2016年福建省高考模拟理科数学试卷（4月份）含答案解析.doc

2016年福建省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知a，br，i是虚数单位，若a+i与2bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）a34ib3+4ic54id5+4i2执行如图所示的程序框图，若要使输出的y的值等于3，则输入的x的值可以是（）a1b2c8d93已知cos（+）=，则sin2的值等于（）a bc d4已知a0，b0，则“ab1”是“a+b2”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d即不充分也不必要条件5（5）若xy满足约束条件，则的取值范围为（）a，b，1c（，+）d（，1，+）6已知等比数列an的各项均为正数且公比大于1，前n项积为tn，且a2a4=a3，则使得tn1的n的最小值为（）a4b5c6d77如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的各个面的面积中，最小的值为（）a2b8c4d88在abc中，a=，ab=2，ac=3， =2，则=（）abc d9若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（）a b c d10在三棱锥pabc中，pa=2，pc=2，ab=，bc=3，abc=，则三棱锥pabc外接球的表面积为（）a4bcd1611已知f1，f2分别为双曲线c： =1（a0，b0）的左、右焦点，若点p是以f1f2为直径的圆与c右支的个交点，f1p交c于另一点q，且|pq|=2|qf1|则c的渐近线方程为（）ay=2xby=xcy=xdy=x12已知f（x）是定义在r上的减函数，其导函数f（x）满足+x1，则下列结论正确的是（）a对于任意xr，f（x）0b对于任意xr，f（x）0c当且仅当x（，1），f（x）0d当且仅当x（1，+），f（x）0二填空题：本大题共4小题，每小题5分13若随机变量xn（，2），且p（x5）=p（x1）=0.2，则p（2x5）=14若（ax+）（2x+）5展开式中的常数项为40，则a=15若数列an的各项均为正数，前n项和为sn，且a1=1，sn+1+sn=（nn*），则a25=16已知点，且平行四边形abcd的四个顶点都在函数的图象上，则四边形abcd的面积为三解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17abc中，b=，点d在边ab上，bd=1，且da=dc（）若bcd的面积为，求cd；（）若ac=，求dca18如图，三棱柱abca1b1c1中，底面abc为等腰直角三角形，ab=ac=1，bb1=2，abb1=60（）证明：abb1c；（）若b1c=2，求ac1与平面bcb1所成角的正弦值19甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元； 乙公司无底薪，40单以内（含 40 单）的部分每单抽成4元，超出 40 单的部分每单抽成6元假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 3839404142天数2040201010乙公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 3839404142天数1020204010（）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（）若将频率视为概率，回答以下问题：（）记乙公司送餐员日工资x（单位：元），求x的分布列和数学期望；（）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由20已知抛物线e：y2=2px（p0）的焦点为f，过f且垂直于x轴的直线与抛物线e交于s，t两点，以p（3，0）为圆心的圆过点s，t，且spt=90（）求抛物线e和圆p的方程；（）设m是圆p上的点，过点m且垂直于fm的直线l交e于a，b两点，证明：fafb21已知函数f（x）=axln（x+1），g（x）=exx1曲线y=f（x）与y=g（x）在原点处的切线相同（）求f（x）的单调区间；（）若x0时，g（x）kf（x），求k的取值范围请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号选修4-1：几何证明选讲22如图，abc的两条中线ad和be相交于点g，且d，c，e，g四点共圆（）求证：bad=acg；（）若gc=1，求ab选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程为（为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为（）求c的普通方程和l的倾斜角；（）设点p（0，2），l和c交于a，b两点，求|pa|+|pb|选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x+1|（i）求不等式f（x）|2x+1|1的解集m；（）设a，bm，证明：f（ab）f（a）f（b）2016年福建省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知a，br，i是虚数单位，若a+i与2bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）a34ib3+4ic54id5+4i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接由a+i与2bi互为共轭复数，求出a、b的值，然后代入（a+bi）2，再由复数代数形式的乘法运算化简，则答案可求【解答】解：a+i与2bi互为共轭复数，a=2，b=1则（a+bi）2=（2+i）2=3+4i故选：b2执行如图所示的程序框图，若要使输出的y的值等于3，则输入的x的值可以是（）a1b2c8d9【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值，由y=3，分类讨论即可得解【解答】解：根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值y=3，可得：当x1时，x21=3，解得：x=2或2（舍去）；当1x2时，3x=3，解得：x=1（舍去）；当x2时，log2x=3，解得：x=8比较各个选项，则输入的x的值可以是8故选：c3已知cos（+）=，则sin2的值等于（）a bc d【考点】二倍角的余弦【分析】由题意和诱导公式可得sin，由同角三角函数基本关系可得cos，代入二倍角的正弦公式可得【解答】解：cos（+）=，sin=，即sin=，又，cos=，sin2=2sincos=2（）=，故选：d4已知a0，b0，则“ab1”是“a+b2”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d即不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可【解答】解：若a=3，b=，满足a+b2，但ab1不成立，a2+b22ab，（a+b）24ab，ab1，（a+b）24，a+b2，故a0，b0，则“ab1”是“a+b2”的充分不必要条件，故选：a5（5）若xy满足约束条件，则的取值范围为（）a，b，1c（，+）d（，1，+）【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，结合的几何意义，即可行域内的动点与定点p（1，1）连线的斜率求得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，的几何意义为可行域内的动点与定点p（1，1）连线的斜率，的取值范围为故选：b6已知等比数列an的各项均为正数且公比大于1，前n项积为tn，且a2a4=a3，则使得tn1的n的最小值为（）a4b5c6d7【考点】等比数列的通项公式【分析】可解得a3=1，a21，a41；而t5=a35=1，t6=（a3a4）31，从而解得【解答】解：a2a4=a3=a32，a3=1；a21，a41等比数列an是各项均为正数的递增数列，且t5=a35=1，t6=（a3a4）31，使得tn1的n的最小值为6，故选：c7如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的各个面的面积中，最小的值为（）a2b8c4d8【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知该几何体为是三棱锥，由三视图判断出线面的位置关系、并求出棱长，判断出几何体的各个面的面积最小的面，并求出此面的面积【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，且pb平面abc，底面是一个等腰三角形，且d是底边ac的中点，由三视图得：pb=ac=4，高bd=4，ab=ac=4，pbbc，pbab，pcbc，paab，几何体的各个面的面积中最小的是abc，abc的面积s=8，故选：b8在abc中，a=，ab=2，ac=3， =2，则=（）abc d【考点】平面向量数量积的运算【分析】可作出图形，根据便可得到，根据条件，ab=2，ac=3进行数量积的运算便可求出的值，从而得出的值【解答】解：如图，；=故选：c9若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（）a b c d【考点】椭圆的简单性质【分析】由正方形和椭圆的对称性可得，设椭圆方程为+=1（ab0），由b（a，0），oabc为正方形，可得a（，），c（，），代入椭圆方程，可得a2=3b2，由a，b，c的关系，结合离心率公式，可得所求值【解答】解：由正方形和椭圆的对称性可得，设椭圆方程为+=1（ab0），由b（a，0），oabc为正方形，可得a（，），c（，），将a的坐标代入椭圆方程可得+=1，即有a2=3b2，c2=a2b2=a2，即有e=故选：d10在三棱锥pabc中，pa=2，pc=2，ab=，bc=3，abc=，则三棱锥pabc外接球的表面积为（）a4bcd16【考点】球的体积和表面积【分析】利用勾股定理证明papc，取ac的中点，则oa=ob=oc=op，即o为三棱锥pabc外接球的球心，半径为2，即可求出三棱锥pabc外接球的表面积【解答】解：由题意，ac=4，pa=2，pc=2，pa2+pc2=ac2，papc取ac的中点，则oa=ob=oc=op，即o为三棱锥pabc外接球的球心，半径为2，三棱锥pabc外接球的表面积为4r2=16故选：d11已知f1，f2分别为双曲线c： =1（a0，b0）的左、右焦点，若点p是以f1f2为直径的圆与c右支的个交点，f1p交c于另一点q，且|pq|=2|qf1|则c的渐近线方程为（）ay=2xby=xcy=xdy=x【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意可得pf1pf2，可设|qf1|=t，可得|pq|=2t，由双曲线的定义可得|pf2|=3t2a，又连接qf2，可得|qf2|=t+2a，运用直角三角形的勾股定理，化简整理计算可得b=2a，运用双曲线的渐近线方程可得【解答】解：由题意可得pf1pf2，可设|qf1|=t，可得|pq|=2t，由双曲线的定义可得|pf1|pf2|=2a，即有|pf2|=3t2a，又连接qf2，可得|qf2|qf1|=2a，即有|qf2|=t+2a，在直角三角形pf1f2中，|pf1|2+|pf2|2=|f1f2|2，即为（3t）2+（3t2a）2=4c2，又|pq|2+|pf2|2=|qf2|2，即有4t2+（3t2a）2=（t+2a）2，由可得，3t=4a，代入，可得16a2+4a2=4c2，即有c=a，b=2a，即有渐近线方程为y=2x故选：a12已知f（x）是定义在r上的减函数，其导函数f（x）满足+x1，则下列结论正确的是（）a对于任意xr，f（x）0b对于任意xr，f（x）0c当且仅当x（，1），f（x）0d当且仅当x（1，+），f（x）0【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】由题意可得（x1）f（x）0，结合函数的单调性，从而可判断当x1时，f（x）0，结合f（x）为减函数可得结论【解答】解：+x1，f（x）是定义在r上的减函数，f（x）0，f（x）+f（x）xf（x），f（x）+f（x）（x1）0，（x1）f（x）0，函数y=（x1）f（x）在r上单调递增，而x=1时，y=0，则x1时，y0，当x（1，+）时，x10，故f（x）0，又f（x）是定义在r上的减函数，x1时，f（x）0也成立，f（x）0对任意xr成立，故选：b二填空题：本大题共4小题，每小题5分13若随机变量xn（，2），且p（x5）=p（x1）=0.2，则p（2x5）=0.3【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率【分析】由条件求得=2，可得正态分布曲线的图象关于直线x=2对称求得p（1x5）=1p（x1）p（x5）的值，再根据p（1x5）=2p（2x5），求得p（2x5）的值【解答】解：随机变量xn（，2），且p（x5）=p（x1）=0.2，可得=2，正态分布曲线的图象关于直线x=2对称p（1x5）=2p（2x5）=10.20.2=0.6，p（2x5）=0.3，故答案为：0.314若（ax+）（2x+）5展开式中的常数项为40，则a=3【考点】二项式系数的性质【分析】根据题意，（ax+）（2x+）5展开式中的常数项，是（2x+）5的展开式中项的系数与ax的系数之积，再加上x项的系数与的系数的积，利用（2x+）5展开式的通项公式，求出展开式中含与x项的系数，列出方程求出a的值【解答】解：（ax+）（2x+）5展开式中的常数项，是（2x+）5的展开式中项的系数与ax的系数之积，再加上x项的系数与的系数的积；又（2x+）5展开式的通项公式为：tr+1=（2x）5r=25rx52r，令52r=1，解得r=3，t3+1=22=40；令52r=1，解得r=2，t2+1=23x=80x；展开式中的常数项为：40a+80=40，解得a=3故答案为：315若数列an的各项均为正数，前n项和为sn，且a1=1，sn+1+sn=（nn*），则a25=52sqrt6【考点】数列递推式【分析】由题意可得an+1=（an+），分别令n=1，2，3，求出a1，a2，a3，a4，即可猜想答案【解答】解：sn+1+sn=（nn*），sn+sn1=（n2），sn+1+snsnsn1=，an+1+an=，an+1=（an+），a2=（a1+）=2，解得a2=1，a3=（a2+）=（1+）=2，解得a3=，a4=（a3+）=（+）=2，解得a4=，于是可以猜想，a25=52，故答案为：52，16已知点，且平行四边形abcd的四个顶点都在函数的图象上，则四边形abcd的面积为frac263【考点】向量在几何中的应用【分析】由条件可设，从而可以得出向量的坐标，根据题意有，从而便得到，这两式联立即可求出x1，x2，从而得出d点的坐标，进一步求出的坐标，从而可以由求出cosbad，从而可得出sinbad，根据即可得出平行四边形abcd的面积【解答】解：根据题意设，则：；由得， =；整理得，x1x2=5，带入式解得，或3（舍去）；x1=3；，；=；四边形abcd的面积为： =故答案为：三解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17abc中，b=，点d在边ab上，bd=1，且da=dc（）若bcd的面积为，求cd；（）若ac=，求dca【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（）根据三角形的面积公式和余弦定理即可求出，（）分别根据正弦定理和诱导公式即可得到sin（2+）=cos=sin（），解得即可【解答】解：（）abc中，b=，点d在边ab上，bd=1，sbcd=bdbcsin=1bc=，bc=4，由余弦定理可得cd2=bd2+bc22bdbccosb=1+16214=13，cd=，（）设dca=，da=dc，a=dca=，在adc中，由正弦定理可得=，ad=，在bdc中，由正弦定理可得=，=，sin（2+）=cos=sin（），2+=+2k，kz，当k=0时，=，当k=1时，=+（舍去），故dca=18如图，三棱柱abca1b1c1中，底面abc为等腰直角三角形，ab=ac=1，bb1=2，abb1=60（）证明：abb1c；（）若b1c=2，求ac1与平面bcb1所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质【分析】法一：（）连结ab1，在abb1中，由余弦定理得求出ab1，通过计算勾股定理证明ab1ab，以及证明acab，推出ab平面ab1c得到abb1c（）以a为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面bcb1的法向量，利用向量的数量积求解ac1与平面bcb1所成角的正弦值法二：（）过点a作ah平面bcb1，垂足为h，连结hc1，说明ac1h为ac1与平面bcb1所成的角取bc中点p，连结pb1，利用，求出ah，在rtahc1中，求解ac1与平面bcb1所成的角的正弦值即可【解答】满分解：法一：（）连结ab1，在abb1中，ab=1，bb1=2，abb1=60，由余弦定理得，ab1ab又abc为等腰直角三角形，且ab=ac，acab，又acab1=a，ab平面ab1c又b1c平面ab1c，abb1c（），ab1ac如图，以a为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，设平面bcb1的法向量=（x，y，z），由，得令z=1，得平面bcb1的一个法向量为 ，=，ac1与平面bcb1所成角的正弦值为法二：（）同解法一（）过点a作ah平面bcb1，垂足为h，连结hc1，则ac1h为ac1与平面bcb1所成的角由（） 知，ab1ab，ab=ac=1，b1c=2，ab1ac，又abac=a，ab1平面abc，取bc中点p，连结pb1，bb1=b1c=2，pb1bc又在rtabc中，ab=ac=1，即，ab1平面abc，bc平面abc，ab1bc，三棱柱abca1b1c1中，bcb1c1，b1c1=bc=2，ab1b1c1，在rtahc1中，所以ac1与平面bcb1所成的角的正弦值为19甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元； 乙公司无底薪，40单以内（含 40 单）的部分每单抽成4元，超出 40 单的部分每单抽成6元假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 3839404142天数2040201010乙公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 3839404142天数1020204010（）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（）若将频率视为概率，回答以下问题：（）记乙公司送餐员日工资x（单位：元），求x的分布列和数学期望；（）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（） 记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件m，利用等可能事件概率计算公式能求出这两天送餐单数都大于40的概率（）（）设乙公司送餐员送餐单数为a，推导出x的所有可能取值为152，156，160，166，172，由此能求出x的分布列和数学期望（）依题意，求出甲公司送餐员日平均送餐单数，从而得到甲公司送餐员日平均工资，再求出乙公司送餐员日平均工资，由此能求出结果【解答】解：（） 记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件m，则p（m）=（）（）设乙公司送餐员送餐单数为a，则当a=38时，x=384=152，当a=39时，x=394=156，当a=40时，x=404=160，当a=41时，x=404+16=166，当a=42时，x=404+26=172所以x的所有可能取值为152，156，160，166，172故x的分布列为：x152156160166172pe（x）=162 （）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为380.2+390.4+400.2+410.1+420.1=39.5所以甲公司送餐员日平均工资为70+239.5=149元由（）得乙公司送餐员日平均工资为162元因为149162，故推荐小明去乙公司应聘20已知抛物线e：y2=2px（p0）的焦点为f，过f且垂直于x轴的直线与抛物线e交于s，t两点，以p（3，0）为圆心的圆过点s，t，且spt=90（）求抛物线e和圆p的方程；（）设m是圆p上的点，过点m且垂直于fm的直线l交e于a，b两点，证明：fafb【考点】抛物线的简单性质【分析】（i）求出s点坐标，根据|sf|=|pf|列方程解出p即可得出抛物线方程和圆的半径；（ii）设m（x0，y0），根据，列方程得出a，b的坐标与m点坐标的关系，计算并化简即可得出=0【解答】解：（）将x=代入y2=2px，得y=p，所以|st|=2p，又spt=90，spt是等腰直角三角形，|sf|=|pf|，即p=|3|，解得p=2，抛物线方程为y2=4x，此时圆p的半径为p=2，圆p的方程为（x3）2+y2=8（）设m（x0，y0），则（x03）2+y02=8，即y02=x02+6x01，（*） 设a（，y1），b（，y2），则=（x01，y0），=（，y2y1），=（，y1y0），=（x0，y2y0），y1y2，若x0=1，则y0=0，此时不满足（*），故x010，y1+y2=，y1y2=（）（1）+y1y2=+1+=+1+=0afbf21已知函数f（x）=axln（x+1），g（x）=exx1曲线y=f（x）与y=g（x）在原点处的切线相同（）求f（x）的单调区间；（）若x0时，g（x）kf（x），求k的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求出f（x）的导数，根据f（0）=g（0），求出a的值，从而解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（）先求出xln（x+1），从而exx+1，设f（x）=g（x）kf（x）=ex+kln（x+1）（k+1）x1，根据放缩法以及函数的单调性通过讨论k的范围，求出k的具体范围即可【解答】解：（）因为f（x）=a，（x1），g（x）=ex1，依题意，f（0）=g（0），解得a=1，所以f（x）=1=，当1x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0，故f（x）的单调递减区间为（1，0），单调递增区间为（0，+）（）由（）知，当x=0时，f（x）取得最小值0所以f（x）0，即xln（x+1），从而exx+1设f（x）=g（x）kf（x）=ex+kln（x+1）（k+1）x1，则f（x）=ex+（k+1）x+1+（k+1），（）当k=1时，因为x0，所以f（x）x+1+20（当且仅当x=0时等号成立），此时f（x）在0，+）上单调递增，从而f（x）f（0）=0，即g（x）kf（x）（）当k1时，由于f（x）0，所以f（x）kf（x）由（）知g（x）f（x）0，所以g（x）f（x）kf（x），故f（x）0，即g（x）kf（x）（）当k1时，令h（x）=ex+（k+1），则h（x）=ex，显然h（x）在0，+）上单调递增，又h（0）=1k0，h（1）=10，所以h（x）在（0，1）上存在唯一零点x0，当x（0，x0）时，h（x）0所以h（x）在（0，x0）上单调递减，从而h（x）h（0）=0，即f（x）0，所以f（x）在（0，x0）上单调递减，从而当x（0，x0）时，f（x）f（0）=0，即g（x）kf（x），不合题意综上，实数k的取值范围为（，1请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号选修4-1：几何证明选讲22如图，abc的两条中线ad和be相交于点g，且d，c，e，g四点共圆（）求证：bad=acg；（）若gc=1，求ab【考点】相似三角形的性质；圆的切线的性质定理的证明【分析】（）由题意可得，g为abc的重心，根据d、c、e、g 四点共圆，可得ade=acg，deab，故有bad=ade，从而得到bad=acg（）延长cg交ab于f，则f为ab的中点，且cg=2gf证得afgcfa，可得=，即 fa2=fgfc，根据条件化为即ab=gc，从而得出结论【解答】证明：（）abc的两条中线ad和be相交于点g，g为abc的重心连结de，因为d、c、e、g 四点共圆，则ade=acg又因为ad、be为abc的两条中线，所以点d、e分别是bc、ac的中点，故deab，bad=ade，从而bad=acg解：（）g为abc的重心，延长cg交ab于f，则f为ab的中点，且cg=2gf在afc与gfa中，因为fag=fca，afg=cfa，所以afgcfa，=，即 fa2=fgfc因为f