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第三节 分部积分法 第四章 不定积分的基本积分方法 与有理函数的积分 由两个函数乘积的求导法则 积分得: 分部积分公式 容易计算 . 1) 容易求得 ; 一、分部积分法 例1 求积分 解（一） 令 显然， 选择不当，积分更难进行. 解（二） 令 例2 求积分 解令 一般地 把被积函数视为两个函数之积 , 按“反对幂指三”的 顺序 , 前者为 后者为 例3 求积分 解 （再次使用分部积分法） 例4 求积分 解 注意循环形式 说明: 也可设为三角函数,但两次所设类型 必须一致 . 例6 求积分 解 例7 求积分 解 令 例8 求 解: 令 , 则 原式 = 例9 求 解: 令则 原式 = 例10 求 解: 令则 得递推公式 说明: 递推公式 已知利用递推公式可求得 例如, 例11 已知的一个原函数是 求 解: 说明: 此题若先求出再求积分反而复杂 . 二、有理函数的积分 有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之为有理函数. 假定分子与分母之间没有公因式 这有理函数是真分式； 这有理函数是假分式； 1.有理函数的积分 利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和 一个真分式之和. 假分式 多项式除法 多项式 + 真分式 例 分解 若干部分分式之和 则可设 特殊地：分解后为 特殊地：分解后为 求真分式化为部分分式之和的待定系数 （1）对应系数相等法 例 (2)赋值法 代入特殊值来确定系数 整理得 取取 取并将 值代入 例12 求积分 解 例13 求积分 解 将有理函数化为部分分式之和后，只涉及以下五类 求不定积分情况： 讨论积分 令 则 这五类积分均可积出, 且原函数都是初等函数 . 例14 求积分 例15 求 解: 说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便, 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法. 2.可化为有理函数的积分举例 (1) 三角函数有理式的积分 三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算 构成的函数称之一般记为 令 万能代换 t 的有理函数的积分 （万能公式） 令则 例16 求 解:令则 例17 求 解 令 原式 说明: 通常求含 的积分时,往往更方便 . 的有理式 用代换 例18 求 解: 例19 求积分 解 (2) 简单无理函数的积分 讨论类型 解决方法 作根式代换去掉根号化为有理函数的积分. 令 令 令 例20 求 解: 令 则 原式 例21 求积分 解 令 原式 例22 求积分 解 令 说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数. 作 业 P279 3(1)(2)(3)(11)(16)(17) 5(2)(4)(5)(8)(10)(18)(21) 合理选择 ，正确使用分部积 分公式 三、小结 把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的 顺序 , 前者为 后者为 反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数 思考题
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