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高中数学竞赛训练题二姓名：_ （训练时间80分钟） 得分：_一、填空题（本题满分64分，每小题8分。）1已知复数满足，则 2设，则的值域为_3设等差数列的前n项和为，若，则中最大的是_4已知o是锐角abc的外心，若，且，则_5已知正方体的棱长为1，o为底面abcd的中心，m，n分别是棱a1d1和cc1的中点则四面体的体积为_6设，且，则符合条件的共有 组（注：顺序不同视为不同组）7设，则的最小值为_-8设p是给定的正偶数，集合的所有元素的和是_二、解答题（本题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9设数列满足，其中（1）证明：对一切，有；（2）证明：10已知抛物线c：与直线l：没有公共点，设点p为直线l上的动点，过p作抛物线c的两条切线，a，b为切点(1)证明：直线ab恒过定点q；(2)若点p与（1）中的定点q的连线交抛物线c于m，n两点，证明：11设为正实数，且证明：答案：(09湖北)10; 2. 3. 4. 5. 6. 1600 7.8. 9证明 （1）在已知关系式中，令，可得；令，可得 令，可得 由得，代入，化简得 -7分（2）由，得，故数列是首项为，公差为2的等差数列，因此于是因为，所以-14分10证明 (1)设，则由得，所以于是抛物线c在a点处的切线方程为，即设，则有设，同理有所以ab的方程为，即，所以直线ab恒过定点 -7分 (2)pq的方程为，与抛物线方程联立，消去y，得设，则 要证，只需证明，即 由知，式左边=故式成立，从而结论成立 -15分11证明 因为，要证原不等式成立，等价于证明 -5分事实上， -10分由柯西不等式知 -15分又由知 由，可知式成立，从而原不等式成立 -20分14（2010广东理数）20（本小题满分为14分）一条双曲线的左、右顶点分别为a1,a2，点，是双曲线上不同的两个动点。1）求直线a1p与a2q交点的轨迹e的方程式；（2）若过点h(0, h)（h1）的两条直线l1和l2与轨迹e都只有一个交点，且 ,求h的值。10求不定方程的正整数解的组数10解 令，则先考虑不定方程满足的正整数解，-5分当时，有，此方程满足的正整数解为当时，有，此方程满足的正整数解为所以不定方程满足的正整数解为 -10分又方程的正整
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