线性方程组的数值解法1.ppt

第4章 线性方程组的数值解法 4.1 引言 在工程技术和科学研究中，很多科学计算的问题往往直 接或间接地归结为求解线性代数方程组。常见的线性代数 方程组是方程个数和未知量个数相同的阶线性方程组，它 的一般形式是 其中， 、 为常数， 为待求的未知量 (4.1) 用矩阵形式表示是 其中： 一般 。当系数矩阵 非奇异（行列式不为零），即 时 ，方程组(4.1)有惟一解。 对于线性代数方程组的解法大致可分为两类，即直接 解法和迭代解法。直接解法是指在假设没有舍入误差的条 件下，经过有限次算数运算就能求得方程组精确解的方法 。 然而实际计算中由于舍入误差的影响，这类方法也只 能求得近似解；迭代解法就是从一个已知的初始近似值开 始，按一定的法则逐步求出解的各个更准确的近似值的方 法，它是用某种极限过程去逐步逼近精确解的方法。 在本章中主要介绍高斯消去法、列主元高斯消去法、 约当消去法、三角分解法等直接解法以及雅可比、高斯 赛德尔和超松弛等迭代解法。 4.2 高斯（Gauss）消去法 4.2.1 高斯消去法的基本思想 高斯消去法是最古老的求解线性代 数方程组的方法之一，高斯消去法是消 去法的一种特殊形式，它包括消元与回 代两个过程。 设 ，对行计算乘数 用 乘以第 个方程后加到第 个方程到第 个方程中 ，消去 第个方程到第 个方程的未知数 ，得到 只要设 就可以继续进行消元，直到经过 次消元后 ，将线性方程组(4.1)化为(4.2)所示上三角方程组（以上计算过程称 为消元过程）。 (4.2) 消元过程结束后，只要设 ，对上三角方程组就可以自下 而上逐步回代，依次求得 ，即 4.2.2 实现高斯消去法的基本步骤 （1） 输入方程组的阶数 n ，系数矩阵A和右端常数矩阵b 。 （2） 消元过程: 设 ，对 ，计算： （3） 回代过程 （4） 输出方程组的解。 （5） 结束。 例4.1 用高斯消去法求解线性方程组，式中 #define N 3 /* N为方程组系数矩阵的阶数 */ int Gauss(float aNN,float bN) int i,j,k,flag=1; float t; for(i=0;i=0;i-) xi=bi; for(j=i+1;jmax_fab) l=j; max_fab=fabs(aji); if(i #define N 4 /* N为方程组系数矩阵的阶数 */ main() float aNN=1.003,0.333,1.504,-0.333,-2.011,1.455,0.506,2.956, 4.329,-1.952,0.006,2.087,5.113,-4.004,3.332,-1.112; float bN=3.005,5.407,0.136,3.772; float xN=0,0,0,0; int i,j; zg_matric(a,b); ColGauss(a,b); xN-1=bN-1/aN-1N-1; /* 回代过程开始 */ for(i=N-2;i=0;i-) xi=bi; for(j=i+1;j=0;k-) /* 计算Ux=y中的x */ xk=yk; for(j=k+1;j #define N 4 /* N为方程组系数矩阵的阶数 */ void chodec(float aNN,float lNN) int i,j,k; float s; for(i=0;i=0;k-) s=bk; for(j=k+1;j=0;i-) xi=yi-ri*xi+1; main() float aN=0.0,90.860, -67.590,46.260;/*主对角线左下方元素*/ float bN=136.01,98.81,132.01,177.17;/*主对角线元素*/ float cN=90.860,-67.590,46.260,0.0;/*主对角线右上方元素 */ float dN=-33.254,49.709,28.067,-7.3244;/*右端常数项元素*/ float rN,yN; /* 存放中间变量数组 */ float xN; /* 存放方程组的解向量的数组 */ int i; clrscr(); zhuigan(a,b,c,d,r,y); solve(r,y,x); for(i=0;i #define N 5 /* N为方程组系数矩阵的阶数 */ void sgaus(float aNN,float bN) float q; int i,j,k; for(k=0;k=0;k-) s=bk; for(j=k+1;j #include #define N 3 /* N为方程组系数矩阵的阶数 */ #define MAX_N 100 /* 最大迭代次数 */ #define epsilon 1e-6 /* 容许误差 */ int yacobi(float aNN,float bN,float xN) float d,s,max,yN; int i,j,k,flag; k=0; for(i=0;i=MAX_N) /* 当k=MAX_N时反馈失败信息，结束迭代 */ flag=0; break; return(flag); void zg_matric(float aNN,float bN) /*输出增广矩阵*/ int i,j; for(i=0;i #include #define N 4 /* N为方程组系数矩阵的阶数 */ #define MAX_N 100 /* 最大迭代次数 */ #define epsilon 1e-6 /* 给定精度要求 */ int seidel(float aNN,float bN,float xN) float d,s,max,temp; int i,j,k,flag; k=0; for(i=0;i=MAX_N) flag=0; break; return(flag); void zg_matric(float aNN,float bN) /*输出增广矩阵*/ int i,j; for(i=0;i #include #define N 5 /* N为方程组系数矩阵的阶数 */ #define MAX_N 100 /* 最大迭代次数 */ #define epsilon 1e-5 /* 容许误差 */ void zg_matric(float aNN,float bN) /*输出增广矩阵*/ int i,j; for(i=0;i=2) /* 必须保证松弛因子 */ printf(“w must between 1 and 2.n“); else break; zg_matric(a,b); k=sqr(w,a,b,x); if(k=1) /* 输出方程组的解 */ for(i=0;iN;i+) printf(“ x%d=%11.7fn“,i+1,xi); else printf(“after %d repeat, no result!n“,MAX_N);/*输出失败信息*/ 程序运行结果： input the w value：1.1 4.000000 -1.000000 0.000000 -1.000000 0.000000 2.000000 -1.000000 4.000000 -1.000000 0.000000 -1.000000 1.000000 0.000000 -1.000000 4.000000 -1.000000 0.000000 2.000000 -1.000000 0.000000 -1.000000 4.000000 -1.000000 1.000000 0.000000 -1.000000 0.000000 -1.000000 4.000000 2.000000 x1= 0.9999989 x2= 0.9999990 x3= 0.9999994 x4= 0.9999993 x5= 0.9999996 本 章 小 结 目前线性代数方程组的解法大致可分直接法 和迭代法两类。直接法是指在假设没有舍入误差 的条件下，经过有限次算数运算就能求得方程组 精确解的方法；迭代法是从一个已知的初始近似 值开始，按一定的法则逐步求出解的各个更准确 的近似值的方法，它是用某种极限过程去逐步逼 近精确解的方法。 在本章中直接法主要介绍了高斯消去法、列 主元高斯消去法、约当消去法、Courant分解法、 乔里斯基分解法、追赶法及对称高斯法；迭代法 主要介绍了雅可比、高斯赛德尔法以及超松弛 迭代法。 本章要求 高斯消去法是解线性方程组的最基本的方 法，而且高斯消去法程序也是具有代表性的数 值计算方法程序，读者应从程序总体结构和程 序设计方法上重点掌握。同时为了保证高斯消 去法的顺利进行并提高解的精度，必须采用主 元消去法，这是也是本章重点掌握的内容之一 。 在本章要了解的主要内容有： 1）了解高斯消去法由消去过程和回代过程组成； 2）了解列主元高斯消去法有两个用途： （1）为保证算法顺利进行，避免对角线上的元素为0。 （2）为减小舍入误差的产生，避免对角线上的元素为很小。 4）了解当系数矩阵为三对角阵时,用追赶法求解线性方程组是非常简单的； 3）了解如果需要重复地求解系数矩阵相同，而右端常数项不同的线性方 程组时，三角分解法是很有效的； 5）了解高斯赛德尔迭代法与雅可比迭代法的区别，即在雅可比迭代法 中，每次迭代时只用到上次的值，而高斯赛德尔迭代法中充分利用 了最新得到的迭代值。这也是迭代法中常用的一种技巧。 6）理解超松弛迭代法的意义。松弛因子 的取值对迭代公式的收敛速度 影响极大，在实际应用时，可以根据方程组的系数矩阵的性质，或结 合实践计算的经验来选定合适的松弛因子。 习 题 4.1 用高斯消去法求解线性方程组 4.2 用列主元高斯消去法求解线性方程组 4.3 用约当消去法求