《ch41连续性概念》PPT课件.ppt

1 连续性概念 2 连续函数的性质 3 初等函数的连续性 第四章 函数的连续性 1 1 连续性概念连续性概念 自然界中有许多现象, 如气温的变化, 河水的流动, 植 物的生长等等, 都是连续变化着的. 这种现象在函数关系 上的反映, 就是函数的连续性. 例如就气温的变化来看, 当 时间变动很小时, 气温的变化也很小, 这种特点就是所谓 连续性 . 解： 1、 y 1 2 0 21 x 2、 (1,2) 从图象上看， 在 处“连续”， 在 处“间断”。 2、 ， 1、 引例 求下列函数在处的函数值和极限，并作出图象。 图象： 图象： y x 0 1 12 2 (1,2) 定义1 一、函数在一点的连续性 u 函数的增量（改变量） 当变量 由初值 变到终值 时，称终值与初值 的差 为变量 的增量（改变量），记为 ， 即 提示: 设x=x0+Dx 则当Dx0 xx0 因此 定义1 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果 那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续 Dy=f(x0+Dx)-f(x0) 定理4.1 函数y=f(x)在点x0处连续函数y=f(x)在点x0处左连续且右 连续 左连续与右连续 例2 讨论函数 在 处的连续性，并作出函数的图象。 解： （1） 的定义域是 ，故 在 及其附近有定义， ; （2） x0 4 1 2 3-1-2 1 2 3 y 在 处连续。 例3 适当选取 的值，使函数 解： 二、 函数的间断点及其分类 如果函数 在 处不连续，那么称函数 在 处是间断的，并称点 为函数 的间 断点或不连续点。 由函数 在 处连续的定义知，当函数 有下列三种情形之一时，函数 在 处间断。 （1） 在 近旁有定义，但在 处没有定义。 （2） 虽在 处有定义，但 不存在。 （3） 虽在 处有定义，且 存在，但 （2）函数 在 处有定义，但 不存在。所以， 是该函数的间断点。 例如： （1）函数 在 处无定义 所以 是该函数的间断点。 2-2 2 y x0 1 -1 x y 0 (3) 函数 ，在 处有定义， 且 ， 但 所以 是该函数的间断点。 通常把间断点分成两类 设 x0是函数f 的间断点 如果左极限f(x0-0)及右极限f(x0+0)都存 在 那么x0称为函数f(x)的第一类间断点 不属于第一类间断点的间断点 称为第二类间断点 在第一类间断点中 左、右极限相等者称为可去间断点 v间断点的类型 注: .)(,)( )(,)(lim 00 0 0 的可去间断点为则称 或有定义但无定义在点而若 xfxAxf ，xxfAxf xx = 左、右极限不相等者称为跳跃间断点 注: .)( ),(lim)(lim,)( 0 0 00 的跳跃间断点为函数则称点 但右极限都存在的左在点若函数 xfx xfxfxxf xxxx -+ 下面举例说明函数间断点的这几种常见类型： 间断点的具体分类如表： 间断点举例 例1 它属于第二类间断点. 例2 当x0时 函数值在-1与+1之间震荡无限多次 所以点x=0是函数的间断点 所以点x=0称为函数的振荡间断点 它也属于第二类间 断点. 间断点举例 所以点x=1是函数的间断点 所以x=1为该函数的可去间断点 例3 间断点举例 如果补充定义 令x=1时y=2 则补充定义后的函数在x=1处就连续. 所以x=1是函数f(x)的可去间断点 如果改变函数f(x)在x=1处的定义 令f(1)=1 例4 间断点举例 则改变定义后的函数在x=1处连续. 由其图形可以看出，函数f(x)的图形在x=0处 产生了跳跃现象. 例5 间断点举例 所以x=0为函数f(x)的跳跃间断点 三、 区间上的连续函数 例6 例6 小结 (1), 函数的连续性定义; (3), 函数的间断点及其分类; (2)