向量的线性运算.ppt

第七章 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量的线性运算 二、向量的坐标表示 一、向量的概念及线性运算 二、向量的模与方向余弦 向量的表示法: 向量的模 : 向量的大小, 一、向量的概念 向量:(又称矢量). 既有大小, 又有方向的量称为向量 向径 (矢径): 自由向量: 与起点无关的向量. 起点为原点的向量. 单位向量: 模为 1 的向量。 零向量: 模为 0 的向量, 有向线段 M1 M2 ,或 a , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 如不特殊说明，以后讨论的向量都是自由向量 规定: 零向量与任何向量平行 ; 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同 , 则称 a 与 b 相等, 记作 ab ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, ab ; 与a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k个向量共面 . 记作a ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、向量的线性运算 1. 向量的加法 三角形法则: 平行四边形法则 : 运算规律 : 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 向量的减法 三角不等式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 向量与数的乘法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数乘符合下列运算规律： （1）结合律： （2）分配律： 1. 某向量的单位向量 按照向量数乘的定义， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 向量的共线 若一组向量平行于同一条直线（认为零向量平 行于任何一条直线），则称它们是共线的，这组向 量也称共线向量（或平行向量） 几个常用概念： 证明：充分性：显然。 定理1: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 必要性： 结论成立 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两式相减，得 例1:试用向量方法证明：对角线互相平分的 四边形必是平行四边形. 证 与 平行且相等。 结论得证. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3、向量在轴上的投影与投影定理 空间一点在轴上的投影 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间一向量在轴上的投影 机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 说明： 投影为正； 投影为负； 投影为零。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 关于向量的投影定理（1） 证 机动 目录 上页 下页 返回 结束 关于向量的投影定理（2） （可推广到有限多个） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 关于向量的投影定理（3） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间一点在平面上的投影 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间一向量在平面上的投影 三、向量的坐标表示 在空间直角坐标系下，起点在坐标原点的向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为向径。 向量， 任意向量 r 可用向径 OM 表示. 因为，我们所讨论的向量都是自由 所以，在空间直角坐标系下, 下面我们就来讨论向径在 OM 直角坐标系下的 坐标表示。 设点 则 沿三个坐标轴方向的分向量. M 的坐标为 此式称为向量 r 的坐标分解式 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为向量 r 的坐标 。 向量线性运算的坐标表示 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如： 说明： 解设为直线上的点， 由题意知： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 正确答案是：(4) 半径为 a 的圆周沿直线无滑动地滚动时 , 点击图中任意点动画开始或暂停 其上一 定点的轨迹称为摆线. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2a 2a 0 y x a t a a 机动 目录 上页 下页 返回 结束 a 解： 故摆线的方程为 四、向量的模与方向余弦 空间两向量的夹角的概念： 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可取0与 之间任意取值. 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量模长的坐标表示式 方向角与方向余弦 与三坐标轴 方向角的余弦称为方向余弦. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的夹角 , , 方向角： 方向余弦： 称为其方向角。 方向余弦的性质 （2） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （1） 解： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量的概念 向量的加减法 向量与数的乘法 （注意与标量的区别） （平行四边形法则） （注意数乘后的方向） 五、小结 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标. 向量的模与方向余弦的坐标表示式. （注意分向量与向量的坐标的区别） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题6-2(P10) 4 , 8, 11, 13, 16 作业： 解 机