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6.关注三角形的外角 北师大版 八年级 下册（第六章） 如图. 1是ABC的一个外角, 1与图中的其 它角有什么关系? 证明:2+3+4=1800(三角形内角和定理), 1+4=1800(平角的意义), 1= 2+3.(等量代换). 12,13(和大于部分). A BCD 1 2 34 w能证明你的结论吗? 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. A BCD 1 2 34 w在这里,我们通过三角形 内角和定理直接推导出两 个新定理.像这样,由一个 公理或定理直接推出的定 理,叫做这个公理或定理 的推论. w推论可以当作定理使用. w三角形内角和定理的推论: w推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两 个内角的和. w推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不 相邻的内角. wABC中: w1=2+3; w12,13. A BCD 1 2 34 w这个结论以后可以直接运用. 例1 已知:如图6-13,在ABC中,AD 平分外角EAC,B= C. 求证:ADBC. 证明: EAC=B+C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), ab(内错角相等,两直线平行). B=C (已知), DAC=C(等量代换). A C D B E AD平分 EAC(已知). C= EAC(等式性质). DAC= EAC(角平分线的定义). 例题是运 用了定理“ 内错角相 等,两直线 平行”得到 了证实. 还有其它方法吗？ 方法一 A C D B E 例1 已知:如图6-13,在ABC中,AD 平分外角EAC,B= C. 求证:ADBC. B=C (已知), B= EAC(等式性质). AD平分 EAC(已知). DAE= EAC(角平分线的定义). DAE=B(等量代换). ab(同位角相等,两直线平行). 这里是运 用了公理“ 同位角相 等,两直线 平行”得到 了证实. 证明: EAC=B+C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), 方法二 A C D B E 例1 已知:如图6-13,在ABC中,AD 平分外角EAC,B= C. 求证:ADBC. DAC=C (已证), BAC+B+C =1800 (三角形内角和定理). BAC+B+DAC =1800 (等量代换). ab(同旁内角互补,两直线平行). 这里是运用了定理“同旁内角互补, 两直线平行”得到了证实. 证明:由证法1可得: 方法三 例2 已知:如图6-14,在ABC中, 1是 它的一个外角, E为边AC上一点,延长 BC到D,连接DE. 求证: 12. 证明: 1是ABC的一个外角(已知), 13(三角形的一个外角大于 任何一个和 它不相邻的内角). 3是CDE的一个外角 (外角定义). 32(三角形的一个外角大于任 何 一个和 它不相邻的内角). 12(不等式的性质). C ABF 1 3 4 5 E D 2 已知:如图所示,在ABC中,外角DCA=100,A=45. 求:B和ACB的大小. A BCD 解: DCA是ABC的一个外角(已知), DCA=100(已知), B=100-45=55.(三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和). 又 DCA+BCA=180(平角意义). ACB=80(等式的性质). A=45(已知), 已知:如图所示. 求证:(1)BDCA; (2) BDC=A+B+C. 证明(1):延长BD与AC相交于E BDC是DCE的一个外角 (外角定义), BDCCED(三角形的一个外角大于和 它不相邻的任何一个外角). DECA(三角形的一个外角大于和它不相邻的 任何一个外角). BDCA (不等式的性质). DEC是ABE的一个外角 (外角定义), B C A D E 已知:如图所示. 求证:(1)BDCA; (2) BDC=A+B+C. 证明(2): BDC是DCE的一个外角 (外角定义), BDC =C+CED(三角形的一个外角等 于和它不相邻的两个内角的和). DEC=A+ B(三角形的一个外角等于和它不相 邻的两个外角的和). BDC=A+B+C (等式的性质). DEC是ABE的一个外角 (外角定义), B C A D E w已知:国旗上的正五角星形如图所示. w求:A+B+C+D+E的度数. 解:1是BDF的一个外角(外角的定义), 1=B+D(三角形的一个外角 等于和它不相邻的两个内角的和). 2=C+E(三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和). 又A+1+2=180(三角形内角和定理). 又 2是EHC的一个外角(外角的定义), A B C D E F 1 H2 A+B+C+D+E =180(等式性质). 三角形内