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第七章 向量空间的正交性 一 向量的内积 定义1 对n 维向量空间中的向量 为定义中内积 到实数集R的函数， 当 注： 上述定义中给出的内积满足： （1）交换性： （2）线性性： （3）非负性： 当且仅当时，等号成立 的长度， 定义2 (1) 称非负实数 记为 为向量 中两向量(2) 定义 称 为与 同向的单位向量， 向量的单位化。 从的过程也称为 称长度为1的向量为单位向量， 长度不为1，则可取 如果非零向量的 都正交的单位向量。 例1 求与 正交。 定义3 ，则称向量 零向量与任何向量都正交。 都正交解：设与 则 对系数矩阵A作初等行变换 所以 再单位化得为所求向量。 是单位向量，则称该向量组为标准正交组。 故一个向量组是标准正交组的充要条件是 二 向量的正交性 ，若它们两两正交， 称这个向量组为正交向量组。又若每一个向量 定理1 设一个向量组 若正交向量组中不含零向量，则 线性无关。 ，所以 证明： 对任意常数，两边用 作内积， 线性无关。即向量组 又因为 因为 为标准正交基。则称 向量组的条件，即 在空间中，若一组基满足标准正交 中的一组基，这种基称为正交基。 因此它们可以作为向量组，它们是线性无关的， 空间 中一定存在n 个非零向量组成的正交 注： 例如 中的自然基 也是标准正交基。 是中的一组标准正交基，而 设 三、Schmidt正交化方法 向量组。 空间中的线性无关 下述方法称为Schmidt正交化方法，它是把线性无关向量组， 转变为正交向量组的方法。 （当r=n时，就是Rn空间里的一组基） 但是，这组向量组不定是（标准）正交向量组； （当r=n时，这组向量组不定是（标准）正交基） 然后单位化： 即为标准正交基。 当时，Schmidt 正交化方法就可以将一组基 化为正交基 则 是正交向量组。 所得向量组 书例2 （3） 四、 正交矩阵 A是正交矩阵。 若A为正交阵，则 （1） （2） （4）若A，B为正交阵，则AB也为正交阵 定义 设A是n阶的实矩阵，若，则称 正交矩阵的性质： 也为正交阵 量都是单位向量且
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