系统零输入响应.ppt

第2章连续信号与系统的时域分析 本章知识点 先导案例 2.1系统微分方程的建立及算子表示 2.2系统的零输入响应 2.3单位冲激函数 2.4系统的单位冲激响应和零状态响应 2.5卷积积分 2.6系统的时域分析法举例 1.掌握微分方程的建立及算子表示。 2.系统的零输入响应。 3.单位冲激函数。 4.系统的单位冲激响应和零状态响应。 5.卷积积分。 6.系统的时域分析法。 返回 第2章连续信号与系统的时域分析 2.1系统微分方程的建立及算子表示 2.1.4系统方程的算子表示法 如上面所示，描写线性系统的激励函数和响应函数间关系的 微分方程形式看起来很复杂，为了方便起见，把微分算子用 符号p来代表，如令 ，通过引入算子符号，可以把微积 分方程在形式上变成代数方程。它的优点一是简化方程的列 写(特别是联立方程消元)，一是通过引入系统转移算子H(p) 的概念，便于形成系统分析的统一的方法。 先引入算子的定义，再由定义导出其“运算”规则，最后介 绍如何用算子法列写微分方程。 上一页 下一页返回 2.1系统微分方程的建立及算子表示 1.算子的定义 1)微分算子p 2)积分算子 上一页 下一页返回 2.1系统微分方程的建立及算子表示 例2-2用算子法表示下面的微分方程。 解:根据微分算子与积分算子的定义，上式可表示为 上一页 下一页返回 2.1系统微分方程的建立及算子表示 还可以将上式改写为 对于n阶系统，若设y(t)为响应变量， f(t)为激励 ，则系统微分方程的一般形式为: 用微分算子p表示则为 或写为： 又可写为： 2.1系统微分方程的建立及算子表示 式中： 其中，b0bm是常数， an-1a0是常数 D(p)称为系统或微分方程式的特征多项式 2.1系统微分方程的建立及算子表示 2.1系统微分方程的建立及算子表示 例2-3利用广义微分算子与广义积分算子来表示下面的微分方 程。 解：由广义微分算子与广义积分算子可写微分方程的算子方 程如下 其中 上一页 下一页返回 2.1系统微分方程的建立及算子表示 5)转移算了H(p） 其意义为义为 ，若 即表示 上一页 下一页返回 2.1系统微分方程的建立及算子表示 例2-4求下面微分方程的转移算子H(p) 解：可将上述方程改写为为 根据转转移算子的定义义，上式可进进一步表示为为 上一页 下一页返回 2.1系统微分方程的建立及算子表示 也即 2.算子的运算规则 （1）由P的多项式所组成的运算符号可以像代数式 那样相乘和因式分解。 特殊情况： 返回 2.1系统微分方程的建立及算子表示 特殊一： 这里也像代数式中一样，分了分母中的p可以消去 。但是 这单除非x(-) = 0，否则分母和分子中的p就不 能消去。这表明在一般情况下，有 上一页 下一页返回 2.1系统微分方程的建立及算子表示 特殊二： 若将式 两边积分，可得 （ c为积分常数） 对于等式px =py，双方的算子p一般也不好消去。 以上讨论说明，代数量的运算规则对于算子符号一 般也可以用，只是在分子分母中或在等式两边中的 算子符号不能随便消去。 上一页 下一页返回 2.1系统微分方程的建立及算子表示 3.算子方程组的消元 为了要从一个n阶电路的n元一次算子方程组得到一个形式为 的一元n阶算了方程，必须将原方程组中除响应变量.y(t)以外 的其他未知量系统消去。在掌握了算子的运算规则之后，就 可以较为方便地做到这一点。 上一页 下一页返回 2.1系统微分方程的建立及算子表示 例2-5 列写图2-3所示电路的算子方程组，并分别 求出由激励f(t)至响应i1(t)与i2(t)的转移算子H1(p)与 H2(P)。 解:用网孔分析法列写电路方程组 为了分别求得i1(t)， i2(t)与f (t)之间的关系，必须将 另外一个变量消去。消去i2(t) ，得到关于i1(t)的方 程 上一页 下一页返回 2.1系统微分方程的建立及算子表示 即 可得 用同样的方法，可以将i1(t)消去，得到关于i2(t)的算子方程 上一页 下一页返回 2.1系统微分方程的建立及算子表示 即 可得 上一页返回 2.2系统的零输入响应 一、定义： 系统在无外加激励作用下，仅由系统的初始状态所 引起的响应称为系统的零输入响应，记为yx(t)。系 统的零输入响应完全由系统的结构与状态决定，而 与激励信号无关。 在式(2-8)中令f (t) = 0，得到齐次方程 yx(t)就是齐次方程(2-11)的解。 下一页返回 其中，D(p)称为系统的特征多项式，方程D(p) =0叫 做系统的特征方程，特征方程的根称系统的特征根 。 先来讨论比较简单的一阶、二阶齐次方程的情况， 然后推广至n阶方程。 2.2系统的零输入响应 2.2系统的零输入响应 2.2.1一阶与二阶齐次方程的解 一阶齐次方程的一般形式为 即 通过分离变量，上式可改写为 上一页 下一页返回 2.2系统的零输入响应 对两边积分得 其中，k是积分常数。从而可得 其中，C=ek是待定系数，由系统的初始条件决定。 例如，将初始状态yx(o)代入式(2-14)即可得 上一页 下一页返回 2.2系统的零输入响应 从而得到一阶齐次方程的解为 二阶齐次方程的一般形式为 其中，a,b是常数。其算子方程为 上一页 下一页返回 2.2系统的零输入响应 将上式中的D(p)作因式分解 从而将式(2-16)改写为 不难看出，1与2是特征方程D(p)=0的两个特征根 由此可以得到满足上述方程的两个一阶方程 上一页 下一页返回 2.2系统的零输入响应 它们的解分别为 其中，C1,C2为待定系数。显然，yx1(t)与yx2(t)都是解，且彼此 线性无关，因此零输入响应的计算通式为 如果给定初始状态为 上一页 下一页返回 2.2系统的零输入响应 将这些条件代入式(2-19)及其微分式可得 解之，可得Cl与C2的具体数值，从而最后确定yx(t)。 例2-6某系统输统输 入/输输出微分算子方程为为 己知初始条件yx(0)= 3，yx(0)= 6，求系统统的零输输入响应应yx(t)。 上一页 下一页返回 2.2系统的零输入响应 解：由题意知 因为 所以 把yx(0)= 3，yx(0)= 6，代入上式可得 所以系统的零输入响应为 上一页 下一页返回 2.2系统的零输入响应 2.2.2 n阶齐次方程的解 上述二阶方程的解，可以推广至n阶方程 即 首先求出特征方程 的n个根1，2 ，n 。然后将式(2-20)改写为 上一页 下一页返回 2.2系统的零输入响应 上一页 下一页返回 1.当 的根(特征根)为n个单根(不论实根、 虚根、复数根)p1， p2， ， pn时，则yx(t)的 通解表达式为 2.2系统的零输入响应 2.1是一个k重根，即 则方程的解就变成 其中，待定系数可由初始状态 上一页 下一页返回 2.2系统的零输入响应 例2-7己知系统的方程为 初始状态为， ，求系统的零输入响 应yx(t)。 解:令f (t) = 0，得齐次方程 将D(p)作因式分解得 上一页 下一页返回 2.2系统的零输入响应 可见，系统的特征根1=-1是单根，而2=-3是一个二重根，据 此可写出yx(t)为 将初始状态代入上式得 解之得 因此，系统的零输入响应为 上一页 下一页返回 2.2系统的零输入响应 2.2.3由H(p)求系统的零输入响应转移算 子 从以上的讨论可以看出，只要己知系统的特征多项式D(p)及 初始状态，就可以求出系统的零输入响应。因此，知道系统 的转移算子H(p)和初始状态，也就可以直接求出yx(t) 前面己指出，转移算子 是一种把输入与响应联系起来的系统数学模型的简洁表示，即 上一页 下一页返回 2.2系统的零输入响应 因此，只要知道H(p)，就可以从它的分母D(p)求出系统的特 征根，亦即H(p)的极点1，n ，从而写出系统的零输入响 应的一般式 再根据初始状态，求出待定系数Cj,j=1n，最后确定yx(t). 下面再来看看具体例子。 上一页 下一页返回 2.2系统的零输入响应 例2-8己知系统微分方程为 初始状态 ,计算零输入响应。 解:用算子表示原微分方程，得转移算子 容易看出，转移算了的极点为1=-2, 2=-3。从而可以直接写 出y(t)的零输入响应为 上一页 下一页返回 2.2系统的零输入响应 将初始状态 代入上式得 解之得 将C1与C2代入yx(t)得 上一页 下一页返回 2.2系统的零输入响应 2.2.4算子法求解yx(t)的步骤 第一步，将D(p