高等数学之傅立叶级数.ppt

第七节第七节 傅立叶级数傅立叶级数 三角级数由三角函数组成的函数项级数 一、三角级数一、三角级数 三角函数系的正交性三角函数系的正交性 三角级数 形如： （1） 其中为常数. 三角函数系三角函数系: : （2） 三角函数系的正交性三角函数系的正交性: : （1） 中任何不同的两个函数之积在上的积分等于零; （2）中任何两个相同函数之积在上的积分不等于零. 1 即 为奇函数） 2 二、函数展开成傅立叶级数二、函数展开成傅立叶级数 设 是以 为周期的周期函数， 且能展开成三角级数： （1） 问题：怎样确定系数 1. 先求 对（1）式从 到逐项积分: 3 =0 类似, (2) 称为函数 的傅立叶系数. 综上可得 (2) 2. 再求 用乘(1) 式两边, 到 逐项积分: 再从 4 傅立叶系数所构成的三角级数: (3) (3) 称为函数 的傅立叶级数傅立叶级数. 在什么条件下,其傅立叶级数(3) 收敛于 即 满足什么条件时, 可以展成傅立叶级数? 问题: 5 收敛定理（狄利克雷充分条件） 设 是周期为 的周期函数, 若它满足条件: 1).在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2).在一个周期内至多有有限个极值点. 则 的傅立叶级数收敛, 并且 (1).当 是 的连续点时, 级数收敛于 (2).当 是 的间断点时, 级数收敛于 只要函数 在 上至多有有限个第一类间断点, 并且不作无限次振动， 则 的傅立叶级数在连续点处 在间断点处收敛于该点左右极限的算术平均值. 说明 收敛于 6 例1. 设 是周期为 的周期函数, 它在 上表达式为: 将 展开成傅立叶级数. 解 显然该函数在 处不连续. x y o -1 1 该函数满足收敛定理的条件, 的图形为的图形为: : 处收敛于 的傅立叶级数在点 所以 在其它点处收敛于 f f( (x x) ) 的傅立叶级数的和函数图形为的傅立叶级数的和函数图形为: : x y o -1 1 7 所以，函数 的傅立叶级数展开式为： 8 例2. 设 是周期为 的周期函数, 它在 上表达式为: 将 展开成傅立叶级数. 解 的图形为的图形为: : 显然该函数在 处不连续. 处收敛于 该函数满足收敛定理的条件, 所以 的傅立叶级数在 在其它点处收敛于 9 f f( (x x) ) 的傅立叶级数的和函数图形为的傅立叶级数的和函数图形为: : 10 所以，函数 的傅立叶级数展开式为： 11 说明： 若只是定义在区间 上， 则也可以展成傅立叶级数. 且满足收敛定理的条件， 方法:1).将进行周期延拓。 函数 2).将展开成傅立叶级数, 3).当限制在内,此时 这样便得到的傅立叶级数展式. 该级数在处收敛于 在 或 外补充函数 的定义，使其拓广成周期为 12 例3.将函数展开成傅立叶级数. 解 在上满足收敛定理的条件, 将进行周期延拓, 延拓后的函数为周期为的周期函数, 且在内, 的傅立叶级数在内收敛于而在处 收敛于 的傅立叶级数在上收敛于即 13 书P303 所以