经典换面法及习题.ppt

三、换面法的四个基本作图 四、应用及举例 一、投影变换及换面法的基本概念 二、点的换面作图规则 返回 第三章 投影变换换面法 a a b b 两点之间距离 a ab b c c 三角形实形 a a b b c c d d 直线 与平面的交点 求解距离、夹角、实形、交点的最佳投影分析 a b c d a b c d 两平面夹角 返回 一. 换面法的基本概念 a1 c1 b1 V1 c1 b1 a1 X1 X1 换面法空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面 来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利 解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。 V/H 体系变为V1/H 体系 旧面 新面 不变面 旧轴 新轴 返回 1. 点的一次变换 X1 V1 a1 返回 二、点的换面及规律 a2 2. 点的两次变换 H2 a2 返回 新 不变 旧 旧 新 不变 X2 V1 H2 新与旧是相对的 水平书写好 X2 a 1. 把一般位置直线变为投影面平行线 2. 把一般位置直线变为投影面垂直线 3. 把一般位置平面变为投影面垂直面 4. 把一般位置平面变为投影面平行面 三、换面法的四个基本作图 返回 V H A B a b a b 1. 把一般位置直线变换成投影面平行线 用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB/P1。 X1 H P1 P1 a1 b1 空间分析： 换H面行吗？不行！ 作图： 例：求直线AB的实长及与H面的夹角。 a b a b X V H 新投影轴的位置？ a1 b1 与ab平行。 . a1 b1 V H a a X B b b A 2. 把一般位置直线变换成投影面垂直线 空间分析： a b a b XV H X1 H1 P1 P1P2 X2 作图： X1 P1 a1 b1 X2 P2 二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。 X2轴的位置？ a2b2 ax2 a2b2 . 与a1 b1 垂直 一次换面把直线变成投影面平行线； 一般位置直线变换 成投影面垂直线，需经 几次变换？ a b c a b c d V H A B C D X d 3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂 直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。 P1 X1 c1 b1 a1 d1 空间分析： 在平面内取一条 投影面平行线，经一 次换面后变换成新投 影面的垂直线，则该 平面变成新投影面的 垂直面。 作图方法： 两平面垂直需满足什么条件？ 能否只进行一次变换？ 思考： 若变换H面，需在面 内取什么位置直线？ 正平线！ a b c a c b X V H 例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。 H P1 X1 作 图 过 程： 在平面内取一条水平 线AD。 d d 将AD变换成新投影 面的垂直线。 b1 a1 d1 c1 反映平面对哪 个投影面的夹角？ . a1 b1 需经几次变换？ 一次换面, 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面； 二次换面，再变换成新投影面的平行面。 X2 P1 P2 4. 把一般位置平面变换成投影面平行面 a b a c b X V H c 作 图： AB是水平 线 空间分析： a2 c2 b2 c1 X2轴的位置？ 平面的实形 . X1 H P1 . 与其平行 b1 距离 d d1 X1 H V1 X2 V1H2 c2 d 例1：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。 c c b a a b X V H 四、换面法的应用 如下图：当直线AB 垂直于投影面时，CD平 行于投影面，其投影反映 实长。 A P B D C c abd 作图: 求C点到直线AB的距离， 就是求垂线CD的实长。 空间及投影分析： c1 a1 a2b2d2 过c1作线平行于x2轴。 . . . 如何确定d1 点的位置？ X1 H1 V1 a2b2 d2 c2 b1 a1 d1 c1 11 21 2 1 b 2 1 12 22 例2. 求两直线AB与CD的公垂线 。 X2 V1 H2 返回 空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影 的夹角才反映实大（60），因此需将AB与C点所确定的平 面变换成投影面平行面。 例3: 过C点作直线CD与AB相交成60角。 d X1 H V1 X2 V1 H2 a b a c b X V H c 作 图： c2 c1 a1b1 a2 d2 d b2 几个解？ 两个解！ 已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上， 求等边三角形的投影。（用基本法和换面法分别求解） 思考： 如何解？ 解法相同！ 60 D点的投影 如何返回？ . . 例4 已知E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影。 d d b1 a1 c1 d1 X1 H1 V a2 c2 b2 d2 X2 V2 H1 15 15 e e e1 e2 小 结 本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 换面法。 一、 换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物 体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。 二、 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件， 即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系， 同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效。 三、点的变换规律是换面法的作图基础，四个基本 问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。 换面法的四个基本问题： 2. 把一般位置直线变成投影面垂直线 1. 把一般位置直线变成投影面平行线 3. 把一般位置平面变成投影面垂直面 4. 把一般位置平面变成投影面平行面 变换一次投影面 变换一次投影面 变换两次投影面 变换两次投影面 需先在面内作一条投影面平行线 四、解题时一般要注意下面几个问题： 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体 与原投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几 何元素（点、线、面等）。 根据要求得到的结果，确定出有关几何元素对新 投影面应处于什么样的特殊位置（垂直或平行）， 据此选择正确的解题思路与方法。