几类不同增长的函数模型.ppt

3.2.1几类不同增长的函数模型 主页 3.2.1几类不同增长的函数模型 主页 假如某公司每天向你投资10万元 ,共投资30天.公司要求你给他的回报 是:第一天给公司1分钱，第二天给公 司2分钱，以后每天给的钱都是前一 天的2倍，共30天,你认为这样的交易 对你有利吗？ 阅读课本95 97页例1，边阅读边思考 下面的问题： 3.2.1几类不同增长的函数模型 主页 【例1】假设你有一笔资金用于投资,现有三种 投资方案供你选择,这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天 多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元,以后每天的回报比 前一天翻一番.请问,你会选择哪种投资方案？ 在本问题中涉及哪些数量关系？如何用函 数描述这些数量关系？ 投资天数、回报金额 3.2.1几类不同增长的函数模型 主页 解:设第x天所得回报是 y元，则 方案一： 方案二： 方案三： 在本问题中涉及哪些数量关系？如何用函 数描述这些数量关系？ 3.2.1几类不同增长的函数模型 主页 上述的三个数学模型,第一个是常数函数, 另两个都是递增的函数模型,你如何对三个方 案作出选择？ 方法1:我们来计算三种方案所得回报的增长 情况： 请同学们对函数增长情况进行分析,方法是 列表观察或作出图象观察. 3.2.1几类不同增长的函数模型 主页 x/天 方案一方案二方案三 y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元 1400100.40.4 240020100.80.8 340030101.61.6 440040103.23.2 540050106.46.4 6400601012.812.8 7400701025.625.6 8400801051.251.2 94009010102.4102.4 1040010010204.8 3040030010 214748364.8107374182.4 根据表格中所提 供的数据,你对三种方 案分别表现出的回报 资金的增长差异有什 么认识？ 三种方案每天回报表 3.2.1几类不同增长的函数模型 主页 x42681012 y 20 40 60 80 100 120 140 o 3.2.1几类不同增长的函数模型 主页 底数为2 的指数函数模 型比线性函数 模型增长速度 要快得多.从中 你对“指数爆 炸”的函数有 什么新的理解 ？ 你能通 过图象描述 一下三种方 案的特点吗 ？ 方法2：我们来作出三种方案的三个函数的图象： 3.2.1几类不同增长的函数模型 主页 1234567891011 方案一4080120160200240280320360400440 方案二103060100150210280360450550660 方案三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8 结论: 投资16天,应选择方案一; 投资7天,应选择方案一或二; 投资810天,应选择方案二; 投资11天(含11天)以上,则应选择方案三. 回报 天数 方案 累计回报表： 方案一 方案二方案三 3.2.1几类不同增长的函数模型 主页 你30天内给公司的回报为: 0.01+0.012+0.0122+ +0.01229 300万元解答:公司30天内为你的总投资为: 假如某公司每天向你投资10万元,共投资 30天.公司要求你给他的回报是:第一天给公司 1分钱，第二天给公司2分钱，以后每天给的钱 都是前一天的2倍，共30天,你认为这样的交易 对你有利吗？ =10737418.231074(万元). 1074-300=774 (万元). 3.2.1几类不同增长的函数模型 主页 实际应用问题 分析、联想 抽象、转化 构建数学模型解答数学问题 审 题 数学化 寻找解题思路 还原 (设) (列 ) (解) (答) 解答例1的过程实际上就是建立函数模型的 过程,建立函数模型的程序大概如下： 3.2.1几类不同增长的函数模型 主页 【例2】某公司为了实现1000万元利润的目标, 准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销 售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且 奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的 增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖 金不超过利润的25%.现有三个奖励模型： y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符 合公司的要求？ 3.2.1几类不同增长的函数模型 主页 本问题涉及了哪几类函数模型？本问题的 实质是什么？ 一次函数模型 实质:分析三种函数的不同增长情况对 于奖励模型的影响，就是比较三个函数的增 长情况 y=0.25x y=log7 x +1, 对数函数模型 指数函数模型y=1.002x 3.2.1几类不同增长的函数模型 主页 销售利润达到10万元时，按销售利润 进行奖励,且部门销售利润一般不会超过公司 总的利润1000万元,所以销售利润x可用不等 式表示为_. 依据这个模型进行奖励时,奖金不超过 利润的25%,所以奖金y可用不等式表示为 _. 依据这个模型进行奖励时，奖金总数 不超过5万元,所以奖金y可用不等式表示为 _. 10x1000 0y5 0y25%x 你能用数学语言描述符合公司奖励方案的 条件吗? 3.2.1几类不同增长的函数模型 主页 你能根据问题中的数据，判定所给的奖励 模型是否符合公司要求吗？ 奖励模型符合公司要求就是依据这个模 型进行奖励时,符合条件： (1)奖金总数不超过5万元； (2)奖金不超过利润的25%. 因此,在区间10,1000上,不妨作出三个 函数模型的图象,通过观察函数的图象,得到 初步的结论,再通过具体计算确认结果. 3.2.1几类不同增长的函数模型 主页 400 600800 1000 1200200 1 2 3 4 5 6 7 8 x y o y=5 y=0.25x 通过观察图象,你认为哪个模型符合公司 的奖励方案？ 3.2.1几类不同增长的函数模型 主页 通过观察图象,你认为哪个模型符合公司 的奖励方案？ 对于模型y=0.25x,它在区间10,1000上递增, 当x20时,y5,因此该模型不符合要求; 3.2.1几类不同增长的函数模型 主页 通过观察图象,你认为哪个模型符合公 司的奖励方案？ 对于模型y=1.002x,它在区间10,1000上递增, 观察 图象并结合计算可知,当x806时,y5,因此该模型不符 合要求. 3.2.1几类不同增长的函数模型 主页 通过观察图象,你认为哪个模型符合公 司的奖励方案？ 对于模型y=log7x+1,它在区间10,1000上递增 ,观察图象并结合计算可知,当x=1000时, y=log71000+14.551),幂函数y=xn (n0) 与指数函数y = ax (a 1)在区间(0,+)上都是增 函数,但它们的增长是有差异的.那么这种差异 的具体情况到底是怎样呢? 3.2.1几类不同增长的函数模型 主页 以函数y = 2x , y=log2x , y=x2为例. 制作函数值表(借助计算器制表). 观观察表格,三个函数的增长长速度是不同的. 总体来讲随着x的增大, y=log2x的增长长速度 最慢; y = 2x和y=x2的增长速度有变化,一开始, y = 2x的增长速度快,后来y=x2增长速度快. 3.2.1几类不同增长的函数模型 主页 1234 x y o 1 y=log2x y=x2 y = 2x 画函数图象(描点或借助计算机作图). 3.2.1几类不同增长的函数模型 主页 观察图象可以看出:三个 函数的增长速度是不同 的,你能根据图象分别标 出不等式log2x4时, (2) 2x2,有时2x4时, (2)21),指数函数y = ax (a 1)与幂函数y=xn (n0) 都是增函数,但它们的增长速度不同,而 且不在同一个“档次”上. 随着x的增大, y = ax (a 1)的增长速度越 来越快,会超过并远远大于y=xn (n0)的增长速 度,而y=logax (a1)的增长速度则会越来越慢. 因此总存在一个x0, 当 x x0时,就会有 3. 幂函数，指数函数，对数函数增长速度的一 般结论 3.2.1几类不同增长的函数模型 主页 结论1: 的增长快于 的增长，所以存在一个 ， 使x 时,有 . 结论2: 的增长快于 的增长，所以存在一个 ， 使x 时,有 . 结论3：在区间（0，+）上，函数 (a1） （a1), (n0)都是增函数， 但它们的增长速度不同。随着x的增大 (a1） 的增长速度越来越快，远远大于 （n0) 的增长速度，而 (a1)的 增长速度则越来越慢，因此，会存在一个 ，当 时，有 3.2.1几类不同增长的函数模型 主页 探究以函数 为例. 思考:你能用同样的方法,讨论函数 y=logax(0x0时,就会有 3.你能用同样的方法,讨论函数y=logax(0a1), y=ax(0a1)与幂函数y=xn(n0)在区间(0,+)上 衰减情况吗? 3.2.1几类不同增长的函数模型 主页 【1】四个变量y1, y2, y3, y4随变量x变化的 数据如下表： 1.0051.01511.04611.14071.42952.31075 1551301058055305 337331758.294.4785 45053130200511305051305 302520151050 关于x呈指数型函数变化的变量是_. (练习P.981) 3.2.1几类不同增长的函数模型 主页 【2】某种计算机病毒是通过电子邮件进 行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒， 那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染 没被感染的20台计算机.现在10台计算机在第1 轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时 可能有多少台计算机被感染？(练习P.982) 2.答案:第5轮病毒发作时最多会有160万台被 感染 3.2.1几类不同增长的函数模型 主页 确定函数模型 利用数据表格、函数图象讨论模型 体会直线上升、指数爆炸、对数增长 等不同函数类型的增长含义 3.2.1几类不同增长的函数模型 主页 课本P.39A 5 P.39 2 3.2.1几类不同增长的函数模型 主页 3.2.1几类不同增长的函数模型 主页 例2、 探究：公司有哪些要求，你能用 数学语言表达出来吗？ 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一