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z+z智能教育平台超级画板广州地区综合应用项目超级画板培训讲义 广州大学计算教育软件研究所2010年11月203说明高中20学时、初中15学时、小学10学时。其中：第一部分2个学时，适用于小学、初中和高中；第二部分5个学时，适用于小学、初中和高中；第三部分5个学时，适用于初中和高中；第四部分1个学时，适用于小学、初中和高中；第五部分2个学时，适用于初中和高中；第六部分2个学时，适用于高中；第七部分2个学时，适用于初中和高中；第八部分1个学时，适用于高中；第九部分2个学时，适用于小学、初中和高中；第十部分考试要求，适用于小学、初中和高中。另外，带*的部分，为选学内容。目 录第一部分 超级画板之动态数学入门11.1认识动态数学11.2动态数学工具平台11.3通过两个实例入门31.3动态数学软件的构图规则9第二部分 几何图形与变换112.1经过一点的直线112.2三角形的三条高线122.3测量三角形的内角和142.4三角形内角和等于平角的直观说明152.5勾股定理的直观说明182.6在平面上滚动的车轮232.7圆在圆上滚动*252.8翻折得到轴对称图形282.9等分圆周设计的图案302.10直线与圆的位置关系322.11圆与圆的位置关系342.12研究圆幂定理362.13制作七巧板游戏382.14勾股树*412.15二叉树*452.16多边形的密铺*482.17密铺曲线*512.18平面中的变换*56第三部分 函数及图像683.1二次函数的图像683.2反比例函数的图像723.3指数函数及其反函数的图像*743.4参数方程曲线753.5极坐标方程曲线783.6分段函数的图像803.7变换得到y=a(x+m)2+k的图像833.8描点连线画函数图像*833.9美丽的玫瑰线*853.10根据通项公式画数列的图像873.11根据递推公式画数列的图像*89第四部分 运算与代数944.1比较y=x3与y=3x增长的快慢944.2国王需要付出多少小麦964.3闰年的规则是如何产生的994.4如何计算根号21004.5研究组合数的性质*1014.6研究二项展开式的规律*102第五部分 解析几何问题1035.1固定长度的线段在滑动1035.2斜率之积为定值的两直线交点的轨迹1045.3根据定义构造椭圆和双曲线1075.4根据定义构造抛物线1105.5构造标准圆锥曲线1115.6研究圆锥曲线的光学性质1135.7探索多点驱动下的轨迹曲线*114第六部分 三角函数关系1236.1利用正弦线画正弦函数的图像1236.2 y=sin(x)- 3sin (2x+pi/4)的动态变换1266.3和角正弦公式的一个直观说明*1316.4已知两边及一边对角解三角形1326.5三角函数曲线的变换1366.6正弦波的叠加*139第七部分 算法与编程1447.1超级画板的程序语言1447.2了解系统中的函数1497.3求最大公约数的程序1547.4判断是否为闰年的程序1567.5模拟随机抛硬币实验的程序1587.6用二分法求方程的近似解1597.7用牛顿迭代法求方程的近似解162第八部分 导数与积分1648.1用导数方法求方程的近似解1648.2利用导数研究函数的性质1658.3曲边多边形的面积166第九部分 概率与统计1719.1随机得到一个100以内的自然数1719.2模拟随机抛硬币实验1729.3模拟随机掷骰子实验*1799.4随机抛豆实验估计圆周率1829.5模拟转盘游戏*187第十部分 考试内容190第一部分 超级画板之动态数学入门1.1认识动态数学 “任意三角形abc.”、“点p在圆上o上运动过程中.”、“周长固定的长方形”.，这些都是我们常用的几何语言。这些语言所对应的情景，在传统教学手段下，只能要求学生充分发挥想象能力。相对于我们所生活的多姿多彩的空间而言，高度抽象化了的语言以及图形对于刚学习数学学生来说是难以接受的。 计算机的出现使这种现象渐渐发生改变。利用计算机所作的图形不仅直观、形象，而且具有动态性，易于观察和理解。 若利用计算机所作的几何图形，在被拖动过程中仍保持几何性质不变，如三角形还是三角形、圆上的点还是圆上的点、平行还是平行、垂直还是垂直、中点还是中点.，那么这样的图形就称为动态几何图形。 构造动态几何图形的计算机软件，就叫做动态几何软件（dynamic geometry software）。 动态几何的名称于上世纪80年代中期开始出现，经过了20多年的发展，动态几何吸引了越来越多人的关注，它在数学教育上的价值已经得到充分肯定。 目前具有动态几何功能的软件就有几十种，其中被中国数学教师所广泛了解的就有geometers sketchpad、z+z超级画板、cabri、autograph、derive、geogebra等。 由于计算机在动态几何方面的成功，也促使人们开始研究计算机在数学的其他领域的教育功能。 因此，计算机代数系统（computer algebra system）、动态统计软件（dynamic statistics system）、随机实验平台（probability simulation platform）等相继出现并被广泛实验应用。 计算机代数系统最重要的应用就是数值计算与符号运算。 动态统计软件能方便地处理大量的数据并且按照人们所熟悉的形式展现。 随机实验平台能够模拟概率事件并且自动记录和计算实验结果。 动态几何软件、计算机代数系统、动态统计软件、随机实验平台等都属于动态数学软件（dynamic mathematics software）。1.2动态数学工具平台 z+z智能教育平台超级画板是目前功能最完善的动态数学平台之一。它是： 动态几何平台； 计算机代数系统； 动态统计平台；随机实验平台；它还是： 程序设计平台； 自动推理系统。 为了更加尽快熟悉超级画板的上述功能，让我们首先了解一下它的工作界面吧。 超级画板软件启动后窗口如下： 利用超级画板工作，主要就是通过菜单栏中的菜单命令来实现。菜单栏中包括【文件】、【编辑】、【查看】、【作图】、【变换】、【测量】等菜单项。 菜单栏下是常用工具栏，就是将经常用的命令放在这里，提高我们的工作效率。 工具栏下面的空白区域就是作图等工作的主要区域，简称为作图工作区。 作图工作区左边是另外的一些工作区，包括“对象工作区”、“程序工作区”、“问题工作区”等。如左下图所示，单击下方的选项卡即可将对应的工作区激活；如右下图所示，单击工作区右上角的“”即可将对应的工作区关闭，通过单击【查看】菜单中【工具栏】子菜单下的对应命令可以重新显示。 我们常用的就是“对象工作区”和“程序工作区”，可以将其他工作区关闭，结果如左下图所示。 作图工作区右侧是“对象属性工作区”，可以方便地修改多个对象的属性。如右上图所示，拖动左边框可以改变它的宽度，单击右上方的“自动隐藏”开关按钮可以将“属性工作区”关闭。鼠标指向。 1.3通过两个实例入门这一节我们通过两个实例初步认识超级画板软件的主要功能。在制作下面的实例过程中，有些内容可能没有介绍得足够详细。（一）构造星形线和玫瑰线 （1）启动一个新的超级画板文档，下面的工作过程中，我们不需要显示坐标系，那么如左下图所示在对象工作区中单击“坐标系”对象前的方框，结果（如右下图）方框中“”消失的同时在作图工作区中坐标系也被隐藏。在对象工作区中，每个对象前的方框“”就是控制它在作图工作区中被显示或者隐藏的开关按钮。 （2）在新的超级画板文档中，单击工具条中的【画笔】工具，光标进入选择画图状态。 （3）在空白处单击鼠标然后松开，即可作出点a。 （4）如下图，鼠标指向点a，按住拖动一段距离后松开鼠标，即可作出线段ab。 （5）如下图，鼠标指向线段ab中点附近的位置，当线段ab变为红色且光标右侧出现“中点”提示时，单击鼠标，作出线段ab的中点c。 （6）如下图所示，鼠标指向点c，双击不松开并按住拖动，移动到点b的位置时（点b变为红色）松开鼠标，作出以点c为圆心、经过点b的圆。 （7）如下图所示，鼠标指向圆周，圆周变为红色进行提示时单击鼠标，作出圆c上的任意点d。 （8）单击点d并按住拖动到点c，作出线段dc。 （9）如下图所示，鼠标指向线段dc的延长线与圆周的交点附近的位置，线段cd和圆周同时变为红色进行提示并且光标右侧出现“相交”，这时单击鼠标即可作出线段dc的延长线与圆周的交点e。然后连接线段ec。 （10）在弧bd之间，在圆周上任意取另外一个点f。 （11）单击点f，并按住拖动到线段ab垂足附近的位置，线段ab变为红色进行提示并且光标右侧出现“垂足”，这时松开鼠标即可作出点f到线段ab的垂足g和垂线段fg。 （12）作出点f到线段dc的垂足h和垂线段fh。 （13）连接线段gh。 （14）作出点c到线段gh的垂足i和垂线段ci。结果如下图所示： （15）单击工具条中的【选择】工具，光标返回到选择状态。 点a、点b平面上的自由点，可以被任意拖动。 点d、点f是圆c的圆周上的点，称为半自由点，可以在圆上被任意拖动。 点c是线段的中点，点e是直线和圆的交点，点g、点h、点i是点到直线的垂足，这些称为约束点，不能被拖动。 在点a、点b或者点d、点f被拖动过程中，可以发现图形的几何性质保持不变，中点还是中点、垂足还是垂足、交点还是交点，这就是动态几何图形的特点。 拖动点d，使得cd与ab垂直，结果如下图所示： 容易看出，四边形cgfh是一个矩形。根据矩形的性质得知，当点f在圆上运动的过程中，线段gh保持长度不变。这样，就可以模拟靠在墙上的梯子向下滑动的过程。 那么，当梯子在下滑过程中，或者说当点f在圆周上运动的过程中，线段gh扫描过的区域是一个什么样的图形呢？点i和线段ci上又能划出什么性状的图形呢？为了探索这些问题，我们继续下面的操作： （16）鼠标指向线段gh，单击鼠标右键，弹出快捷菜单，如左下图在快捷菜单中单击【跟踪】命令，结果如下图（中）所示在对象工作显示出增加了线段gh的跟踪对象。拖动点f在圆周上运动，结果如右下图所示。 （17）增加点i的跟踪和线段ci的跟踪。 （18）为了让点f在圆周上更加均匀地运动，可以增加一个点f的动画按钮，操作是：鼠标指向点f，单击鼠标右键，在快捷菜单中单击【动画.】命令，结果弹出动画属性对话框，直接单击对话框中【确定】按钮完成。单击动画按钮结果如下图所示： 为了让跟踪的图形更加美观，我们需要作如下调整： 将跟踪对象都放在图层的最后面（最下面），使得能够清楚地看到原来点、线等几何对象。将不同的跟踪对象设置不同的颜色，使得容易识别跟踪图形的性质特点。 当作图区中出现一般操作时，跟踪对象就会自动消失，所以跟踪对象无法在作图区中被选中，但可以在左边的对象工作区中容易地选择它们。 为完成上述目的，需要继续下面的操作： （19）在对象工作区中选择线段ci的跟踪对象，单击【对象】菜单中的【移动对象到最后面】命令，（这时线段ci的跟踪对象仍处于被选中的状态）然后单击工具条中【画笔颜色】工具右部分的三角，如下图所示即可打开画线颜色调色板，然后选择一种颜色即可。 （20）选择点i的跟踪对象，将其移至最后，并且重新设置一种画线颜色。 （21）选择线段gh的跟踪对象，将其移至最后，并且重新设置一种画线颜色。结果如下图所示：【思考与练习】 当线段cd与ab不垂直时，跟踪图形如下图所示： 请继续研究下面的问题： （1）线段gh的长度是否仍然保持不变？ （2）跟踪线段gh所留下的图形与上面有什么区别？ （3）跟踪点i的所留下的图形有什么改变？ （二）作y=ax2的图像 （1）单击工具栏中【新页】工具，在当前文档中建立一个新的页面。 （2）在作图区空白位置单击鼠标右键，在右键菜单中单击【函数或参数方程曲线.】命令，弹出函数作图属性对话框。 （3）如下图所示，在【y=】对应的编辑框中输入：a*x2。 （4）单击【确定】按钮完成，结果如下图所示。 （5）单击【插入】菜单中的【变量对象.】命令，弹出的变量对象属性对话框，如下图所示，在【变量】对应的编辑框中输入：a，单击【确定】按钮完成。 这时，从参数a的变量控制尺可以看到参数a的当前值为4.70，通过这个变量控制尺可以改变参数a的值。具体操作方法如下： （6）如左下图所示，鼠标指向中间的控制滑标，单击鼠标，如右下图鼠标光标变为横向的双向箭头，这时向左或者向右拖动鼠标即可改变参数a的值。 画出了函数图像之后，我们需要坐标系的刻度显示出来，在这里只需要设置坐标系的属性值即可。具体操作方法如下： （7）如左下图所示，在对象工作区中单击第4号对象“对象组：坐标系”前面的加号“+”，结果如右下图所示，展开对象组的列表。 （8）鼠标指向第0号对象“直角坐标系o-xy”，单击右键，即可打开它的属性对话框。 （9）如下图所示，在属性对话框中选择“显示刻度”选项，单击【确定】按钮完成。【思考与练习】 鼠标单击上面参数a的变量控制尺，这是会出现一些黑色方块，这些方块都有一定的作用，拖动这些黑色方块，说说它们对变量控制尺有什么影响。1.3动态数学软件的构图规则 根据前面所设计到的问题，我们粗略谈谈使用动态数学软件工具作图等工作过程中所要遵从的规则和超级画板中的一些习惯。 （1）当需要用画笔画图时，就单击【画笔】工具进入画图状态；当不再用画笔画图时，就单击【选择】工具返回到选择状态。 （2）平面上的任意点，是完全自由点，可以被任意拖动；直线上的点、圆上的点以及以后接触到的曲线上的点，是半自由点，可以按照一定的规律被拖动；线段的中点，直线的垂足等，是约束点，不能被拖动。 （3）需要选择多个对象时，需要按住ctrl键的同时，依次单击需要被选择的对象。选择完成后，松开ctrl键即可。 （4）要作三角形的内心，需要首先选择三角形的三个顶点；要构造一个多边形的内部，需要首先选择多边形的顶点。当选择的对象满足作图条件时菜单命令才会变为亮色被激活，若选择的对象不满足作图条件，则对应的菜单命令为灰色不能被使用。 （5）控制参数改变的方法上面介绍了两种：插入参数的变量控制尺，增加参数的动画按钮。学习小结 首先我们认识了超级画板软件的界面，进一步学习了根据自己的要求重新布置界面的方法。另外，你还可以根据自己的需要将常用的菜单命令添加到工具条中，这与一般的应用软件的操作方法是相同的。 我们学习了用超级画板的【画笔】工具的功能，利用画笔可以直接画出点、线、圆、对象上的点、对象之间的交点、垂足、中点等等，而不能任何工具和菜单之间的切换。实际上，利用画笔可以直接作出二十几种常用的几何对象。【画笔】工具的功能丰富而使用简单，不过需要加强练习才能运用自如。 除此之外，我们还学习了利用菜单命令作图、进行图形变换的操作，从而理解在计算机上作图的规则，有些命令要首先选择满足作图条件的对象后才能被激活；而另外有些命令，却是什么都不需要选择即可直接使用。 希腊字母在计算机系统中通常用pi表示。第二部分 几何图形与变换2.1经过一点的直线 在平面上，经过一个点的直线有多少条呢？我们可以在计算机上画出经过任意两个点的一条直线，然后其中一个点位置固定的情况下，拖动另外一个点，引导学生探索这个问题。 （1）在新的文档页面中，隐藏坐标系。 （2）单击【画笔】工具，任意画一条线段ab。 （3）单击【选择】工具，双击线段ab，打开其属性对话框，如下图所示，选择直线类型为：直线，单击【确定】按钮完成。 （4）跟踪直线ab。 拖动点b，可以观察到经过点a的直线的情况，如下图所示：【思考与练习】 如上图所示，蓝色圆以点a为中心、经过点b，点c是圆a上的任意点，红色圆以c为圆心经过点b。当点c在圆周上运动时跟踪圆c留下的图形，如下图所示，这叫心脏线或者苹果曲线。请你自己动手展示生成苹果曲线的过程。2.2三角形的三条高线 利用动态几何软件画出的图形，其形状可以被任意改变，而图形在改变过程中，所包含的几何关系始终保持不变，这可以帮助我们探索与发现图形中所隐含的内在规律。 （1）在新建文档中，隐藏坐标系。 （2）单击【画笔】工具，画任意三角形abc。 （3）作出点a到对边bc的垂足d和垂线段ad，作出点b到对边ca的垂足e和垂线段be；作出点对c到边ab的垂足f和垂线段cf。 （4）单击【选择】工具，返回到选择状态。 （5）设置线段ad为直线，设置线段be为直线，设置线段cf为直线。 （6）同时选择直线ad、be和cf，在右侧的属性对话框中设置【画线类型】为：虚线。结果如右下图所示： 对于垂直关系，我们往往需要标注出直角符号。例如要将adc的角标注出来，就首先要选择三个点，分别是角的始边上的点、角的顶点、角的终边上的点，然后执行标注角的命令。操作步骤如下： （7）按住ctrl键，依次选择点a、点d和点c，单击【作图】菜单中的【标注角】命令。 （8）重复类似操作标注bea和cfb。 （9）选择角的标注符号，可以通过工具条中的【填充】工具将其内部填充。结果如下图所示：【思考与练习】 三角形的三条中线、三条角平分线也分别交于一点，请你动手完成展示和探索这两个性质的内容。 要做三角形中一个角平分线和对边的交点，可以通过【作图】菜单下【点】子菜单中的【角平分线上的点】命令直接实现。 2.3测量三角形的内角和 利用计算机作出的三角形，可以被任意改变形状，能够更加普遍地探究三角形三个内角测量值之和的规律。 （1）在新建文档中，作任意三角形abc。 （2）依次选择点c、点a和点b，单击【测量】菜单下的【角的值】命令，结果得到cab的测量值，如下图所示： 当图形比较简单时，我们一般习惯用角的顶点的名字表示这个角，例如在这里表示为a，所以我们可以将角的名称进行修改。操作步骤如下： （3）双击测量文本，如左下图进入编辑状态，将字符cab修改为a，然后在作图区空白处单击鼠标，退出编辑状态，结果如右下图所示。 （4）重复类似操作测量角b和角c的值，并且按照上面的要求编辑测量结果名称。 （5）单击【测量】菜单下的【测量表达式.】命令，打开测量表达式对话框。如下图所示，可以看到之前测量的值分别用m000、m001、m002记录，这是计算机系统自动产生的名称，而且这样做的好处是：之前测量得到的结果容易被以后所运用。 （6）在【表达式】编辑框中输入：m000+m001+m002；然后单击【测量结果表示为弧度】，取消对该选项的选择；单击【确定】按钮得到测量结果。 （7）最后关闭测量表达式对话框，结果如下图所示：【思考与练习】 如何测量三角形的外角和？同时实验探索或检验三角形外角和的规律。2.4三角形内角和等于平角的直观说明 我们可以通过将一个角平移、将另一个角旋转直观地说明了三角形内角和等于平角的道理，见下节的【思考与练习】。在这一节中，将通过同时两个角旋转来直观说明。 （1）画任意三角形abc。 （2）作ab边的中点d、ca边的中点e、bc边上的中点f。 （3）同时选择点a、点b和点c，单击【作图】菜单下【点】子菜单中的【三角形的内心】命令，作出三角形abc的内心g。结果如下图所示： 下面要完成以点e为中心、以t为旋转角，将c旋转： （4）右键单击点e，在快捷菜单中单击【指定旋转或放缩中心】命令。此时，该命令的名称变为【目前正在使用的旋转或放缩中心为：e】。 （5）在作图区空白处单击右键，在快捷菜单中单击【指定旋转角或放缩倍数参数.】命令，在弹出的用户输入对话框中输入：t，单击【确定】按钮完成。此时，该命令的名称变为【目前正在使用的旋转或放缩倍数参数为：t.】。 （6）同时选择点c、点f和点g，单击鼠标右键，在快捷菜单中单击【旋转几何对象】命令，结果作出点h、点i、点j。 （7）依次选择点e、点h、点i和点j，单击鼠标右键，在快捷菜单中单击【多边形】命令，作出多边形ehij。结果如下图所示： 下面要完成以点d为中心、以-t为旋转角，将b旋转： （7）右键单击点d，在快捷菜单中单击【目前正在使用的旋转或放缩中心为：e】命令。此时，该命令的名称变为【目前正在使用的旋转或放缩倍数参数为：d】。 （8）在作图区空白处单击右键，在快捷菜单中单击【目前正在使用的旋转或放缩中心为：t】命令，在弹出的用户输入对话框中将参数修改为：-t，单击【确定】按钮完成。此时，该命令的名称变为【目前正在使用的旋转或放缩中心为：-t】。 （9）同时选择点b、点f和点g，单击鼠标右键，在快捷菜单中单击【旋转几何对象】命令，结果作出点k、点l、点m。 （10）依次选择点d、点k、点l和点m，单击鼠标右键，在快捷菜单中单击【多边形】命令，作出多边形dklm。结果如下图所示： （11）以点a、点d、点g和点e为顶点，构造一个多边形。 （12）单击多边形的内部，通过工具条中的【填充工具】为三个多边形设置填充颜色。 下面增加一个控制参数t的动画按钮： （13）在作图区空白处单击右键，在快捷菜单中单击【动画.】命令，在弹出的用户输入对话框中输入：t，单击【确定】按钮，弹出动画属性对话框。 （14）如下图所示，在动画属性对话框中设置运动频率为：300，设置参数范围为：0到pi，选择运动类型为：一次运动。 隐藏不需要显示的对象： （15）选择点d、点e、点f、点g、点h、点i、点j、点k、点l、点m，在空白处单击右键，在快捷菜单中单击【隐藏】命令。 单击【动画: t0, pi】按钮的主按钮（左边部分），b和c动态旋转，结果如下图所示： 单击【动画: t0, pi】按钮的辅按钮（中间部分），b和c动态旋转，结果如下图所示：【思考与练习】 （1）将三角形通过如下图所示变换，可以直观说明三角形的面积等于底边与高的乘积的一半。请你在计算机上完成能动态展示这一过程的实验。 （2）将梯形形通过如下图所示变换，可以直观说明梯形的面积等于上、下底边之和与高的乘积的一半。请你在计算机上完成能动态展示这一过程的实验。 （3）放缩操作和旋转操作的方法类似，请你动手设计一个放缩对象的变换。2.5勾股定理的直观说明 勾股定理是几何中最著名的定理之一，也叫毕达格拉斯定理。据说毕达格拉斯发现这个定理时认为这是神赐予的，于是杀了100头牛祭祀，大摆宴席。 到今天为止，证明勾股定理的方法有上百种之多。在本节中我们将通过计算机的动态演示直观地说明勾股定理。 （1）在新建文档中，隐藏坐标系。 （2）光标进入画图状态，画任意线段ab，如下图所示，鼠标单击点b并按住向上拖动，当光标右侧出现“垂直”提示时，松开鼠标，作出经过点b与线段ab垂直的线段bc。 下面我们要做出分别以ab、bc、ca为一边的三个正方形。而例如以ab为一边的正方形有两个，分别在ab的上方和下方。在超级画板中作正方形需要选择两个点，而以两个已知点为顶点的正方形有两个。那么所作出的正方形的位置与选择的点的顺序有关：以选择的第一个点为中心，将第二个点按逆时针方向旋转的一侧。具体操作步骤如下： （3）依次选择点c和点b，单击【作图】菜单下【常见多边形】子菜单中的【正方形】命令，结果如下图所示。 （4）依次选择点a和点c，作出正方形。 （5）依次选择点b和点a，作出正方形。结果如下图所示： 下面我们要将正方形abih分割成四部分。操作步骤如下： （6）作出对角线ai的中点j。（若作图过程中作出了对角线ai，则将其删除即可） （7）光标进入画图状态，如下图所示，过点j作出与ac垂直且与hi相交的线段jk。当然你的操作过程中，也可能是与ag平行且与hi相交的情形，而结果是相同的。删除线段jk。 （8）将点j指定为旋转中心，设置旋转角参数为：pi/2。 （9）将点k旋转得到点l，将点l旋转得到点m，将点m旋转的到点n。 将正方形abih内的四部分分别以不同的向量平移而出，操作步骤如下： （10）作平面上的任意点p、点q、点r和点s。 （11）依次选择点j和点p，单击鼠标右键，在快捷菜单中单击【选定平移向量】命令。此时，该命令的名称变为【目前正在使用的平移向量为：jp】。选择点k、点i和点l，单击鼠标右键，在快捷菜单中单击【平移几何对象】命令，得到点t、点u和点v。作出以点p、点t、点u和点v为顶点的多边形，并将其内部填充一种颜色。 （12）依次选择点j和点q，单击鼠标右键，在快捷菜单中单击【目前正在使用的平移向量为：jp】命令。此时，该命令的名称变为【目前正在使用的平移向量为：jq】。选择点l、点b和点m，单击鼠标右键，在快捷菜单中单击【平移几何对象】命令，得到点w、点x和点y。作出以点q、点w、点x和点y为顶点的多边形,，将其内部填充一种颜色。 （13）以有向线段jr为平移向量，将点m、点a和点n平移得到点z、点a1和点b1，作出以点r、点z、点a1和点b1为顶点的多边形，并将其内部填充。 （14）以有向线段js为平移向量，将点n、点h和点l平移得到点c1、d1和点e1，作出以点s、点c1、d1和点e1为顶点的多边形，并将其内部填充。结果可参照下图中的部分。 下面将正方形cbde按照指定的向量平移而出，操作步骤如下： （15）作出线段cd的中点f1，作出线段af的中点g1。（若作图过程中作出了正方形的对角线，则将其删除即可） （16）在平面上任意取一点h1。 （17）以有向线段f1h1为平移向量，将点c、点b、点d和点e平移得到点i1、j1、k1和点l1，作出以点i1、j1、k1和点l1为顶点的多边形，将其内部填充并增加其内部的透明度。结果如下图所示： 下面作出两个直角边对应的正方形内部剪切、平移到斜边对应的正方形内部的动画按钮。操作步骤如下： （18）依次选择点p和点g，单击鼠标右键，在快捷菜单中单击【动画.】命令，在弹出的动画属性对话框中单击【确定】按钮完成，作出点p移动到点g的动画按钮。 （19）重复类似操作，作出点q移动到点a的动画按钮，作出点r移动到点c的动画按钮，作出点s移动到点f的动画按钮，作出点h1移动到点g1的动画按钮。如下图所示： （20）同时选择这5个动画按钮，单击【课件】菜单中的【动画并行运动按钮】命令，在弹出的动画属性对话框中，单击【文本】选项卡，设置按钮的名称为：剪拼，单击【确定】按钮完成，作出按钮【剪拼】。 下面作出还原按钮。操作步骤如下： （21）作出点p移动到点j的动画按钮，作出点q移动到点j的动画按钮，作出点r移动到点j的动画按钮，作出点s移动到点j的动画按钮，作出点h1运动到点f1的动画按钮。 （22）同时选择这5个动画按钮，单击【课件】菜单中的【动画并行运动按钮】命令，在弹出的动画属性对话框中，单击【文本】选项卡，设置按钮的名称为：还原，单击【确定】按钮完成，作出按钮【还原】。 下面对作图区中不需要显示的对象隐藏，具体如下： （23）将【剪拼】和【还原】之外的其他10个动画按钮隐藏。 （24）将点a、点b和点c之外的其他所有点隐藏。 到现在整个内容就制作完毕，单击【剪拼】按钮，结果如左下图所示；单击【还原】按钮，结果如右下图所示。 【思考与练习】 （1）在上一节中我们通过旋转的方式直观地说明了三角形内角和为平角。我们还可以将角a旋转到角c的位置，然后将角b平移到角c的位置，同样能直观地说明三角形内角和为平角这个问题。请你动手完成它的直观展示过程。 （2）过去直接进入证明缺少发现的过程，因此几何定理仿佛是从天上掉下来的。新课程改革中则强调先从直观发现图形性质，积累了一定知识之后再进入逻辑论证。这时出现了一个新的问题：既然我们发现了图形的性质，为什么还要进行推理证明呢？似乎没有这个必要！怎么让学生感到不能光凭直觉研究图形性质？请你动手制作了下面的内容，将左边的图形剪开平移重新组合后得到了右边的图形。并增加一个标题：怎么少了一块？ 2.6在平面上滚动的车轮 圆形车轮在水平路面上无滑动地滚动的特点就是圆心在水平方向上经过的距离，即车轮行驶过的路面长度，等于车轮在路面上滚动所经过的弧长。根据这一原理，我们就可以模拟车轮在平面上滚动的过程。 首先设置作图区的界面，更加像一个路面，具体操作如下： （1）在空白文档中，如左下图所示，在左边对象工作区中单击“对象组：坐标系”前的“+”，结果变为“-”，如右下图所示列表展开。 （2）单击对象“点：坐标原点”前的方框，从作图区中隐藏原点o；单击对象“直线：y轴”前的方框，从作图区中隐藏y轴。 （3）在左边对象工作区中，如左下图所示，鼠标指向第0号对象“直角坐标系o-xy”，单击右键，打开其属性对话框，如右下图所示，设置x轴的名称为：路面，单击【确定】按钮完成。 作出一个半径为1的车轮，操作步骤如下： （4）在作图区空白处单击鼠标右键，在弹出的快捷菜单中单击【坐标点】命令，弹出坐标点作图对话框，如下图所示，在第一行中双击x坐标对应的网格激活输入状态，输入：a；双击y坐标对应的网格激活输入状态，输入：1；为了使得作出的点能够在水平方向上被拖动，输入“x拖动”的参数为：a，最后单击【确定】按钮完成，作出点a。（其中拖动参数必须是对应的坐标表达式中所出现的参数） （5）选择点a，单击【作图】菜单中【圆和圆弧】子菜单下的【已知圆心和半径的圆.】命令，在弹出的输入对话框中输入：1，单击【确定】按钮，作出以点a为圆心、半径为1的圆。 （6）作出圆与路面的交点b。结果如下所示： 假设车轮在起点时，对应的点a的横坐标是0，点b在起点处。车轮行驶了一段距离a后，车轮上的一点应该旋转了a弧度（因为圆a的半径为1），所以我们将点b绕点a旋转a弧度所得到的点，就是车轮滚动过程中点b应该旋转到的实际位置。具体操作方法如下： （7）依次选择点b和点a，单击鼠标右键，在快捷菜单中单击【点绕点的旋转放缩点.】，如下图所示，在弹出的参数输入对话框中输入放缩比例为：1，旋转角（角度）为：-a*180/pi，单击【确定】按钮，作出点c和线段ac。（负号表示按照顺时针方向旋转） 作出经过点c的直径和与ac垂直的直径，具体操作步骤如下： （8）作出线段ca的延长线与圆a的交点d，连接线段ad。 （9）依次选择点c和点a，单击鼠标右键，在快捷菜单中单击【点绕点的旋转放缩点.】，在弹出的参数输入对话框中输入放缩比例为：1，旋转角为：90，单击【确定】按钮，作出点e和线段ae。 （10）作出线段ea的延长线与圆a的交点f，连接线段af。结果如下图所示： （11）作出点a运动的动画按钮，设置运动的范围为：0到4*pi，设置运动频率为：300。 隐藏点b和其他轮子上的点的名字，操作如下： （12）隐藏点b。 （13）单击【编辑】菜单中【全部点的名字】开关命令，将点的名字隐藏。 单击动画按钮，模拟轮子在水平路面上滚动的过程，如下图所示：【思考与练习】 （1）跟踪车轮上的点c，然后再次单击动画按钮，结果如下生成点c的跟踪图形： 这种由旋转的轮子在无滑动的滚动中而生成的曲线，就叫做旋轮线。请你研究旋轮线的性质。 （2）在轮子的半径上任意取一点，然后跟踪该点，如下图所示，是其中的两种情形： 这种图形也是无滑动滚动的轮子边沿上的点而生成的曲线吗？ 它们被称为广义旋轮线。 （3）请你探索得出（1）中轨迹图形对应点c的轨迹方程，也进一步尝试得到（2）中对应的轨迹曲线方程。 （4）将轮子的半径大小改为r，重新制作上面的内容。 2.7圆在圆上滚动* 在固定圆上滚动的圆，跟踪其上面的一点所生成的曲线也是摆线。下面制作半径为r的动圆在半径为r的定圆上滚动的实验。 为了方便讨论问题，在这里我们将圆的半径取为整数。在计算机和数学语言中取整数的函数是floor(a)，结果表示比a小的最大整数。 首先作出半径为floor(a)的定圆和半径为floor(b)的动圆。 （1）在新建文档中，隐藏0号对象“坐标系”、2号对象“x轴直线”、3号对象“y轴直线”，只保留坐标原点o。 （2）如下图所示，作坐标点a（floor(a)*cos(t)，floor(a)*sin(t)），设置x拖动参数为t。 （3）以点o为圆心、oa长为半径作圆。（在什么都不选择的情况下，单击工具条中的【缩小】工具可以减小坐标系的单位长度） （4）以点a为圆心、作半径长为floor(b)的圆。连接线段oa，作出oa的延长线与圆a的另一个交点b。结果如下图所示： （4）隐藏圆b和线段oa。 （5）作出以点b为圆心经过点a的圆。 假定初始位置时，圆b与圆o相切于点a，若点b绕o旋转了t弧度，则点a绕点b旋转的角度是：t*floor(a)/floor(b)弧度。下面作出点a绕点b旋转的对应点： （6）将点a绕点b旋转放缩，得到点c和线段bc。其中放缩比例为：1，旋转角(角度）为：180/pi*t*floor(a)/floor(b)。结果如下图所示： （8）跟踪点c。 下面增加点a的动画按钮。 设k=floor(a)/floor(b)。当k为整数时，曲线由k支组成，圆b上的点描完k支后(即圆b绕圆a一周)，返回到起始位置；当k为分数（k=g/h，g、h为互素的整数）时，曲线由g支组成，圆p上的动点描完g支后（即圆p绕圆o旋转h周），返回到起始位置。在这里，当k为整数时，让圆p绕圆o滚动一周；当k为分数时，让圆p绕圆o旋转floor(b)周（若用m表示floor(a)与floor(b)的最大公约数，则旋转floor(b)周的过程中，是m次的循环）。 “floor(a)被floor(b)整除”可以用“floor(a)/floor(b)的小数部分小于任何一个正数”这句话解释；表示成计算机的数学语言就变为：(k-floor(k)0。上面的表达式，当floor(b)为负数时也成立，请自己验证。（9）打开测量表达式对话框，计算floor(a)的值，计算floor(b)的值，计算floor(a)/floor(b)的值。其中floor(a)/floor(b)用变量m002记录。（10）增加点a的动画按钮，设置运动频率为：500，选择运动类型为：一次运动，设置参数范围为：0到sign(m002-floor(m002),0)*2*pi*floor(b)+sign(0.01,m002-floor(m002)*2*pi 增加可以控制定圆、动圆半径的坐标点。操作如下： （11）如下图所示，作坐标点d（floor(a)，-4）、e（floor(b)，-5），其中设置点d的“x-拖动”参数为a、点e的拖动参数为b。 对作图区中的内容进行整理，操作如下： （12）隐藏点a及线段ab，隐藏floor(a)/floor(b)的测量文本。 （13）将点d的名字修改为：a，将点e的名字修改为：b，将点b的名字修改为：p。 （14）将floor(a)的测量文本的名称修改为“a=”，将floor(b)的测量文本的名称修改为“b=”。结果如下图所示： （15）设置点c的跟踪对象的颜色，并将其移动到最后。 单击【动画】按钮，结果如下图所示： 多次改变动圆的半径，再次单击【动画】按钮，结果如下： 【思考与练习】 （1）在这里，我们所设计的实验中，a和b的值能不能为负数，若为负数会有怎样的结果？ （2）请你设计一个动圆在定圆内部滚动的实验。2.8翻折得到轴对称图形 轴对称图形有什么特点？如何设计轴对称图形？利用仿射变换和计算机的直观动态展示，可以加深学生轴对称图形相关概念和性质的理解。 首先作出以坐标原点o为中心的椭圆，并作出椭圆的左顶点和上顶点。操作如下： （1）选择坐标原点o，单击【作图】菜单中【圆锥曲线】子菜单下的【根据条件作标准圆锥曲线.】命令，如左下图所示，在弹出的圆锥曲线作图对话框中，设置长半轴为3，设置短半轴为：2，单击【确定】按钮完成。结果如右下图所示： （2）进入画笔状态，如左下图所示，鼠标指向椭圆x负半轴与椭圆的交点处，当光标出现“相交”提示时，单击鼠标作出椭圆的左顶点a。类似操作，作出椭圆的上顶点b。然后在椭圆上任取一点c。结果如右下图所示： 作出以aob为一角的平行四边形和以cob为一角的平行四边形，操作如下： （3）依次选择点a、点o和点b，单击【作图】菜单中【常见多边形】子菜单下的【平行四边形】命令，作出平行四边形aobd；依次选择点c、点o和点b，作出平行四边形cobe。如下图所示： 拖动点c，四边形cobe就像一扇门，以ob直线为轴转动着。而四边形aobd就像一扇静止的门。若将一个图形“画”在这扇转动的门上，那么就可以动态、直观地展示图形的翻折过程了。 那就是建立一个仿射变换，从点o、点a、点b确定的坐标系到点o、点c、点b确定的坐标系之间的一个变换。然后将在当前坐标系中画出的图形进行仿射变换即可。具体操作步骤如下： （4）依次选择点o、点a和点b，单击【变换】菜单中的【指定仿射变换】命令。（结果，该命令的名称变为：仿射变换：三角形(0,0)(1,0)(0,1)-三角形oab） （5）依次选择点o、点c和点b，单击【变换】菜单中的【仿射变换：三角形(0,0)(1,0)(0,1)-三角形oab】命令。（结果，该命令的名称变为：仿射变换：三角形oab-三角形ocb） 结果就建立了从坐标系oab到坐标系ocb的仿射变换。不在同一直线上的三个点可以确定一个坐标系，在这里选择的第一个点、第二个点和第三个点分别记作坐标系的原点、x轴上的单位点和y轴上的单位点。当然，你选择点的顺序也可以是点a、点o和点b，而对应第二个坐标系的三个点的顺序需要对应为：点c、点o和点b。 下面我们任意画一个图形，然后按照指定的仿射变换进行变换。操作如下： （6）任意画三角形fgh。 （7）选择点f、点g和点h，单击【变换】菜单中的【几何对象的仿射变换.】命令，结果得到点i、点j和点k。 （8）作出由点i、点j和点k确定的多边形，将其内部填充，并增加其透明度。结果如下图所示： （9）作出点c的动画按钮，设置运动频率为：300，设置参数范围为：pi到2*pi，选择运动类型为：一次运动。【思考与练习】 （1）利用当前建立的仿射变换，你还可以继续对其他对象进行变换。请你利用