变换的引出是从周期信号的傅里叶级数表示,讨论 周期趋于无穷时的极限得来的,傅里叶变换的收敛问题就应该 和傅里叶级数的收敛相一致。也有相应的两组条件: 若 ,则 存在 这表明所有能量有限的信号其傅里叶变换一定存在。 第二组条件即为满足狄利赫里条件。 四、常用信号的傅里叶变换: 1、 , 2、 , 我们看到:实偶信号的傅里叶变换是实偶函数,此时可以用 一幅图表示信号的频谱。对此例 3、 这表明 中包括了所有的频率成分,所有频率分量的幅度、 相位都相同。因此单位冲激响应 才能完全描述一个LTI系统 的特性, 才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。 4、 (具有此频率特性的系统 称为理想低通滤波器) 同时可以看到,信号在时域和频域之间有一种相反的关系,即 信号在时域脉冲越窄,则其频谱主瓣越宽,反之亦然。 6、若 ,则有 , 因为: 所以: 五、信号的带宽 信号的主要能量集中于低频分量, 传输信号的系统具有自己的 频率特性。工程中在传输信号时,也没有必要一定要把信号 的所有频率分量都有效传输,而只要保证将占据信号能量主 要部分的频率分量有效传输即可。因此,需要对信号定义带 宽。通常有如下定义带宽的方法: 下降到最大值的 时对应的频率范围,此时带内信号 分量占有信号总能量的 。 4.2 周期信号的傅里叶变换 到此为止,周期信号用傅里叶级数表示,非周期信号用傅里 叶变换表示。在涉及周期信号通过LTI系统时,会给分析带来 不便。由于周期信号不满足Dirichlet 条件,因而不能直接从定 义出发,建立其傅里叶变换表示。 考查 所对应的信号 这表明周期性复指数信号的频谱是一个冲激。 若 ,则 于是,当周期信号表示为傅里叶级数时 ,就有 这表明,周期信号的傅里叶变换由一系列冲激组成,每一个冲 激分别位于信号各次谐波的频率处,其强度正比于傅里叶级数 系数 。 例: 例、 注意:周期信号不满足绝对可积条件;引入冲激信号后,周期 信号的傅立叶变换是存在的;周期信号的频谱是离散的,其频 谱密度, 即傅立叶变换是一系列冲激。 4.3 连续时间傅里叶变换的性质 讨论连续时间傅里叶变换的性质,旨在通过这些性质揭示信号 时域特性与频域特性之间的关系,同时掌握和运用这些性质可 以简化傅里叶变换对的求取。 1、线性: 若 则 2、时移: 若 : 则 : 这表明:信号的时移只影响它的相频特性,其相频特性会增加一个 线性相移。 3、共轭对称性 若 则 由 所以 , 即 若 是实信号,则 。 于是有: 4. 时域微分与积分 若 则 (可将运算转变为代数运算) (时域积分特性) 由时域积分特性从 也可得到: 5. 时域和频域的尺度变换 若 ,则 当 时,有 尺度变换特性表明:信号如果在时域扩展a倍,则其带宽相应压 缩a倍,反之亦然。从理论上证明了时域与频域的相反关系,也 证明了信号的脉宽带宽积等于常数的结论。 如动画所示。 6. 对偶性 若 则 证明: 利用对偶性可以方便地将时域的某些特性对偶到频域。 例如: 由 ,有对偶关系 利用时移特性有 再次对偶有 根据 得 ,这就是移频特性 频域微分特性: 由 ,得 所以 该特性也可由对偶性从时域微分特性得出: 对 利用时域微分特性有 再次对偶得 由 ,有 及频域微分特性 由时域积分特性,可对偶出频域积分特性 再次对偶 由 ,有 频域积分特性 7. Parseval定理 若 ,则 这表明:信号的能量既可以在时域求得,也可以在频域 求得。由于 表示了信号能量在频域的分布,因而 称其为“能量谱密度”函数。 4.4 卷积积性质质 一、 若 则 由于卷积特性的存在,使对LTI系统在频域进行分析成为 可能。本质上,卷积特性成立正是因为复指数信号是LTI 系统的特征函数。由 将 分解成复指数分量的线性组合,每个 通过LTI系 统时都要受到系统频响 的加权,其中 即是系统与 对应的特征值,故有 所以: 由于 的傅氏变换 就是频率为 的复指数信号 通过LTI系统时,系统对输 入信号在幅度上产生的影响,所以 称为系统的频率响应。 鉴于 与 是一一对应的,因而LTI系统可以由其频率响 应完全表征。由于并非任何系统的 都存在,因此用频 率响应表征系统时,一般都限于对稳定系统。 二、系统互联时的频率响应: 级联 并联 三、LTI系统的频域分析法: 根据卷积特性,可以对LTI系统进行频域分析,其过程为: 1、 ; 2、根据系统的描述,求出 ; 3、 4、 4.5 相乘性质质:(调调制性质质) 若 则 利用对偶性可以从卷积性质得出相乘性质。 两个信号在时域相乘,可以看成是由一个信

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