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1 现代科学工程计算基础复习提纲现代科学工程计算基础复习提纲 一、主要内容一、主要内容 第二章非线性方程求根第二章非线性方程求根 1 1概念及基本定理概念及基本定理 (l)(l)非线性方程非线性方程f f( (x x)=0)=0 根的存在性及唯一性条件根的存在性及唯一性条件 (2) (2)简单迭代法局部收敛的定义和判定简单迭代法局部收敛的定义和判定 2 2方法方法( (单根单根) ) (l)(l)基本二分法求根基本二分法求根 (2) (2)简单迭代法及其加速方法求根简单迭代法及其加速方法求根 (3)Newton (3)Newton 迭代法求根迭代法求根 第三章线性方程组求解第三章线性方程组求解( (直接法直接法) ) 1 1基本定理基本定理 (1)(1)线性方程组的解的存在唯一性线性方程组的解的存在唯一性 (2)LU (2)LU 分解的条件分解的条件 (3)Gauss (3)Gauss 消元法消元法( (顺序，列主顺序，列主) )的条件的条件 2 2方法方法 (1)Gauss(1)Gauss 消元法消元法( (顺序，列主顺序，列主) )的计算的计算 (2)Gauss-Jordan (2)Gauss-Jordan 消元法的计算消元法的计算 (3) (3)矩阵矩阵 LULU 分解方法的计算分解方法的计算 第四章迭代法第四章迭代法( (线性方程组线性方程组) ) 1 1概念及基本定理概念及基本定理 (1)(1)矩阵的不可约定义矩阵的不可约定义 (2) (2)迭代法收敛性判定的充分必要条件迭代法收敛性判定的充分必要条件 (3) (3)迭代法收敛性判定的充分条件迭代法收敛性判定的充分条件 2 2方法方法 (l)Jacobi(l)Jacobi 迭代法的计算迭代法的计算 (2)Gauss-Seidel (2)Gauss-Seidel 迭代法的计算迭代法的计算 第六章插值法与曲线拟合第六章插值法与曲线拟合 1 1概念及基本性质概念及基本性质 (1)(1)一元代致插值问题；插值结点与插值点；基函数与插值多项式；插值条件；插值问题一元代致插值问题；插值结点与插值点；基函数与插值多项式；插值条件；插值问题 (2)Lagrange(2)Lagrange 插值基函数插值基函数 (3)Lagrange (3)Lagrange 插值多项式插值多项式 (4) (4)均差与均差表均差与均差表 (5)Newton (5)Newton 均差值多项式均差值多项式 2 2方法方法 (1)Lagrange(1)Lagrange 插值方法插值方法 (2)Newton (2)Newton 均差插值方法均差插值方法 (3)Hermite (3)Hermite 插值方法插值方法 第七章数值积分第七章数值积分 1 1概念概念 (1)(1)数值求积公式数值求积公式 (2) (2)插值型求积公式插值型求积公式 (3) (3)数值求积公式的代数精度数值求积公式的代数精度 2 2方法方法 (l)(l)复化求积复化求积( (定步长定步长) )方法方法 (2) (2)确确定代数精度的方法定代数精度的方法 情形情形一一：己知：己知数值求积公式数值求积公式确确定其代数精度定其代数精度 情形情形二二：所给：所给数值求积公式数值求积公式中中求积求积系系数数为未知为未知，试确试确定求积和定求积和系系数及公式的代数精度数及公式的代数精度 情形情形三三：所给：所给求积公式求积公式中中结点结点为未知为未知，试确试确定结点及公式的代数精度定结点及公式的代数精度 第第八八章章初初值问题的数值方法值问题的数值方法 1 1概念概念 (1)(1)初初值问题数值解与数值解法值问题数值解与数值解法 2 2公式与方法公式与方法 (1)Euler(1)Euler 公式公式( (显显式式) (2) (2)梯形梯形公式与公式与改进改进的的 EulerEuler 公式公式 (3)Euler (3)Euler 公式与公式与改进改进 EulerEuler 公式的计算公式的计算 二、注意事项二、注意事项 1 1注意带计算器注意带计算器, ,考试需要一张演草纸考试需要一张演草纸 2 2考试时，试卷上每个题尽量作考试时，试卷上每个题尽量作, ,不要留空白不要留空白 3 3上述重点题目注重解题方法上述重点题目注重解题方法 4 4考试只能带教材，有关资料可以写在书上某些地方当作上课笔记考试只能带教材，有关资料可以写在书上某些地方当作上课笔记 2 现代科学工程计算基础复习题现代科学工程计算基础复习题 1求方程求方程 3 310xx+=+=在区间在区间1,2内的一个实根内的一个实根,要求精确到要求精确到 2 位小数位小数. 2给定方程给定方程 3 310xx= (1)证明该方程在证明该方程在1,2内有唯一根；内有唯一根； (2)用二分法求此根用二分法求此根,若要误差不超过若要误差不超过 10 3,问要二分多少次？问要二分多少次？ (3)取初值取初值 x0=1.4,用用 Newton 迭代计算两步迭代计算两步. 3用列主元素消元法解下列方程组用列主元素消元法解下列方程组 1 2 3 0341 1112 2123 x x x = . 4给定线性方程租给定线性方程租 Ax=b, 其中其中 1233 234 ,4 3466 Ab = (1)用列主元素消元法解此方程组；用列主元素消元法解此方程组；(2)给出矩阵给出矩阵 A 的的 Doolittle 分解分解(LU 分解分解). 5设设 Ax=b,其中其中 2102 121 ,3 0125 AB = (1)任选一种矩阵分解方法分解任选一种矩阵分解方法分解 A. (2)试写出求解该方程组的收敛的试写出求解该方程组的收敛的Jacobi迭代式和迭代式和Gauss- seidel迭代式迭代式,并并选取选取合适合适的初值的初值x(0),迭代一次求迭代一次求x(1). 6考虑考虑线性方程组线性方程组 Ax=b,其中其中 2102 132 , 5 0238 Ab = (1)试用试用 Gauss 消元法解此方程组消元法解此方程组,并并给出给出 A 的的 LU 分解分解. (2)试试判断判断用用 Jacobi 迭代和迭代和 Gauss- seidel 迭代解此方程组收敛迭代解此方程组收敛与否与否？说说明明理由理由. 7考察考察方程组方程组 1 2 3 1224 1115 2211 x x x = = 的的 Jacobi 迭代和迭代和 Gauss- seidel 迭代的收敛性迭代的收敛性. 8设设函函数数 1 2 ( )f xx= =, 在在 x=49, 64, 81 三点处三点处的值容的值容易易求求得，是以这三点建立得，是以这三点建立该该函函数的二次数的二次插插值多项式值多项式，并由，并由 此多项式计算此多项式计算 1 2 (8.5)的的近似近似值值. 9已知三已知三次多项式次多项式 P3(x)的数的数据如据如下下: xi-1012 P3(xi) -3-1-13 3 (1)求求 P3(x),并证明并证明 P3(x)=0 在在1,2内只有一个根内只有一个根. (2)取取 x0=1.4,用牛顿迭代计算这个根用牛顿迭代计算这个根(迭代三次迭代三次). 10确定一个确定一个 3 次多项式次多项式 P3(x),使得使得 3333 (0)(0)0,(1)1,(2)4PPPP = = =,并计算并计算 P3(1.7). 11求最小二乘法解超定方程组求最小二乘法解超定方程组 2411 353 26 27 xy xy xy xy +=+= = +=+= +=+= . 12已知一组数据已知一组数据: x-2-1012 y01210 试分别用一次多项式、二次多项式及最小二乘原理拟合这组数据试分别用一次多项式、二次多项式及最小二乘原理拟合这组数据. 13 设数值求积公式 设数值求积公式 1 010 0 11 ( )2 ()()() 36 f x dxf xf xfx + ,试确定试确定结点结点x0, x1使使求求积公积公式的代数精式的代数精尽量高尽量高. 14确定下列求确定下列求积公积公式中的式中的待待定定参参数数 A0, A1, A2,使使其代数精其代数精尽量高尽量高,并并给出其代数精给出其代数精度度. 1 012 0 ( )(0)(1)(0)f x dxA fA f A f + . 15Dawson 积积分分是是一个一个积积分分上限函上限函数数 22 0 ( ) x xt f xee dt = = , (1)试试将将求求 f(x)的值的值转化为转化为求一求一阶微阶微分方程初值问题分方程初值问题. (2)用用改进改进 Euler 公公式计算式计算 f(0.1)的的近似近似值值(取步取步长长 h=0.1). 16就就初值问题初值问题 y =2x+1, y(0)=0 导导出出 Euler 方法和方法和改进改进 Euler 方法的方法的近似近似解解表达表达式式,并与并与其其准准确解确解 y =x2+x 相比相比 较较 17设一设一物体作直物体作直线线运动，运动，在在最最初初 12 秒秒内内记录记录其其速度如速度如下下表表 t(秒)036912 V(米/秒)7577808284.5 (1)建立速度建立速度 V 和和时时间间之之间间 t 的的直直线线拟合关系。拟合关系。 (2)设设 S(0)=0，试用两种复试用两种复化化求求积公积公式计算该式计算该物体物体在在 t=12 秒时秒时的的路路程；程； (3)建立建立一一阶微阶微分方程初值问题分方程初值问题，用用改进改进的的 Euler 公公式计算式计算 t=3 秒时秒时的的路路程程(设设 h=3). 4 现代科学工程计算基础复习题参考解答现代科学工程计算基础复习题参考解答 1求方程求方程 3 310xx+=+=在区间在区间1,2内的一个实根内的一个实根,要求精确到要求精确到 2 位小数位小数. 解解:(1)二分法求解二分法求解. 根根据据题设题设 3 1 10 ,1 2 ba =,则则 2 1 11 1021007 22 k k k + + ,列列表表计算计算 k a b c=(a+b)/2 f(a) f(b) f(c) 0.000 1.000 2.000 1.500 - 1.000 3.000 - 0.125 1.000 1.500 2.000 1.750 - 0.125 3.000 1.109 2.000 1.500 1.750 1.625 - 0.125 1.109 0.416 3.000 1.500 1.625 1.563 - 0.125 0.416 0.127 4.000 1.500 1.563 1.531 - 0.125 0.127 - 0.003 5.000 1.531 1.563 1.547 - 0.003 0.127 0.061 6.000 1.531 1.547 1.539 - 0.003 0.061 0.028 7.000 1.531 1.539 1.535 - 0.003 0.028 0.012 所以所以 x* x7=1.54 (2)Newton 法求解法求解. 因为原因为原方程在区间方程在区间1,2内有唯一实根内有唯一实根, 故故用用 Newton 迭代法收敛迭代法收敛于于该实根该实根.Newton 迭代迭代为为 33 122 3121 3(1)3(1) kkk kk kk xxx xx xx + + + = 取取 x0=1.5, x1=1.533, x2=1.532, 因为因为 |x2- x1|=0.001=, 函函数数 f(x)为增函为增函数数.又因为又因为 f (1)=- 30,所以函所以函数数 f(x)在在 1,2内有唯一实根内有唯一实根. (2)根根据据题设题设 3 10 ,1ba =,则则 3 1 1 1025009 2 k k k + + , 二分二分 9 次次即可即可. (3) 根根据据 Newton 迭代迭代公公式式 1 () () n nn n f x xx fx + = 可得可得递推递推公公式式 33 11 22 3121 333(1) nnn nnn nn xxx xxx xx + + = 或 取取 x0=1.4, x1=2.6,x2=2.15, 所以所以 x* x2=2.15 5 3用列主元素消元法解下列方程组用列主元素消元法解下列方程组 1 2 3 0341 1112 2123 x x x = . 解解:用列主元素消元法解用列主元素消元法解 034121232123 111 2111 201.50 0.5 212303410341 212321231007/ 6 034 1034 1010 1/ 3 01.500.5002 10011/ 2 , 所以所以 7/ 6 1/ 3 1/ 2 X = = 4给定线性方程租给定线性方程租 Ax=b, 其中其中 1233 234 ,4 3466 Ab = (1)用列主元素消元法解此方程组；用列主元素消元法解此方程组；(2)给出矩阵给出矩阵 A 的的 Doolittle 分解分解(LU 分解分解). 解解:(1)用列主元素消元法解用列主元素消元法解 12333466346 6 234 4234 401/ 30 0 3466123302/ 31 1 346 63466100 0 02/ 31 102/ 31 1010 0 01/ 30 0001/ 21/ 2001 1 (2)矩阵矩阵 A 的的 Doolittle 分解分解(LU 分解分解),设设 111213 212223 313233 1231 2341 3461 uuu luu llu = = ,对比元素计算可得对比元素计算可得 1123 21,12 3211 LU = 5设设 Ax=b,其中其中 2102 121 ,3 0125 AB = (1)任选一种矩阵分解方法分解任选一种矩阵分解方法分解 A. (2)试写出求解该方程组的收敛的试写出求解该方程组的收敛的 Jacobi 迭代式和迭代式和 Gauss- seidel 迭代式迭代式,并选取合适的初值并选取合适的初值 x(0),迭代一次求迭代一次求 x(1). 解解:(1)矩阵矩阵 A 的的 Doolittle 分解分解(LU 分解分解),设设 111213 212223 313233 2101 1211 0121 uuu luu llu = ,对比元素计算可得对比元素计算可得 6 1210 1/ 21,3/ 21 02/ 314/ 3 LU = = = (2)由于由于矩阵矩阵 A 满足满足不不可可约弱对角占优约弱对角占优,所以所以对对任意初任意初始始 x(0), 由由 A 形成形成的的 Jacobi 迭代式和迭代式和 Gauss- seidel 迭代式迭代式都都 收敛收敛.Jacobi 迭代式迭代式为为 (1)( ) 12 (1)( )( ) 213 (1)( ) 32 1 1 2 113 222 15 22 kk kkk kk xx xxx xx + + + + + + =+=+ =+=+ =+=+ , 取取 x(0)=(0,0,0)T, 代代入入计算计算 x(1)=(1,1.5,2.5)T. Gauss- seidel 迭代式迭代式为为 (1)( ) 12 (1)(1)( ) 213 (1)(1) 32 1 1 2 113 222 15 22 kk kkk kk xx xxx xx + + + + =+=+ =+=+ =+=+ , 取取 x(0)=(0,0,0)T, 代代入入计算计算 x(1)=(1,2,3.5)T. 6考虑考虑线性方程组线性方程组 Ax=b,其中其中 2102 132 , 5 0238 Ab = (1)试用试用 Gauss 消元法解此方程组消元法解此方程组,并并给出给出 A 的的 LU 分解分解. (2)试试判断判断用用 Jacobi 迭代和迭代和 Gauss- seidel 迭代解此方程组收敛迭代解此方程组收敛与否与否？说说明明理由理由. 解解:(1)用用 Gauss 消元法解消元法解 21 32 31 21022102210210011/ 7 1/ 2 132 502.52 40.8 02.52 4010 8/ 7 0 02380238001.44.800124/ 7 l l l = = = = = ? ? 所以所以 11/ 7 8/ 7 24/ 7 X = = ,同同时得时得到到 2101210 1320.5102.52 02300.81001.4 = = (2)由于由于矩阵矩阵 A 满足满足不不可可约弱对角占优约弱对角占优,所以所以对对任意初任意初始始 x(0), 由由 A 形成形成的的 Jacobi 迭代式和迭代式和 Gauss- seidel 迭代式迭代式都都 收敛收敛. 7 7考察下列方程组的考察下列方程组的 Jacobi 迭代和迭代和 Gauss- seidel 迭代的收敛性迭代的收敛性. 1 2 3 1224 1115 2211 x x x = = 解：解：Jacobi 迭代迭代 (1)( ) 0224 1015 2201 nn XX + + =+=+ 计算计算 022 101 220 J G = = 的特征值的特征值 ： 3 0 = =,于是于是()01 J G = ，Gauss- seidel 发散发散. 8设函数设函数 1 2 ( )f xx= =, 在在 x=49, 64, 81 三点处三点处的值容的值容易易求求得，是以这三点建立得，是以这三点建立该该函函数的二次数的二次插插值多项式值多项式，并由，并由 此多项式计算此多项式计算 1 2 (8.5)的的近似近似值值. 解解：计算计算 Newton 相相邻邻差差商商表如表如下下 x f(x) 一一阶阶差差商商 二二阶阶差差商商 49 7 64 8 0.06667 81 9 0.05882 - 0.00025 所以所以二次多项式二次多项式 2( ) 70.06667(49)0.00025(49)(64)pxxxx=+=+ 2(8.5) 3.75p , 而而 1 2 (8.5)2.92= =，误差误差为为 0.83. 9已知三已知三次多项式次多项式 P3(x)的数的数据如据如下下: xi-1012 P3(xi) -3-1-13 (1)求求 P3(x),并并证明证明 P3(x)=0 在在1,2内内只只有一个根有一个根. (2)取取 x0=1.4,用用牛顿牛顿迭代计算迭代计算这这个根个根(迭代迭代三三次次). 解解:(1)计算计算 Newton 差差商商表如表如下下 x f(x) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 - 1 - 3 8 0 - 1 2 1 - 1 0 - 1 2 3 4 2 1 所以所以 Newton 三次多项式三次多项式 32 3( ) 32(1)(1)(1) (1)1pxxxxxx xxx= += += 因为在因为在1,2内内( )(32)0fxxx =,函数为增函数函数为增函数.又因为又因为 f(1)=- 10,所以函数所以函数 f(x)在在1,2内有唯 一实根 内有唯 一实根. (2) Newton 迭代为迭代为 3232 122 121 3232 kkkk kk kkkk xxxx xx xxxx + + + = , 取取 x0=1.4, x1=1.47012987,x2=1.465591205,x2=1.465571232, 所以所以 x* x3=1.4656 10确定一个确定一个 3 次多项式次多项式 P3(x),使得使得 3333 (0)(0)0,(1)1,(2)4PPPP = = =,并并计算计算 P3(1.7). 解解:(1)计算计算 Newton 相相邻邻差差商商表如表如下下 x f(x) 一阶差商 二阶差商 0 0 1 - 1 - 1 2 4 5 3 所以所以二次多项式二次多项式 2 2( ) 3 (1)34pxxx xxx= += += (2)求求四四次次插插值多项式值多项式 P3(x).令令 323332 ( )( )( )( )( )( )pxpxQxQxpxpx=+=+=, 332 ()()()0, 0,1,2 iii Qxpxpxi=,假假设设 3 ( )(1)(2)Qxax xx= 再利再利用用导导数数条件条件 3 (0)(0)0pf =, 2 3( ) 34(1)(2)pxxxax xx=+=+ 3 ( )64(1)(2)(2)(1)pxxa xxax xax x =+=+ 4( 1)( 2)02aa += += 2 3( ) 342 (1)(2)pxxxx xx=+=+ 11求求最最小二小二乘乘法解超定方程组法解超定方程组 2411 353 26 27 xy xy xy xy +=+= = +=+= +=+= . 解解:方程组写方程组写成成 2411 353 126 217 x AXb y = , 对应对应法方程组法方程组 TT A AXA b= =为为 18351 34648 x y = = , 9 该法方程组的解为所以该法方程组的解为所以 3.04 1.24 x y = = 12已知一组数据已知一组数据: x-2-1012 y01210 试分别用一次多项式、二次多项式及最小二乘原理拟合这组数据试分别用一次多项式、二次多项式及最小二乘原理拟合这组数据. 解解:(1)设设yabx=+=+,用最小二乘原理拟合等价于求方程组用最小二乘原理拟合等价于求方程组 120 111 102 111 120 a AXB b = , 对应法方程组对应法方程组 TT A AXA B= =为为 504 0100 a b = = , 该法方程组的解为所以该法方程组的解为所以 0.8 0 a b = = 所以所以 所求函数为所求函数为 0.8y = = (2)设设 2 yabxcx=+=+,用最小二乘原理拟合等价于求方程组用最小二乘原理拟合等价于求方程组 12 40 11 11 1002 1111 1240 a AXBb c = , 对应法方程组对应法方程组 TT A AXA B= =为为 50104 01000 100342 a b c = = , 该法方程组的解为所以该法方程组的解为所以 1.656 0 0.429 a b c = = 所以所以 所求函数为所求函数为 2 1.6560.429yx= 13 设数值求积公式 设数值求积公式 1 010 0 11 ( )2 ()()() 36 f x dxf xf xfx + ,试确定试确定结点结点x0, x1使使求求积公积公式的代数精式的代数精尽量高尽量高. 解解:令令 2 ( ),f xx x= =分分别得别得到到 01 0 0 22 1010 1 1 210 ,2 121 0 xxx x xxxx x +=+= = = = = = =+=+= = = 从而从而 1 0 11 ( )2 (0)(1)(0) 36 f x dxff f + 或者或者 1 0 1111 ( )2 ( )(0)( ) 3262 f x dxff f + . 再令再令 3 ( )f xx= =,上上述述两个式两个式子都子都不不成成立立,所以所以确定的求确定的求积公积公式的的代数精式的的代数精度是度是 2. 14确定下列求确定下列求积公积公式中的式中的待待定定参参数数 A0, A1, A2,使使其代数精其代数精尽量高尽量高,并并给出其代数精给出其代数精度度. 1 012 0 ( )(0)(1)(0)f x dxA fA f A f + . 10 解解:令令 2 ( )1, ,f xx x= =分别得到分别得到 010 1 121 0 12 12/ 3 11 1/ 21/ 3( )2 (0)(1)(0) 32 1/ 31/ 6 AAA AAAf x dxfff AA +=+= +=+=+ = 再令再令 3 ( )f xx= =,上上述述两个式两个式子都子都不不成成立立,所以所以确定的求确定的求积公积公式的的代数精式的的代数精度是度是 2. 15Dawson 积积分分是是一个一个积积分分上限函上限函数数 22 0 ( ) x xt f xee dt = = , (1)试试将将求求 f(x)的值的值转化为转化为求一求一阶微阶微分方程初值问题分方程初值问题. (2)用用改进改进 Euler 公公式计算式计算 f(0.1)的的近似近似值值(取步取步长长 h=0.1). 解解:(1)建立微建立微分方程初值问题分方程初值问题 12 (0)0 yxy y = = = = . (2)用用改进改进 Euler 公公式式 112 1 21 () 2 12 12(12) nn nn nnnn h yykk kx y kxyhx y + + + + =+=+ = =+=+ , 1 2 1012 1 12 0.1 0.10.98 (0.1)() 2 0.1 0.990.0