欧式空间的基本概念.ppt

引言 在线性空间中, 下面介绍欧氏空间的相关内容. 线性关系, 只涉及向量的线性运算和向量间的 没有得到反映, 而几何空间中向量的长度和夹角等度量概念 故有必要在一般的线性空间中引入度量 的概念. 第二节 欧式空间的基本概念 一、向量的内积与欧氏空间 1 、内积和欧氏空间 定义 设 V 是一个实线性空间, 两个向量 和 都指定了一个实数与之对应, 如果对于 V 中任意 这个 实数记作 ，且满足以下条件： (1)对称性： =; (4)非负性： 0, 等号成立的充分必要条件是 (2)齐次性： =k; (3) 加性： =+; = 0. 其中,和是V中任意向量,则称实数k是任意实数, 为和的内积, 称定义了内积的实线性空间V为 实内积空间或欧几里得空间, 简称为欧氏空间. 欧氏空间定义中的条件(1)-(4)称为内积公理, 其中的(2), (3)统称为内积的线性性质, v 关于欧氏空间的两点说明 齐次性的推广 且可以写成 =k+l, 这里 , 是V 中任意向量,k和l 是任意实数. 再由内积的对称性可知：=k+l. (2)齐次性： =k; 例 1 在线性空间Rn中,对于向量 =(a1 ,a2 , . ,an)T, 是满足内积公理. 证明 从而Rn是一个欧氏空间. =(b1,b2 , ,bn)T, 验证 =a1b1+a2b2+anbn=T (1)=T=T=(T)T=. (*) (1)对称性: =; (4)非负性: 0, 等号成立的充分必要条件是 = 0. (2)齐次性: =k; (3) 加性： =+; (2)设 kR, 则 = (k)T=k (T)=k. 故(*)式满足内积公理. R3是一个欧氏空间. a12 +a22+. +an2(4) = 0, 且 =0 = 0.a1=a2=. =an=0 从而Rn是一个欧氏空间. 特别地, =a1b1+a2b2 +. +anbn=T (3)设 Rn,则 = =+. (+)T =(T+T)= T+T 例1 设f(x)和g(x)是连续空间Ca,b中任意两个函数， 定义 则Ca,b 是一个欧氏空间. 2. 柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式 证明 且对任意实数 t, 上式为 t 的二次函数, 因此上式的判别式 定理1 设和是欧氏空间V 中任意两个向量, 则有 其中等号成立的充要条件是向量和线性相关. 如果向量和线性无关, 显然有 0. 由内积的非负性可知: 且恒正. t+ 0, 综上所述，Cauchy- Schwarz 不等式成立. 即 从而有 如果向量和线性相关,则向量和成比例. 不妨设向量 =k (kR),故 证毕 对欧氏空间Rn来说, Cauchy- Schwarz 不等式是： 对欧氏空间Ca,b 来说, Cauchy-Schwarz不等式是： 其中 =a1b1+a2b2+. +anbn=T 其中 二、向量的范数与夹角 1 、向量的范数 定义 在欧氏空间V中, 由范数的定义可知, 称非负实数 为向量 的范数(或长度), 记作 | a |.即 Cauchy-Schwarz 不等式可写成 对欧氏空间Rn来说, 则 如果向量 =(a1 ,a2 , . ,an )T, =a1b1+a2b2 +anbn=T 2、 范数的基本性质 证明 设,为欧氏空间V中的任意两个向量, 则向量的范数有下列基本性质： k为任意实数, (2)齐次性 |k|=|k|; (3)三角不等式 |+|+|. (1)非负性 |0, |=0 的充分必要条件是 = 0; (1)与(2)的证明板书推导.下面证明(3). 三角不等式的证明 两边同时开方可得 (3)三角不等式 |+|+|. 证毕故三角不等式成立. |+|+|, 3 、向量的夹角 定义非零向量a与b的夹角为 规定: 零向量与任意向量成任意角. 则称向量a与b正交. 范数为 1 的向量称单位向量. 非零向量a的单位化(或规范化)向量 表示与a同向(即夹角为零)的单位向量. 若=0, 由非零向量 a 得到单位向量 称为向量a的 单位化. 例2 求与a= (1,1,1), b=(1,-2,1)同时正交的单位向量. 解 解得 故所求的单位向量为 则有设非零向量 x=(x1, x2, x3) 与a,b同时正交, 4 、距离 定义 对于欧氏空间V中的两个向量和 , 由向量的范数的基本性质可知距离有下列基本性质： 称范数 (2)非负性 d (,) 0,且d (,)=0当且仅当 =. (3)三角不等式 d (,) d (,)+d (, ). (1)对称性 d (,)=d (,); |-|为与的距离, 记作d (, ) .即 d (,)=|-| 定义 对于欧氏空间V中的一个向量组, 三、标准正交基及其基本性质 1、 正交向量组与正交单位向量组 如果向量组 且其中的向量两两正交 ,中不含零向量,则称它为 向量组或正交规范向量组. 一个正交向量组 . 如果一个正交向量组中的每个向量 都是单位向量, 则称它是正交单位向量组或标准正交 例3 已知在欧氏空间 R3 中,向量组 1 = (1 , 1 , 1)T , 2 = (1 , 0 , -1)T , 3 = (1 , -2 , 1)T , 是一个正交向量组 ,请将该向量组化为正交单位向量组 . 解 定理2 正交向量组必是线性无关向量组. 2、 正交向量组的性质 证明 设 1, m 是一个正交向量组 ,则 设存在一组数 k1, km , 使 k11+kmm = 0, 当 i=j 时, 当 ij 时, k11+kmm =0, 用i 与上式两边作内积, 由于当ji时有=0, 故得：ki =0, 因为 0,所以 ki = 0, (i=1,2, ,m) 所以 1, m 线性无关. 证毕 定义 在 n 维欧氏空间 V 中, 3、 正交基与标准正交基 单位向量组或称为 V 的标准正交基或规范正交基. 由 n 个向量组成的 正交向量组称为V 的正交基; 由n个向量组成的正交 定理3 设 1, n 是n维欧氏空间V的一个标准 设和是V 的中任意两个向量, =x11+xnn , =y11+ynn , 正交基, 则 (1) xi =(i=1,2, ,n) , (2) = x1y1+xn yn ; 即 =1+ n ; (3) | = (4) d (,) = 证明 =x11+xnn , =y11+ynn , (1) xi = (i=1,2, ,n) , =1+n , 用 i 与 =x11+xnn 两端作内积, 得 = ( i=1,2, ,n ) = xi= xi , 所以 =1+n . (1) (2) = =x1 y1+xn yn; (2) =x1 y1+xn yn; =x11+xn n , =y11+ynn , (3) | = (4) d (,)= 当(2)成立时, (3)和 (4)是显然成立. 证毕 几何意义 v 标准正交基的几何解释 设 e1, en 是 n 维欧氏空间V的一个标准正交基, 是V 的中任一向量, 设 =x1e1+xnen , 则 =e1+en. 解 因为 故向量在此基下的坐标为： 例4 在欧氏空间R3中,求向量 =(2,3,1)T在标准正交基 1=(0 , 1 , 0)T , 下的坐标. = ,= , = , 3 -1 2 = (3 , -1 , 2)T . 四、Gram-Schmidt(格拉姆-施密特)正交化方法 问题 已知 1, n 为 n 维欧氏空间 V 的一个基, 如何求 V 的一个标准正交基 ? 如果 1, n 为 n 维欧氏空间 V 的一个正交基, 我们可以把每个 i 单位化得到n个单位向量e1, en , 其中 由于= 所以 e1, en 就是 V 的一个标准正交基. 综上所述, 再经过单位化就可以得到 V 的一个标准正交基. 只要找到V的一个正交基, 当 i=j 时, 当 ij 时, 由欧氏空间 V 的基获得 V 的标准正交基的方法 设1, n为n维欧氏空间V的一个基, 要求出V 即要找一组两两正交的单位向量的一个标准正交基. 使1, n与1, n等价.1, n , 定理4 对于n维欧氏空间的任意一个基 1,2,n 都可以找到一个标准正交基 1, 2, , n , 使得 Span (1, 2, n ) = Span (1, 2, , n ). 证明 设1, 2, n是一个基,下面逐个地求出向量 1, 2,n.首先可取 一般地,假设已经求出 1,2,m ,它们是单位 正交的,且具有性质 用数学归纳法证明. 下一步求 m+1. 所以 m+1 不能被 1, 2, , m 线性表示. (i=1,2, ,m) Span (1, 2, i ) = Span (1, 2, , i ). 因为 Span (1, 2, m ) = Span (1, 2, , m ). 作向量 显然 m+10, 且 =0, ( j =1,2, ,m ) 事实上, = 令 1, 2, , m , m+1 就是一个单位正交向量组, 且 Span (1, 2, n ) = Span ( 1, 2, , n ). 由归纳法原理可知, 定理4的结论成立. 证毕 从而 m+1 与 j 正交. 问题 已知 1, n 为 n 维欧氏空间 V 的一个基, 如何求 V 的一个标准正交基 e1, en ? 令 第一步: 先求出 V 的一个正交基 1, 2, , n . 则 1, 2, , n 就是 V 的一个正交基. 此方法称为Gram-Schmidt(格拉姆-施密特)正交化方法 第二步: 再求V 的一个标准正交基 e1, en . 再令 所以 e1, en 就是 V 的一个标准正交基. 解 例5 设欧氏空间 R4的子空间 W 由向量组 1= (1 , 2 , 2,-1)T,2= (1 , 1 , -5, 3)T,3= (3 , 2 , 8, - 7)T 生成,试利用 Gram-Schmidt 正交化方法求 W 的一个 因为 标准正交基. 故在向量组1 , 2 ,3 中存在三阶非零子式. 从而向量组1 ,2 ,3的秩为3.故向量组1 ,2 ,3 线性无关,因此向量组 1 ,2 ,3 是W的基. 第一步: 先求出 W 的一个正交基 1, 2, 3. 令= (1 , 2 , 2,-1)T, = (2 , -1, -1, -2)T, 1= (1 , 2 , 2,-1)T,2= (1 , 1 , -5, 3)T,3= (3 , 2 , 8, - 7)T 1 =(1 , 2 , 2, -1)T, 2 =(2 , 3 , -3, 2)T, 3 =(2 , -1 , -1, -2)T 第二步: 再将W 的一个正交基 1, 2, 3 单位化 令便得到 W 的标准 正交基 e1,e2, e3 .其中 则 e1 ,e2 ,e3 即为所求的标准正交基. 五、正交矩阵与正交变换 1. 正交矩阵 定义 设 A为实方阵, (1) | A | =1, 即正交矩阵的行列式为1或 -1; 如果 ATA = I, 就称A为正交矩阵. 2. 正交矩阵的几个简单性质 设 A, B 为同阶正交矩阵, 则有 (2) A-1, AT及 A 的伴随矩阵 A* 均为正交矩阵; (3) AB 也是正交矩阵. 证明仅证明(3). (3)设A,B 为同阶正交矩阵, 则AB 也是正交矩阵. 由 ATA = I, BTB = I, 得 因此 AB 为正交阵. 证毕 定理5 实方阵 A 为正交矩阵的充要条件是 A 的 证明 设实方阵 A 按列分块为A=(1 ,2 , , ,n), 列(行)向量组为标准正交向量组. 则 ATA = I 即A 为正交矩阵的充要条件是 A 的列向量组为标准 或 ( i , j =1, 2, n ). 正交向量组. 再由 AT也是正交矩阵可知, 此结论对 A 的行向量组也成立. 证毕 推论 A 为 n 阶正交阵的充分必要条件是 A 的 列(行)向量组为 Rn 的一个规范正交基. 思考题 下列矩阵是正交矩阵吗？ 由定理5可知以上方阵都是正交矩阵. 3. Rn上的正交变换 定义 设 P 为 n 阶正交矩阵, 称 Rn 到 Rn 的线性变换 对于 x =(x1 , x2 , , xn)TRn, y = P x 为 Rn上的正交变换. 例6 R2上的线性变换 将R2上的点 映射为R2上的点 , 问此变换 问此变换是否是正交变换？ 解 将此变换改写成矩阵形式, 所以此变换是正交变换. 由于矩阵 正交矩阵,是 此变换称为坐标旋转变换 即正交变换保持向量的内积不变; 4. 正交变换的几个重要性质 定理6 设P为n 阶正交矩阵, 则有 x1, x2是 Rn 中的 任意向量, (1) = ; 即正交变换保持向量的范数不变. (2) |Px1| = |x1|; 即正交变换保持几何形状(长度和夹角)不变. 证明 因为 = = . (Px1)T(P x2) = x1TPTP x2, 而正交矩阵 P 满足 PTP = I， 所以 =x1Tx2 故(1)成立. 在(1)中令x1 = x2, 则有 |Px1|2= |x1|2 . 两边同时开方即可得(2)成立. (2) |Px1| = |x1|,(1) = , 证毕 例 7 设 A 为三阶非零实方阵, 且 aij = Aij .其中Aij 是 aij 的代数余子式, i , j = 1, 2, 3. 证明:|A| = 1, 且 A 是 正交矩阵. 由已知有 AAT = AA* 设这个非