绝对值习题及答案

例1求下列各数的绝对值：(1)38； (2)0.15；(3)a(a0)； (4)3b(b0)；(5)a2(a2)； (6)ab分析：欲求一个数的绝对值，关键是确定绝对值符号内的这个数是正数还是负数，然后根据绝对值的代数定义去掉绝对值符号，(6)题没有给出a与b的大小关系，所以要进行分类讨论解：(1)3838；(2)0.150.15；(3)a0，aa；(4)b0，3b0，3b3b；(5)a2，a20，a2(a2)2a；说明：分类讨论是数学中的重要思想方法之一，当绝对值符号内的数(用含字母的式子表示时)无法判断其正、负时，要化去绝对值符号，一般都要进行分类讨论例2判断下列各式是否正确(正确入“T”，错误入“F”)：(1)aa； ( )(2)aa； ( )(4)若ab，则ab； ( )(5)若ab，则ab； ( )(6)若ab，则ab； ( )(7)若ab，则ab； ( )(8)若ab，则baab ( )分析：判断上述各小题正确与否的依据是绝对值的定义，所以思维应集中到用绝对值的定义来判断每一个结论的正确性判数(或证明)一个结论是错误的，只要能举出反例即可如第(2)小题中取a1，则a11，而a11，所以aa同理，在第(6)小题中取a1，b0，在第(4)、(7)小题中取a5，b5等，都可以充分说明结论是错误的要证明一个结论正确，须写出证明过程如第(3)小题是正确的证明步骤如下：此题证明的依据是利用a的定义，化去绝对值符号即可对于证明第(1)、(5)、(8)小题要注意字母取零的情况解：其中第(2)、(4)、(6)、(7)小题不正确，(1)、(3)、(5)、(8)小题是正确的说明：判断一个结论是正确的与证明它是正确的是相同的思维过程，只是在证明时需要写明道理和依据，步骤都要较为严格、规范而判断一个结论是错误的，可依据概念、性质等知识，用推理的方法来否定这个结论，也可以用举反例的方法，后者有时更为简便例3判断对错(对的入“T”，错的入“F”)(1)如果一个数的相反数是它本身，那么这个数是0( )(2)如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是1和0( )(3)如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是0或1( )(4)如果说“一个数的绝对值是负数”，那么这句话是错的( )(5)如果一个数的绝对值是它的相反数，那么这个数是负数( )解：(1)T(2)F1的倒数也是它本身，0没有倒数(3)F正数的绝对值都等于它本身，所以绝对值是它本身的数是正数和0(4)T任何一个数的绝对值都是正数或0，不可能是负数，所以这句话是错的(5)F0的绝对值是0，也可以认为是0的相反数，所以少了一个数0说明：解判断题时应注意两点：(1)必须“紧扣”概念进行判断；(2)要注意检查特殊数，如0，1，1等是否符合题意例4 已知(a1)2b30，求a、b分析：根据平方数与绝对值的性质，式中(a1)2与b3都是非负数因为两个非负数的和为“0”，当且仅当每个非负数的值都等于0时才能成立，所以由已知条件必有a10且b30a、b即可求出解：(a1)20，b30，又(a1)2b30a10且b30a1，b3说明：对于任意一个有理数x，x20和x0这两条性质是十分重要的，在解题过程中经常用到例5填空：(1)若a6，则a_；(2)若b0.87，则b_；(4)若xx0，则x是_数分析：已知一个数的绝对值求这个数，则这个数有两个，它们是互为相反数解：(1)a6，a6；(2)b0.87，b0.87；(4)xx0，xxx0，x0x0，x是非正数说明：“绝对值”是代数中最重要的概念之一，应当从正、逆两个方面来理解这个概念对绝对值的代数定义，至少要认识到以下四点：(家教4.0，复习辅导“有理数”例3 2结(1)(4)例6 判断对错：(对的入“T”，错的入“F”)(1)没有最大的自然数 ( )(2)有最小的偶数0 ( )(3)没有最小的正有理数 ( )(4)没有最小的正整数 ( )(5)有最大的负有理数 ( )(6)有最大的负整数1 ( )(7)没有最小的有理数 ( )(8)有绝对值最小的有理数 ( )解：(1)T(2)F数的范围扩展后，偶数的范围也随之扩展偶数包含正偶数，0，负偶数(2，4，)，所以0不是最小的偶数，偶数没有最小的(3)T(4)F有最小的正整数1(5)F没有最大的负有理数(6)T(7)T(8)T绝对值最小的有理数是0例7 比较下列每组数的大小，在横线上填上适当的关系符号(“”“”“”)(1)0.01_100；(2)(3)_3；(3)(90)_0；(6)当a3时，a3_0；3a_a3分析：比较两个有理数的大小，需先将各数化简，然后根据法则进行比较解：(1)0.01100；(2)(3)3；(3)(90)0；(6)当a3时，a30，3aa3说明：比较两个有理数大小的依据是：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，正数大于0，大于一切负数，负数小于0，小于一切正数，两个负数，绝对值大的反而小两个正分数，若分子相同则分母越大分数值越小；若分母相同，则分子越大分数值越大；也可将分数化成小数来比较例8 比较大小：分析：比较两个负分数的大小，按法则，先要求出它们的绝对值，并比较绝对值的大小(1)这两个数的绝对值是两个异分母的正分数，要比较它们的大小，需通分；(2)用(1)的方法比较这两个负数绝对值的大小是非常麻烦的，此法不可取通过比较它们的倒数，可以快捷的达到目的说明：两个有理数比较大小，当它们都是负数时，必须通过比较绝对值的大小来确定它们的大小(1)一定要注意，因为是两个负数，所以它们的绝对值越大，对应点在数轴的左边离原点的距离就越远，因此它的值就越小(2)比较两个异分母正分数的大小时，如果通分很麻烦，可以考虑通过比较它们倒数大小的方法间接达到目的理论依据例9 在数轴上画出下列各题中x的范围：(1)x4；(2)x3；(3)2x5分析：根据绝对值的几何意义画图例如，x4的几何意义是：数轴上与原点的距离大于或等于4个单位长度的点的集合；x3的几何意义是：数轴上与原点的距离小于3个单位长度的点的集合解：(1)x4，即数轴上x对应的点到原点的距离大于或等于4，如图1当x0时，有x4；当x0时，有x4(2)x3，即数轴上x对应的点到原点的距离小于3，如图2即有3x3(3)2x5，即数轴上x所对应的点到原点的距离比2大且小于或等于5，如图3即5x2或2x5说明：在数轴上表示含绝对值的不等式时，最容易错的是忘记或画错原点左边(负半轴上)符合条件的点的范围应当认真研究负数部分符合条件的点的范围的画法，并真正做到“理解”例10 (1)求绝对值不大于2的整数；(2)已知x是整数，且2.5|x|7，求x分析：(1)求绝对值不大于2的整数，就是求数轴上与原点的距离小于或等于2个单位长度的整数点(2)因为2.5x7中的x表示的是绝对值小于7同时绝对值又大于2.5的整数，所以，依绝对值定义应该是满足7x2.5，或2.5x7的所有整数解：(1)先画出数轴上与原点的距离小于或等于2的点的范围由图看出，绝对值不大于2的整数是：2，1，0，1，2(2)符合2.5|x|7的所有整数，就是符合7x2.5或2.5x7的所有整数由图看出，符合2.5x7的整数是：x3，4，5，6说明：因为绝对值概念课本上从几何与代数两个角度都给出了定义，所以在解含绝对值的问题时要注意灵活运用这两个定义此题也可以用代数定义求解根据绝对值的几何定义，用数形结合的思想，把有关绝对值的问题转化为数轴上的点与原点的距离问题来解决，是经常采用的方法例11已知a、b、c所表示的数如图所示：(1)求b，c，b1，ac；*(2)化简abac1cb分析：由图知a1b0，0c1根据以上条件，先确定绝对值符号内的数是正数还是负数，然后再化简解：由图知a0，b0，c0，且b1，ac，ab，c1，cb，b10，ac0，ab0，c10，cb0(1)bb，cc，b1b1ac(ac)ca(2)abac1cb(ba)(a)(1c)(cb)baa1ccb1说明：(1)ab的相反数是(ab)baab的相反数是(ab)ab(2)ab的几何意义是：数轴上表示数a、b的两个点之间的距离不同的两个点之间的距离总是一个正数，等于“较大的数减较小的数”的差例12 解方程：(1)已知14x6，求x；*(2)已知x142x，求x分析：解简单的含有绝对值符号的方程，一般都根据绝对值的代数定义，先化去绝对值符号，然后求解(2)题需把原方程转化为x12x4的形式后，才便于应用绝对值的代数定义解：(1)14xx146x146当x146时，x20；当x146时，x8x20或8(2)x142xx12x4x10，2x40，x2x2，x10，x1x1原方程变形为x142xx5*例13 化简a2a3分析：要化简此式，关键是依据绝对值定义判断好绝对值符号内a2和a3在a取不同数值时它们的符号情况，才能正确地转化为不含绝对值的式子为了能达到此目的，首先应判定a20和a30时a的取值，即a2和a3，由此