数学建模在经济管理中的应用.ppt

数学建模在经济管理中的应用 本次专题内容 一、基本内容简介 二、生产计划问题 三、投资组合问题 四、市场营销问题 一、基本内容简介 1.规划问题的基本概念 研究内容： 1. 一项任务确定后，如何统筹安排，尽 量做到用最少的人力、物力资源去完成这 项任务 2.已经有一定数量的人力物力资源，如 何安排使用它，使得完成的任务最多。 优化模型三要素 1. 决策变量 2.目标函数 3.约束条件 一般形式 将实际问题转化为在一组线性不等式或等式约束 下求线性目标函数的最大最小问题。 目标函数 约 束 条 件 线性规划问题的数学模型: 满足约束条件的变量的值称为可行解， 可行解的集合称为可行域。 使目标函数达到最大（小）值的可行解 称为最优解， 相应的目标函数的值称为最优值。 线性规划问题:aij,bi,cj是常数; 实际应用中,这些数据往往是估计值和 预测值,不是常数;如,原材料的供应价格 波动,引起价值系数cj值的变化;技术改进 使得技术系数aij变化;原材料产量限制或 其他因素,引起资源向量系数bi变化. 灵敏度分析 question: 当这些系数中有一个或几个发生变化时,已 求得的lp问题的最优解会有什么变化,或者 这些系数在什么范围内变化时, lp问题 或 最优基不变; 又如,lp问题中增加新的变量或新的 约束条 件后,对lp问题求解的影响. 讨论以上条件变化对模型求解的影 响问题,为“灵敏度分析”. 影子价格的定义 定义 称 对偶问题的最优解为原问题 的约束条件的影子价格 l原问题l对偶问题 某一约束条件的影子价格等于它所对 应的约束条件右端常数增加一个单位时( 假设原问题的最优解不变),原问题目标函 数最优值增加的数值. 由此看出，对偶问题中第i个变量yi的 值,代表了对原问题中和第i个约束条件对 应的第i种资源的估价. 二、生产计划问题 案例分析加工奶制品的生产计划 1桶 牛奶 3公斤a1 12小时 8小时 4公斤a2 及 获利24元/公斤 获利16元/公斤 50桶牛奶 时间480小时 至多加工100公斤a1 制订生产计划，使每天获利最大 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? a1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划？ 每天： 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? 1桶 牛奶 3公斤a1 12小时 8小时 4公斤a2 或 获利24元/公斤 获利16元/公斤 x1桶牛奶生产a1 x2桶牛奶生产a2 获利 243x1 获利 164 x2 原料供应 劳动时间 加工能力 决策变量 目标函数 每天获利 约束条件 非负约束 线性 规划 模型 (lp) 时间480小时 至多加工100公斤a1 50桶牛奶 每天 模型分析与假设 比 例 性 可 加 性 连续性 xi对目标函数的“贡 献”与xi取值成正比 xi对约束条件的“贡 献”与xi取值成正比 xi对目标函数的“贡 献”与xj取值无关 xi对约束条件的“贡 献”与xj取值无关 xi取值连续 a1,a2每公斤的获利是与各 自产量无关的常数 每桶牛奶加工出a1,a2的数量和 时间是与各自产量无关的常数 a1,a2每公斤的获利是与相 互产量无关的常数 每桶牛奶加工出a1,a2的数量和 时间是与相互产量无关的常数 加工a1,a2的牛奶桶数是实数 线性规划模型 模型求解 图解法 x1 x2 0 a b c d l1 l2 l3 l4 l5 约 束 条 件 目标 函数 z=0 z=2400 z=3600 z=c (常数) 等值线 c 在b(20,30)点得到最优解 目标函数和约束条件是线性函数 可行域为直线段围成的凸多边形 目标函数的等值线为直线 最优解一定在凸多边 形的某个顶点取得。 模型求解 软件实现 lingo 8 max 72x1+64x2 st 2）x1+x250 3）12x1+8x2480 4）3x1100 end objective function value 1) 3360.000 variable value reduced cost x1 20.000000 0.000000 x2 30.000000 0.000000 row slack or surplus dual prices 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 no. iterations= 2 do range (sensitivity) analysis? no 20桶牛奶生产a1, 30桶生产a2，利润3360元。 结果解释 objective function value 1) 3360.000 variable value reduced cost x1 20.000000 0.000000 x2 30.000000 0.000000 row slack or surplus dual prices 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 no. iterations= 2 原料无剩余 时间无剩余 加工能力剩余40 max 72x1+64x2 st 2）x1+x250 3）12x1+8x2480 4）3x1100 end 三 种 资 源 “资源” 剩余为零的约束为紧约束（有效约束） 结果解释 objective function value 1) 3360.000 variable value reduced cost x1 20.000000 0.000000 x2 30.000000 0.000000 row slack or surplus dual prices 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 no. iterations= 2 最优解下“资源”增加1 单位时“效益”的增量 原料增加1单位, 利润增长48 时间增加1单位, 利润增长2 加工能力增长不影响利润 影子价格 35元可买到1桶牛奶，要买吗？ 35 48, 应该买！ 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元 ？ 2元！ ranges in which the basis is unchanged: obj coefficient ranges variable current allowable allowable coef increase decrease x1 72.000000 24.000000 8.000000 x2 64.000000 8.000000 16.000000 righthand side ranges row current allowable allowable rhs increase decrease 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 infinity 40.000000 最优解不变时目标函 数系数允许变化范围 do range(sensitivity) analysis? yes x1系数范围 (64,96) x2系数范围 (48,72) a1获利增加到 30元/千克，应否改变生产计划 x1系数由24 3=72 增加为303=90， 在允许范围内 不变！ (约束条件不变) 结果解释 ranges in which the basis is unchanged: obj coefficient ranges variable current allowable allowable coef increase decrease x1 72.000000 24.000000 8.000000 x2 64.000000 8.000000 16.000000 righthand side ranges row current allowable allowable rhs increase decrease 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 infinity 40.000000 影子价格有意义时约束右端的允许变化范围 原料最多增加10 时间最多增加53 35元可买到1桶牛奶，每天最多买多少 ？ 最多买10桶! (目标函数不变) 进一步 奶制品的生产销售计划 1桶 牛奶 3千克a1 12小时 8小时 4公斤a2 或 获利24元/公斤 获利16元/公斤 0.8千克b1 2小时,3元 1千克 获利44元/千克 0.75千克b2 2小时,3元 1千克 获利32元/千克 制订生产计划，使每天净利润最大 30元可增加1桶牛奶，3元可增加1小时时间，应否投 资？现投资150元，可赚回多少？ 50桶牛奶, 480小时 至多100公斤a1 b1，b2的获利经常有10%的波动，对计划有无影响？ 出售x1 千克 a1, x2 千克 a2， x3千克 b1, x4千克 b2 原料 供应 劳动 时间 加工能力 决策 变量 目标 函数 利润 约束 条件 非负约束 x5千克 a1加工b1， x6千克 a2加工b2 附加约束 模型求解 软件实现 lindo 9.0 objective function value 1) 3460.800 variable value reduced cost x1 0.000000 1.680000 x2 168.000000 0.000000 x3 19.200001 0.000000 x4 0.000000 0.000000 x5 24.000000 0.000000 x6 0.000000 1.520000 row slack or surplus dual prices 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32.000000 no. iterations= 2 objective function value 1) 3460.800 variable value reduced cost x1 0.000000 1.680000 x2 168.000000 0.000000 x3 19.200001 0.000000 x4 0.000000 0.000000 x5 24.000000 0.000000 x6 0.000000 1.520000 row slack or surplus dual prices 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32.000000 no. iterations= 2 结果解释 每天销售168 千克a2 和19.2 千克b1， 利润3460.8（元） 8桶牛奶加工成a1，42桶 牛奶加工成a2， 将得到的24千克a1全部 加工成b1 除加工能力外均 为紧约束 结果解释 objective function value 1) 3460.800 variable value reduced cost x1 0.000000 1.680000 x2 168.000000 0.000000 x3 19.200001 0.000000 x4 0.000000 0.000000 x5 24.000000 0.000000 x6 0.000000 1.520000 row slack or surplus dual prices 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32.000000 增加1桶牛奶使利润增 长3.1612=37.92 增加1小时时间使利 润增长3.26 30元可增加1桶牛奶，3元可增加1小时时间， 应否投资？现投资150元，可赚回多少？ 投资150元增加5桶牛奶， 可赚回189.6元。（大于 增加时间的利润增长） 结果解释b1,b2的获利有10%的波动，对计划有无影响 ranges in which the basis is unchanged: obj coefficient ranges variable current allowable allowable coef increase decrease x1 24.000000 1.680000 infinity x2 16.000000 8.150000 2.100000 x3 44.000000 19.750002 3.166667 x4 32.000000 2.026667 infinity x5 -3.000000 15.800000 2.533334 x6 -3.000000 1.520000 infinity do range (sensitivity) analysis? yes b1获利下降10%，超 出x3 系数允许范围 b2获利上升10%，超 出x4 系数允许范围 波动对计划有影响 生产计划应重新制订：如将x3的系数改为39.6 计算，会发现结果有很大变化。 三、投资组合问题 市场上有三种股票（a、b、c）12年 的价格（包括分红）每年的增长情况 （表中还给出了相应年份的500种股票 价格指数的增长情况）。假设你在 2008年有一笔资金准备投资这三种股 票，并期望年收益率至少达到15%， 那么你应如何投资？ 年份股票a股票b股票c股票指数 19961.3001.2251.1491.258997 19971.1031.2901.2601.197526 19981.2161.2161.4191.364321 19990.9540.7280.9220.919287 20000.9291.1441.1691.057080 20011.0561.1070.9651.055012 20021.0381.3211.1331.187925 20031.0891.3051.7321.317130 20041.0901.1951.0211.240164 20051.0831.3901.1311.183675 20061.0350.9281.0060.990108 20071.1761.7151.9081.526236 设股票a，b，c每年的收益率分别是r1， r2，r3。可以得到 er1=0.0890833，er2=0.213667 er3=0.234583 同样可以得到股票a，b，c的协防差矩阵 0.01080754 0.01240721 0.01307513 cov= 0.01240721 0.05839170 0.05542639 0.01307513 0.055426